重み付き Laplacian と向き付き接続行列

定義 2.3（「グラフと行列式」§2）

各辺 $e$ に重み $w_e$ （複素数、または不定元）を与え、 $W=\operatorname{diag}(w_e)_{e\in E}$ とする。重み付き Laplacian $L$ は $n$ 次正方行列で

L_{uu}=\sum_{e\ni u}w_e,\qquad L_{uv}=-\sum_{e:\,u\text{–}v}w_e\quad(u\neq v)

と定める（和は $u$ に接続する辺、および $u,v$ を結ぶ辺にわたる）。 $w_e\equiv1$ なら $L=D-A$ （ $D$ は次数の対角行列、 $A$ は隣接行列）。各辺に向き $t(e)\to h(e)$ を勝手に一つ選び、 $n\times m$ 行列 $B$ を

B_{v,e}=\begin{cases}1&v=t(e)\\-1&v=h(e)\\0&\text{それ以外}\end{cases}

で定め、向き付き接続行列という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。