層正規化はスケールと平行移動に不変

$\varepsilon = 0$ とし、$\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^d$ は成分がすべて等しくはないとする。

1. 任意の $a > 0$ と $b \in \mathbb{R}$ について $\mathrm{LN}(a\boldsymbol{x} + b\boldsymbol{1}) = \mathrm{LN}(\boldsymbol{x})$。
2. $\boldsymbol{\gamma} = \boldsymbol{1}$、$\boldsymbol{\beta} = \boldsymbol{0}$ のとき、$\boldsymbol{y} := \mathrm{LN}(\boldsymbol{x})$ は $\mu(\boldsymbol{y}) = 0$、$\sigma^2(\boldsymbol{y}) = 1$、$\|\boldsymbol{y}\| = \sqrt{d}$ を満たす。