局所系

空間 $X$ 上の（アーベル群の）局所系 $\mathcal{L}$ とは、各点 $x\in X$ にアーベル群 $L_x$ を、$x$ から $y$ への道の（端点を固定した）ホモトピー類 $[\gamma]$ に群同型 $\mathcal{L}_{[\gamma]}:L_x\to L_y$ を対応させ、次を満たすものをいう。

1. 定値道 $c_x$ について $\mathcal{L}_{[c_x]}=\mathrm{id}_{L_x}$。
2. $\gamma(1)=\delta(0)$ のとき $\mathcal{L}_{[\gamma\cdot\delta]}=\mathcal{L}_{[\delta]}\circ\mathcal{L}_{[\gamma]}$。

局所系の射 $\phi:\mathcal{L}\to\mathcal{L}'$ とは、準同型の族 $\phi_x:L_x\to L'_x$ で、すべての道について $\phi_{\gamma(1)}\circ\mathcal{L}_{[\gamma]}=\mathcal{L}'_{[\gamma]}\circ\phi_{\gamma(0)}$ を満たすものをいう。すべての $\mathcal{L}_{[\gamma]}$ が恒等写像になるように $L_x=A$（一定）と選べるものを定数局所系という。