Frobenius 元と Artin 記号

$L/K$ を Galois 拡大、$\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ を不分岐な素イデアル、$q = |\kappa(\mathfrak{p})|$ とする。$D(\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p})$ の元で、$\kappa(\mathfrak{P})$ に $x \mapsto x^q$ を誘導するただ 1 つのものを $\mathfrak{P}$ の Frobenius 元といい、$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ または $\mathrm{Frob}(\mathfrak{P}, L/K)$ と書く。$L/K$ が Abel 拡大（$G$ が Abel 群）で $\mathfrak{p}$ が $L$ で不分岐のとき、$\mathrm{Frob}_{\mathfrak{P}}$ は $\mathfrak{P} \mid \mathfrak{p}$ の取り方によらない（命題 5.2 の 2）。これを Artin 記号といい $(L/K, \mathfrak{p})$ と書く。