Monte Carlo 推定量・標準誤差

定義 2.1（「Monte Carlo 積分と分散低減」§2）

$X$ を確率変数（ $\mathbb{R}^d$ 値でよい）、 $f$ を $f(X)$ が可積分になる可測関数とし、 $I = \mathbb{E}[f(X)]$ を求めたい量とする。 $X$ と同じ分布に従う独立な確率変数 $X_1, \ldots, X_N$ に対して

\hat I_N = \frac1N\sum_{i=1}^N f(X_i)

を $I$ の Monte Carlo 推定量という。 $\sigma^2 = \mathrm{Var}(f(X))$ が有限のとき、 $\sigma/\sqrt N$ を $\hat I_N$ の標準誤差という。標本分散

s_N^2 = \frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^N\bigl(f(X_i) - \hat I_N\bigr)^2 \qquad (N \ge 2)

を使った $s_N/\sqrt N$ を標準誤差の推定値という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。