情報科学 › AI時代の生存戦略 › 数学を学び直す意義

Eckart–Young–Mirsky の定理（フロベニウスノルム版）

定理 3.7（「数学を学び直す意義」§3） ・ ※主張のみ

A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m\times n} の階数を rr とし、その特異値分解を

A=∑i=1rσiuiviT,σ1≥σ2≥⋯≥σr>0A = \sum_{i=1}^{r}\sigma_i \boldsymbol{u}_i \boldsymbol{v}_i^{\mathsf{T}}, \qquad \sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0

とする（{ui}\{\boldsymbol{u}_i\}, {vi}\{\boldsymbol{v}_i\} はそれぞれ正規直交系）。1≤k<r1 \le k < r なる整数 kk に対し Ak=∑i=1kσiuiviTA_k = \sum_{i=1}^{k}\sigma_i\boldsymbol{u}_i\boldsymbol{v}_i^{\mathsf{T}} とおく。このとき、階数が kk 以下のすべての行列 B∈Rm×nB \in \mathbb{R}^{m\times n} について

∥A−B∥F ≥ ∥A−Ak∥F=∑i=k+1rσi2\|A - B\|_F \ \ge\ \|A - A_k\|_F = \sqrt{\sum_{i=k+1}^{r}\sigma_i^2}

が成り立つ。ここで ∥X∥F=∑i,jXij2\|X\|_F = \sqrt{\sum_{i,j} X_{ij}^2} はフロベニウスノルムである。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

この分野（情報科学・コラム）は閉包の検査の対象外で、証明を載せていない定理です。理由と出典は 本文の注意 にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。