Artin 写像・ノルム群

定義 5.1（「類体論」§5）

$L/K$ を代数体の有限次 Abel 拡大、 $\mathfrak{m}$ を、 $L$ で分岐する $K$ の素イデアルをすべて $\mathfrak{m}_0$ が割るモジュラスとする。 $\mathfrak{m}_0$ を割らない素イデアル $\mathfrak{p}$ に Frobenius 元 $\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}} = (L/K, \mathfrak{p}) \in \mathrm{Gal}(L/K)$ を対応させ、乗法的に延ばした準同型

\mathrm{Art}_{L/K} : I^{\mathfrak{m}} \to \mathrm{Gal}(L/K), \qquad \prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{k_{\mathfrak{p}}} \mapsto \prod_{\mathfrak{p}}\mathrm{Frob}_{\mathfrak{p}}^{\,k_{\mathfrak{p}}}

を Artin 写像という。 $C_K$ の部分群 $N_{L/K}C_L$ を $L/K$ の（イデールの）ノルム群、 $I^{\mathfrak{m}}$ の部分群 $P_{\mathfrak{m}}N_{L/K}(I_L^{\mathfrak{m}})$ を $\mathfrak{m}$ を法とするイデアルのノルム群という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。