故障の Poisson モデル

$\lambda \gt 0$ とし、$\mu = 1/\lambda$ とおく。ジョブが計算またはチェックポイントの書き込みをしている時間（稼働時間）の軸の上で、故障は強度 $\lambda$ の Poisson 過程（定義 4.1［Markov 連鎖と Poisson 過程］）の到着時刻に起こるとする。すなわち、$i$ 回目に動き始めてから故障するまでの稼働時間 $X_i$（$i = 1, 2, \ldots$）は独立で、どれも指数分布 $\mathrm{Exp}(\lambda)$（密度 $\lambda e^{-\lambda x}$、$x \gt 0$）に従う。故障が起こると、最後に完了したチェックポイントより後の仕事は失われ、再起動に時間 $R \ge 0$ がかかる。再起動の間は故障しないとする。

仕事 $\tau \gt 0$ とチェックポイントの書き込み $C \ge 0$ をひと続きにしたものを 1 区間といい、$a = \tau + C$ とおく。1 区間は、稼働時間 $a$ を故障なしで続けたときに完了する。$K = \min\{k \ge 1 : X_k \ge a\}$（初めて成功する試みの番号）とおくと、1 区間を完了するまでの時間は

である。