## 2. 準備：位相空間、リウヴィルの定理、状態数
### 2.1. ミクロ状態と位相空間
$N$ 個の粒子からなる古典系を考えます。[ハミルトン形式の力学](/physics/mechanics/hamiltonian-mechanics) で見たとおり、系の瞬間の状態は正準座標と正準運動量の組
$$
(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}) = (q_1, \ldots, q_{3N},\, p_1, \ldots, p_{3N})
$$
で完全に指定されます。この $6N$ 次元空間 $\Gamma$ を**位相空間**（
）、その 1 点を**ミクロ状態**と呼びます。時間発展は正準方程式
$$
\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}
$$
で決まります。孤立系ではハミルトニアン $H(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ が保存量なので、軌道は超曲面 $H = E$（**エネルギー面**）の上に留まります。
一方、私たちが実験で指定できるのは $(N, V, E)$ という数個の量だけです。これを**マクロ状態**と呼びます。一つのマクロ状態に対応するミクロ状態は連続無限個あり、そのままでは「数」になりません。そこで二つの操作を行います。
第一に、エネルギーを厳密に $E$ に固定するのではなく、幅 $\Delta E$ の薄い殻 $E \le H \le E + \Delta E$ を考えます。この $\Delta E$ は測定の分解能程度の量で、$\Delta E \ll E$ ですが、あとで示すように最終結果には効きません（
）。
第二に、位相空間の体積を無次元の「個数」に直すために、$6N$ 次元の体積要素を $h^{3N}$ で割ります。$h$ はプランク定数の次元（作用の次元）をもつ定数で、古典論の枠内では任意ですが、量子力学から半古典近似を取ると正確にプランク定数になります。さらに、同種粒子の入れ替えは新しい状態を作らないので $N!$ で割ります。
ハミルトニアン $H(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p})$ をもつ同種 $N$ 粒子系が体積 $V$ の容器に閉じ込められているとする。エネルギー幅 $\Delta E > 0$ に対し、**ミクロ状態数**を
$$
W(E, V, N) = \frac{1}{N!\, h^{3N}} \int_{E \le H(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}) \le E + \Delta E} d^{3N}q\, d^{3N}p
$$
で定義する。また、エネルギーが $E$ 以下の位相体積を
$$
\Sigma(E,V,N) = \frac{1}{N!\, h^{3N}} \int_{H \le E} d^{3N}q\, d^{3N}p
$$
と書き、その導関数を $\Omega(E,V,N) = \partial \Sigma/\partial E$（**状態密度**）と呼ぶ。定義から $W = \Sigma(E+\Delta E) - \Sigma(E) \simeq \Omega(E)\Delta E$ である。
量子系では、$W$ はハミルトニアンの固有値が区間 $[E, E+\Delta E]$ に入る**エネルギー固有状態の個数**（縮退度を込めて数えたもの）とする。このとき $h^{3N}$ と $N!$ による割り算は不要で、両者は古典極限で自動的に現れる。
### 2.2. リウヴィルの定理
平衡状態を「一様分布」で表そうというとき、まず確かめるべきは、その分布が時間変化しないことです。これを保証するのがリウヴィルの定理です。位相体積の保存という形での同じ定理は
で扱いました。
ハミルトニアン $H(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)$ に従う正準方程式で時間発展する系を考える。位相空間上の確率密度 $\rho(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p},t)$ が確率の保存則（連続の方程式）を満たすとき、位相空間の点に沿った全微分は消える。すなわち
$$
\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N}\left(\dot q_i \frac{\partial \rho}{\partial q_i} + \dot p_i \frac{\partial \rho}{\partial p_i}\right) = 0 .
