正則関数・射

$Y \subseteq \mathbb{A}^n$ を多様体、$U \subseteq Y$ を開集合とする。関数 $\varphi\colon U \to k$ が点 $p \in U$ で正則であるとは、$p$ の開近傍 $W \subseteq U$ と多項式 $G, H \in k[x_1, \ldots, x_n]$ があって、$H$ は $W$ の上で $0$ にならず、$W$ の上で $\varphi = G/H$ となることをいう。$U$ のすべての点で正則な関数を $U$ 上の正則関数といい、その全体を $\mathcal{O}_Y(U)$（または $\mathcal{O}(U)$）と書く。

点 $p \in Y$ に対し、$p$ の開近傍 $W$ と $\varphi \in \mathcal{O}(W)$ の組 $(W, \varphi)$ の全体に、「$p$ のある開近傍 $W'' \subseteq W \cap W'$ の上で $\varphi = \varphi'$」という同値関係を入れた商を $\mathcal{O}_{Y,p}$ と書き、$Y$ の $p$ での局所環という。

多様体 $X, Y$ の間の写像 $\phi\colon X \to Y$ が射であるとは、$\phi$ が連続で、$Y$ の任意の開集合 $V$ と $f \in \mathcal{O}_Y(V)$ について $f \circ \phi \in \mathcal{O}_X(\phi^{-1}(V))$ となることをいう。射 $\psi\colon Y \to X$ で $\psi \circ \phi = \mathrm{id}_X$、$\phi \circ \psi = \mathrm{id}_Y$ となるものがあるとき、$\phi$ を同型という。