区間上の H¹・H¹₀・H²

$[0,1]$ 上の絶対連続な関数 $u$ で $u' \in L^2(0,1)$ となるものの全体を $H^1(0,1)$、そのうち $u(0) = u(1) = 0$ を満たすものの全体を $H^1_0(0,1)$ と書く。$C^1$ 級で $u'$ が絶対連続、$u'' \in L^2(0,1)$ となる関数の全体を $H^2(0,1)$ と書く。$H^1_0(0,1)$ には内積 $\langle u, v\rangle_V = \langle u', v'\rangle$ とノルム $\|u\|_V = \|u'\|$ を入れる。