置換行列・同変・不変

$\{1, \ldots, n\}$ の置換 $\pi$（定義 2.1［行列式とその性質］）に対し、$(P_\pi)_{ij} := 1$（$j = \pi(i)$ のとき）、$0$（それ以外）で定まる $n$ 次の正方行列 $P_\pi$ を置換行列という。

写像 $f : \mathbb{R}^{n \times d} \to \mathbb{R}^{n \times d'}$ が、すべての置換行列 $P$ とすべての $X$ について $f(PX) = P f(X)$ を満たすとき置換同変、$f(PX) = f(X)$ を満たすとき置換不変という。

関数 $g : \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}^{d'}$ に対し、各行に $g$ を施す写像 $G(X)_i := g(\boldsymbol{x}_i)$ を行ごとに働く写像という（$G(X)_i$ は $G(X)$ の第 $i$ 行）。