精度を倍にしながらの反復

命題 5.3（「精度の選び方」§5）・ ✓公理まで証明済み

（精度） $J=[x^*-\delta,x^*+\delta]$ 、 $\varphi:J\to\mathbb{R}$ とし、定数 $K\gt0$ についてすべての $x\in J$ で $|\varphi(x)-x^*|\le K|x-x^*|^2$ とする。 $0\lt\tau_0\le\delta$ , $2K\tau_0\lt1$ とし、 $\tau_{j+1}=2K\tau_j^2$ と定める。 $x_0\in J$ , $|x_0-x^*|\le\tau_0$ から出発して $x_{j+1}=\varphi(x_j)+\rho_j,\qquad|\rho_j|\le K\tau_j^2$ （ $\rho_j$ は $j$ 回目の反復を有限の精度で行ったことによる誤差）で列を作ると、すべての $j$ で $x_j\in J$ , $|x_j-x^*|\le\tau_j$ であり、 $2K\tau_j=(2K\tau_0)^{2^j}$ である。
（費用）関数 $M:\{1,2,\ldots\}\to(0,\infty)$ が、すべての $q$ で $M(2q)\ge2M(q)$ を満たすとする。目標の精度を $p=2^Jp_0$ （ $p_0\ge1$ , $J\ge0$ は整数）とし、精度 $q$ での反復 1 回の費用が $aM(q)$ 以下（ $a\gt0$ は定数）とする。反復を精度 $p_0,2p_0,4p_0,\ldots,2^Jp_0=p$ で 1 回ずつ行うと、費用の合計は $\sum_{i=0}^{J}aM\bigl(p/2^i\bigr)\le aM(p)\sum_{i=0}^{J}2^{-i}\lt2aM(p)$ である。すべての反復を精度 $p$ で行う場合の上界 $(J+1)aM(p)$ に対し、最後の 1 回の 2 倍未満で済む。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。