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モジュール分割による検査対象の削減

命題 7.1（「AI時代のITエンジニアの生存戦略」§7） ・ ✓公理まで証明済み

システムが n≥2n \ge 2 個の要素からなるとします。分割しない場合、任意の 2 要素が直接相互作用しうるとして、検査すべき対の個数は (n2)\binom{n}{2} です。

いま mm が nn を割り切るとして、要素を大きさ n/mn/m の mm 個のモジュールに分け、（i）同じモジュール内では任意の 2 要素が相互作用しうる、（ii）異なるモジュール間の相互作用はモジュール対ごとのインタフェース 1 個に集約される、と仮定します。このとき検査すべき対象の個数は

I(m)=m(n/m2)+(m2)=n22m−n2+m22−m2I(m) = m \binom{n/m}{2} + \binom{m}{2} = \frac{n^2}{2m} - \frac{n}{2} + \frac{m^2}{2} - \frac{m}{2}

です。II を m>0m > 0 の実変数関数とみなすと II は狭義凸であり、最小点 m∗m^{*} は m3−m2/2=n2/2m^3 - m^2/2 = n^2/2 の唯一の正の解で、nn が大きいとき m∗∼(n2/2)1/3m^{*} \sim (n^2/2)^{1/3} です。このとき

I(m∗)=Θ ⁣(n4/3)I(m^{*}) = \Theta\!\left(n^{4/3}\right)

となり、分割しない場合の Θ(n2)\Theta(n^2) より真に小さくなります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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