数学 › 組合せ論 › グラフと行列式

閉歩道族への展開

補題 7.4（「グラフと行列式」§7） ・ ✓公理まで証明済み

有向辺の非後退な巡回列 γ=(e1,…,ek)\gamma=(e_1,\dots,e_k)（h(ej)=t(ej+1)h(e_j)=t(e_{j+1})、ej+1≠eˉje_{j+1}\neq\bar e_j、添字は kk を法とし、eje_j は相異なる）に、重み w(γ)=∏jxej⋅eirot⁡(γ)/2w(\gamma)=\prod_jx_{e_j}\cdot e^{i\operatorname{rot}(\gamma)/2}、rot⁡(γ)=∑j∠(ej,ej+1)\operatorname{rot}(\gamma)=\sum_j\angle(e_j,e_{j+1}) を与える。このとき rot⁡(γ)∈2πZ\operatorname{rot}(\gamma)\in2\pi\mathbb{Z} で、

det⁡(I−T)=∑Γ∏γ∈Γ(−w(γ))\det(I-T)=\sum_{\Gamma}\prod_{\gamma\in\Gamma}\bigl(-w(\gamma)\bigr)

が成り立つ。和は、どの有向辺も高々一度しか使わない巡回列の（順序なし）族 Γ\Gamma 全体にわたる（Γ=∅\Gamma=\varnothing は 11 を与える）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。