空間を離散化した波動方程式と Schrödinger 方程式

$A$ を $d$ 次の実対称な正定値行列、$H$ を $d$ 次のエルミート行列とする。

を、それぞれ半離散の波動方程式、半離散の Schrödinger 方程式という。$A$ の固有値を $0 \lt \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_d$ と書く。$\langle x, y\rangle = \sum_j\bar x_jy_j$、$\|x\| = \langle x, x\rangle^{1/2}$ は $\mathbb{C}^d$ の標準内積とノルム、行列のノルム $\|\cdot\|$ はそれから誘導される作用素ノルム（2 ノルム）とする。交換子を $[X, Y] = XY - YX$ と書く。