アフィン空間・代数的集合・Zariski 位相

$n \ge 0$ とする。集合 $k^n$ を $\mathbb{A}^n$ と書き、$n$ 次元アフィン空間という。$S \subseteq k[x_1, \ldots, x_n]$ と $Z \subseteq \mathbb{A}^n$ に対し

とおく（定義 4.2［Noether の正規化と Hilbert の零点定理］ と同じ記号）。$\mathbf{V}(S)$ の形の集合を代数的集合という。代数的集合を閉集合とする $\mathbb{A}^n$ の位相（補題 2.2 で位相になることを示す）を Zariski 位相という。$\mathbb{A}^n$ の部分集合には、つねにこの位相の相対位相を入れる。