非後退行列と Ihara ゼータ関数

$2m$ 次の行列 $\mathcal B$ を、$h(e)=t(f)$ かつ $f\neq\bar e$ のとき $\mathcal B_{ef}=1$、それ以外は $0$ と定める（非後退行列、Hashimoto 行列）。有向辺の列 $(e_1,\dots,e_k)$ で、添字を $k$ を法として $h(e_j)=t(e_{j+1})$ かつ $e_{j+1}\neq\bar e_j$ をみたすものを、長さ $k$ の非後退閉歩道（基点付き）といい、その個数を $N_k$ とする。Ihara ゼータ関数を形式的冪級数

で定める。