シグモイド関数の基本性質

定義 3.1 の $\sigma$ について、次が成り立つ。

1. すべての $z \in \mathbb{R}$ について $0 < \sigma(z) < 1$ であり、$\sigma$ は $\mathbb{R}$ 上 $C^{\infty}$ 級かつ狭義単調増加で、$\lim_{z \to -\infty} \sigma(z) = 0$、$\lim_{z \to +\infty} \sigma(z) = 1$。
2. すべての $z$ について $\sigma(-z) = 1 - \sigma(z)$。特に $\sigma(0) = 1/2$。
3. すべての $z$ について $\sigma'(z) = \sigma(z)\bigl(1 - \sigma(z)\bigr) = \sigma(z)\,\sigma(-z) > 0$。
4. $\sigma : \mathbb{R} \to (0,1)$ は全単射であり、その逆関数は $\sigma^{-1}(p) = \log \dfrac{p}{1-p}$（$0 < p < 1$）で与えられる。