2 精度の差は丸め誤差の推定値

ある式（打ち切りを含んでよい）の厳密な値を $y_h$、真に求めたい値を $y$ とする。同じ式を精度 $p$ と精度 $p'\gt p$ で計算した値を $\hat y_p=y_h+\rho_p$, $\hat y_{p'}=y_h+\rho_{p'}$ と書く（$\rho$ は丸め誤差）。

1. $0\le\lambda\lt1$ について $|\rho_{p'}|\le\lambda|\rho_p|$ ならば $$(1-\lambda)\,|\rho_p|\le|\hat y_p-\hat y_{p'}|\le(1+\lambda)\,|\rho_p|.$$ すなわち、2 つの結果の差は、低い方の精度の丸め誤差に相対 $\lambda$ 以内で一致する。
2. 丸め誤差が単位丸めに比例する範囲、すなわち定数 $0\lt c_1\le c_2$ があって両方の精度で $c_1u\le|\rho|\le c_2u$（$u$ はそれぞれの単位丸め $2^{-p}$, $2^{-p'}$）のとき、$p'=2p$ ならば 1 は $\lambda=(c_2/c_1)\,2^{-p}$ で成り立つ。
3. 差 $\hat y_p-\hat y_{p'}=\rho_p-\rho_{p'}$ は $y$ にも $y_h-y$ にもよらない。とくに、2 つの結果が何桁一致していても、打ち切り誤差 $|y_h-y|$ については何もわからず、$|\hat y_p-y|\ge|y_h-y|-|\rho_p|$ である。