周期 Sobolev 空間と Fourier 切断

定義 2.1（「スペクトル法」§2）

$s \ge 0$ と $u \in L^2(\mathbb{T})$ について

|u|_{H^s}^2 = \sum_{k \ne 0}|k|^{2s}|\hat u(k)|^2,\qquad \|u\|_{H^s}^2 = \sum_{k\in\mathbb{Z}}(1 + k^2)^s|\hat u(k)|^2

とおき、 $\|u\|_{H^s} \lt \infty$ である $u$ の全体を $H^s_{\mathrm{per}}$ と書く。 $S_N = \mathrm{span}\{e_k : |k| \le K\}$ （次数 $K$ 以下の三角多項式の空間。次元は $N$ ）への $L^2$ 直交射影

P_Nu = \sum_{|k| \le K}\hat u(k)\,e_k

を Fourier 切断という。 $u \in H^1_{\mathrm{per}}$ について、Fourier 係数が $ik\hat u(k)$ である $L^2$ の元を $u'$ と書く。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。