全変動距離と混合時間

定義 4.1（「Markov 連鎖 Monte Carlo」§4）

$S$ 上の確率分布 $\mu, \nu$ の全変動距離を $\|\mu - \nu\|_{\mathrm{TV}} = \frac12\sum_x|\mu(x) - \nu(x)|$ と定める。定常分布 $\pi$ をもつ遷移行列 $P$ について

d(t) = \max_{x \in S}\|P^t(x, \cdot) - \pi\|_{\mathrm{TV}}, \qquad t_{\mathrm{mix}}(\varepsilon) = \min\{t \ge 0 : d(t) \le \varepsilon\}

と置き、 $t_{\mathrm{mix}}(\varepsilon)$ を混合時間という（そのような $t$ がなければ $\infty$ ）。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。