べき則の性質と指数の決定

命題 7.3（「スケーリングと文脈」§7）・ ✓公理まで証明済み

$L(N) = a N^{-\alpha} + L_\infty$ （ $a, \alpha > 0$ 、 $L_\infty \ge 0$ ）とします。

$L_\infty = 0$ のとき、 $\log L = \log a - \alpha \log N$ で、 $\log L$ は $\log N$ の 1 次関数です。任意の $c > 0$ について $L(cN) = c^{-\alpha} L(N)$ です。
$L_\infty = 0$ のとき、2 点 $(N_1, L_1)$ 、 $(N_2, L_2)$ （ $N_1 \ne N_2$ ）から $\alpha = -\dfrac{\log(L_2 / L_1)}{\log(N_2 / N_1)}$ と決まります。
$L_\infty > 0$ のとき、両対数での傾きは $\dfrac{d \log L}{d \log N} = -\alpha \Bigl(1 - \dfrac{L_\infty}{L(N)}\Bigr)$ で、 $N$ とともに $-\alpha$ から $0$ へ変わります。 $\log L$ は $\log N$ の 1 次関数ではありません。
$L_\infty$ が未知のとき、2 点からは $\alpha$ は決まりません。等比に並んだ 3 点 $N, cN, c^2 N$ （ $c > 1$ ）での値 $L_1, L_2, L_3$ からは

\alpha = \frac{1}{\log c} \log \frac{L_1 - L_2}{L_2 - L_3}

と決まります。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。