因果的な写像の組み立て

補題 6.2（「自己注意」§6）・ ✓公理まで証明済み

関数 $g_1, g_2, \ldots : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^{d'}$ （ $n$ に依らない）に対し、 $G_n(X)_i := g_i(\boldsymbol{x}_i)$ で定まる族は因果的である。とくに、行ごとに働く写像（すべての $g_i$ が同じ場合）と、位置 $i$ に依る位置ベクトルを足す写像 $\boldsymbol{x}_i \mapsto \boldsymbol{x}_i + \boldsymbol{p}_i$ は因果的である。
$f, g$ が因果的ならば、合成 $(g_n \circ f_n)_n$ 、和 $(f_n + g_n)_n$ 、列方向の連結も因果的である。とくに $f$ が因果的ならば $X \mapsto X + f_n(X)$ も因果的である。
$f$ が因果的ならば、 $j \le i \le n$ について $f_n(X)_j = f_i(X_{1:i})_j$ 。すなわち $f_n(X)_{1:i} = f_i(X_{1:i})$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。