$$
特に、$\rho$ が $H$ のみを通じて位相空間に依存する形 $\rho = f(H)$ で、$H$ が時間に陽に依存しないならば、$\partial \rho/\partial t = 0$、つまり $\rho$ は定常分布である。
確率が保存されるので、位相空間における流体としての連続の方程式
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^{3N}\left[\frac{\partial}{\partial q_i}(\rho\, \dot q_i) + \frac{\partial}{\partial p_i}(\rho\, \dot p_i)\right] = 0
$$
が成り立ちます。積の微分で展開すると
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_i \left(\dot q_i \frac{\partial \rho}{\partial q_i} + \dot p_i \frac{\partial \rho}{\partial p_i}\right) + \rho \sum_i \left(\frac{\partial \dot q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot p_i}{\partial p_i}\right) = 0
$$
です。最後の和に正準方程式を代入すると
$$
\frac{\partial \dot q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot p_i}{\partial p_i}
= \frac{\partial}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} = 0
$$
となります（$H$ が $C^2$ 級なら偏微分の順序が交換できるため）。つまり位相空間の「流れ」は非圧縮性をもちます。したがって残るのは
$$
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \sum_i\left(\dot q_i \frac{\partial \rho}{\partial q_i} + \dot p_i \frac{\partial \rho}{\partial p_i}\right) = \frac{d\rho}{dt} = 0
$$
で、第一の主張が示されました。
後半を示します。中央の和はポアソン括弧 $\{\rho, H\}$ そのものです。いま $\rho = f(H)$ とすると、連鎖律から
$$
\{\rho, H\} = \sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)
= f'(H) \sum_i\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = 0
$$
となります。よって $d\rho/dt = 0$ から $\partial \rho/\partial t = 0$、すなわち $\rho$ は定常です。
この定理が言っているのは、「エネルギーだけの関数として書ける分布は、時間が経っても形を変えない」ということです。エネルギー殻の上の一様分布はまさにその形（殻の中で定数、外で $0$）なので、平衡分布の候補として力学と矛盾しません。
### 2.3. 殻の厚みは効かない
$\Delta E$ という人為的な量が最終結果に残っては困ります。実は残りません。
$\Sigma(E)$ が $E$ について $\Sigma(E) \propto E^{\alpha N}$ の形（$\alpha > 0$ は $N$ に依存しない定数）で書けるとする。$\Delta E$ が $\Delta E/E$ について $\ln(\Delta E/E) = O(\ln N)$ を満たす範囲にあるとき、三つの量
$$
k\ln \Sigma(E), \qquad k \ln \big(\Omega(E)\, \Delta E\big), \qquad k \ln W(E)
$$
は互いに $O(k\ln N)$ しか違わない。したがって $N \to \infty$ で 1 粒子あたりの値としては一致する。
仮定より $\Sigma(E) = C E^{\alpha N}$（$C$ は $E$ によらない）と書けるので
$$
\Omega(E) = \frac{\partial \Sigma}{\partial E} = \alpha N\, C E^{\alpha N - 1} = \frac{\alpha N}{E}\Sigma(E)
$$
です。よって
$$
\ln\big(\Omega(E)\Delta E\big) = \ln \Sigma(E) + \ln(\alpha N) + \ln\frac{\Delta E}{E} .
$$
右辺の第 2 項は $O(\ln N)$、第 3 項も仮定から $O(\ln N)$ です。次に $W$ ですが、$\Delta E \ll E$ のとき
$$
W = \Sigma(E + \Delta E) - \Sigma(E) = \Omega(E)\Delta E \left[1 + O\!\left(\frac{\alpha N \Delta E}{E}\right)\right]
$$
なので、$N\Delta E/E$ が高々多項式オーダーであれば $\ln W = \ln(\Omega \Delta E) + O(\ln N)$ です。
一方 $\ln \Sigma$ 自体は $N$ に比例する量（示量的）ですから、$O(\ln N)$ の差は 1 粒子あたりに直すと $O(N^{-1}\ln N) \to 0$ です。$N \sim 10^{23}$ では $\ln N/N \sim 10^{-22}$ で、どんな測定精度よりも小さい。
この「$\Delta E$ が効かない」という一見不思議な事実の幾何学的な理由は、高次元では体積が表面のごく近くに集中しているからです。
$n$ 次元の半径 $R$ の球の体積は $R^n$ に比例します。厚み $\delta$ の表面殻が全体に占める割合は
$$
1 - \left(1 - \frac{\delta}{R}\right)^{n} \simeq 1 - e^{-n\delta/R}
$$
です。$n = 3N = 3 \times 10^{23}$ とし、$\delta/R = 10^{-20}$ という極端に薄い殻を取っても、指数は $n\delta/R = 3\times 10^{3}$ となり、$e^{-3000}$ は完全に無視できます。つまり球の体積の実質すべてが、この薄皮の中にあります。
