半順序集合・区間

集合 $P$ 上の関係 $\le$ が、反射律（$x\le x$）、反対称律（$x\le y$ かつ $y\le x$ なら $x=y$）、推移律（$x\le y\le z$ なら $x\le z$）を満たすとき、組 $(P,\le)$ を半順序集合という。以下 $P$ は有限とする。$x\le y$ のとき区間 $[x,y]=\{z\in P:x\le z\le y\}$ を定め、$\mathrm{Int}(P)=\{(x,y):x\le y\}$ とおく。$P$ に最小元 $\hat0$ や最大元 $\hat1$ があるとき、それぞれ $\hat0,\hat1$ と書く。