形式的冪級数環

定義 2.1（「数え上げと母関数」§2）

$K$ の元の列 $(f_n)_{n\ge0}$ を $f=\sum_{n\ge0}f_nx^n$ と書き、形式的冪級数と呼ぶ。 $f_n$ を $f$ の $x^n$ の係数といい、 $[x^n]f$ とも書く。和と積を

(f+g)_n=f_n+g_n,\qquad (fg)_n=\sum_{i=0}^nf_ig_{n-i}

で定める。この演算で形式的冪級数全体は可換環をなす。これを $K[[x]]$ と書く。 $f\neq0$ に対し、 $f_n\neq0$ となる最小の $n$ を $f$ の位数 $\operatorname{ord}f$ という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。