残りの反復回数の見積もり

$\mathrm{tol} \gt 0$ を目標の誤差とする。

1. （1 次収束）$0 \lt \rho \lt 1$ で、すべての $j \ge k$ について $e_{j+1} = \rho e_j$ とし、$e_k \gt \mathrm{tol}$ とする。$e_{k+m} \le \mathrm{tol}$ となる最小の整数 $m \ge 0$ は $$m = \Bigl\lceil\frac{\ln(\mathrm{tol}/e_k)}{\ln\rho}\Bigr\rceil$$ で、$\rho$ は直近の比 $e_{k+1}/e_k$ に等しい。
2. （2 次収束）$c \gt 0$ で、すべての $j \ge k$ について $e_{j+1} = ce_j^2$ とし、$ce_k \lt 1$、$e_{k+1} \gt \mathrm{tol}$ とする。直近の比 $\rho_k = e_{k+1}/e_k = ce_k$ を 1 の式に入れた見積もり $m_{\mathrm{lin}} = \lceil\ln(\mathrm{tol}/e_{k+1})/\ln\rho_k\rceil$ と、$e_{k+1+m} \le \mathrm{tol}$ となる最小の整数 $m_{\mathrm{true}} \ge 0$ について $$m_{\mathrm{true}} = \Bigl\lceil\log_2\frac{\ln(c\,\mathrm{tol})}{\ln(ce_{k+1})}\Bigr\rceil \le m_{\mathrm{lin}}$$ が成り立つ。