数学 › 組合せ論 › 半順序集合と Möbius 反転

階数付き半順序集合と Whitney 数

定義 9.1（「半順序集合と Möbius 反転」§9）

最小元 0^\hat0 をもつ有限半順序集合 PP が階数付きであるとは、関数 ρ:P→{0,1,2,… }\rho:P\to\{0,1,2,\dots\} で ρ(0^)=0\rho(\hat0)=0 かつ「yy が xx を被覆する（x<yx<y で x<z<yx<z<y となる zz がない）なら ρ(y)=ρ(x)+1\rho(y)=\rho(x)+1」を満たすものがあることをいう。このとき

Wk=#{x∈P:ρ(x)=k},wk=∑x: ρ(x)=kμ(0^,x)W_k=\#\{x\in P:\rho(x)=k\},\qquad w_k=\sum_{x:\ \rho(x)=k}\mu(\hat0,x)

をそれぞれ第 2 種、第 1 種の Whitney 数という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。