ゲームの和・Nim

二つの有限の公平ゲーム $G=(V_G,\to)$、$H=(V_H,\to)$ の和 $G+H$ とは、局面の集合 $V_G\times V_H$、手 $(u,v)\to(u',v)$（$u\to u'$ のとき）と $(u,v)\to(u,v')$（$v\to v'$ のとき）のゲームである（有限非巡回）。石山 $*n$ ($n\ge0$) は局面 $\{0,1,\dots,n\}$、手 $m\to m'$（$m'<m$）のゲームで、$k$ 個の石山 $*n_1+\cdots+*n_k$ を Nim という（各手番に 1 つの山から好きな個数（1 個以上）を取る）。