だから「$E$ 以下の全体積 $\Sigma$」と「$E$ の近傍の殻の体積 $W$」がほとんど同じになるのです。
## 3. 等重率の原理とミクロカノニカル集団
平衡分布が「エネルギー殻上の一様分布」であること自体は、
からは出てきません。定理が言うのは $f(H)$ の形なら定常だ、ということだけで、$f$ を殻の上で定数に選ぶ根拠は別に必要です。統計力学はこれを**原理**として要請します。
孤立した巨視的な系が熱平衡にあるとき、その系が取りうるミクロ状態、すなわちエネルギー殻 $E \le H \le E + \Delta E$（量子系ではエネルギー固有値が $[E, E+\Delta E]$ にある固有状態）に属するミクロ状態は、**すべて等しい確率で実現する**。
## 4. ボルツマンのエントロピー
### 4.1. なぜ対数か
孤立系 $(E, V, N)$ のミクロ状態数を $W(E,V,N)$（
$W$ をそのまま使わず対数を取るのは、次の性質のためです。
系 $A$ と系 $B$ が、相互作用エネルギーが両者のエネルギーに比べて無視できる程度に弱く結合しており（$H = H_A + H_B + H_{\text{int}}$、$|H_{\text{int}}| \ll E_A, E_B$）、それぞれのエネルギーが $E_A$, $E_B$ に固定されているとする。このとき合成系のミクロ状態数は
$$
W_{AB}(E_A, E_B) = W_A(E_A)\, W_B(E_B)
$$
であり、したがって
### 4.2. 熱平衡条件と温度
ここが統計力学と熱力学をつなぐ要の議論です。
系 $A$（粒子数 $N_A$、体積 $V_A$）と系 $B$（$N_B$, $V_B$）が、固定された透熱壁を通じてエネルギーのみを交換でき、全体は孤立して全エネルギー $E = E_A + E_B$ が一定であるとする。相互作用エネルギーは無視でき（
この定義がクラウジウスの温度と一致することは、次のように確認できます。熱力学では体積と粒子数を固定した準静的過程で $dE = \delta Q_{\text{rev}} = T\,dS$ ですから、$(\partial S/\partial E)_{V,N} = 1/T$ が成り立ちます。統計力学的な定義はこれをそのまま採用した形です。そして
は、この $T$ について $T_A = T_B$ が熱平衡の条件になると述べています。これは熱力学第零法則（
）の内容そのものです。
同じ論法は壁を可動にすれば体積の交換に、透過性にすれば粒子の交換に、そのまま拡張できます。可動壁の場合は $E_A + E_B$ と $V_A + V_B$ が一定という条件のもとで $\ln W_A(E_A,V_A) + \ln W_B(E_B,V_B)$ を最大化すればよく、$\partial S_A/\partial E_A = \partial S_B/\partial E_B$ に加えて $\partial S_A/\partial V_A = \partial S_B/\partial V_B$、すなわち $T_A = T_B$ かつ $p_A = p_B$ が出ます。透過壁なら $\mu_A = \mu_B$ が加わります。
孤立系に対して、ある内部的な制約（仕切り、断熱壁、固定壁など）が課されている状態のエントロピーを $S_{\text{c}}$、その制約を取り去って十分時間が経った後の平衡状態のエントロピーを $S$ とすると、
$$
S \ge S_{\text{c}}
$$
が成り立つ。
制約があるとき系が取りうるミクロ状態の集合を $\mathcal{M}_{\text{c}}$、制約を外したときの集合を $\mathcal{M}$ とします。制約を外しても系のエネルギー・体積・粒子数の総量は変わらないので、制約下で許されていた状態はすべて制約解除後も許されます。すなわち $\mathcal{M}_{\text{c}} \subseteq \mathcal{M}$ です。単調性より $W_{\text{c}} \le W$、対数は単調増加なので $k\ln W_{\text{c}} \le k \ln W$、すなわち $S_{\text{c}} \le S$ です。
たとえば
### 4.3. 最大項だけを見てよい理由
は「和の最大項」を与えるだけです。和そのものが最大項で近似できることを確かめておかねばなりません。
図の破線は $W_A$ と $W_B$ を模式的に描いたものです。どちらも $E_A$ の緩やかな関数ですが、それぞれが $E_A$ の $N$ 乗程度の速さで変化するため、積は幅 $O(\sqrt N)$、高さの比が $e^{O(N)}$ という極端に鋭いピークになります。これが「マクロな量にはゆらぎがない」という熱力学の前提の統計力学的な内容です。大数の法則との関係については [大数の法則と中心極限定理](/mathematics/probability/limit-theorems)、とくに
も参照してください。
## 5. 単原子理想気体
理論を実際に動かしてみます。統計力学が熱力学に対してもつ優位性、つまり「エントロピーの絶対値を予言できる」ことが、ここではっきり見えます。
質量 $m$ の同種粒子 $N$ 個が体積 $V$ の容器に閉じ込められ、相互に作用しないとする。ハミルトニアンは
$$
H(\boldsymbol{q},\boldsymbol{p}) = \sum_{i=1}^{N}\frac{\boldsymbol{p}_i^2}{2m}
\qquad (\boldsymbol{q}_i \in V,\ i = 1,\ldots,N)
$$
である。このとき $N \gg 1$ において、
## 6. 束縛されたエネルギースペクトルをもつ系
理想気体ではエネルギーに上限がなく、状態数は $E$ の増加関数でした。上限がある系では、まったく違う現象が起こります。
格子上に固定された $N$ 個の独立な粒子があり、各粒子は基底状態（エネルギー $0$）か励起状態（エネルギー $\varepsilon > 0$）のどちらかを取るとします。励起している粒子の数を $n$ とすると、全エネルギーは $E = n\varepsilon$ で、そのミクロ状態数は「$N$ 個から $n$ 個を選ぶ方法の数」
$$
W(E) = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!\,(N-n)!}, \qquad n = \frac{E}{\varepsilon}
$$
です。$x = n/N$ と置き、スターリングの公式で
$$
\frac{S}{k} = \ln N! - \ln n! - \ln(N-n)! \simeq -N\big[x\ln x + (1-x)\ln(1-x)\big]
$$
を得ます。実際、$N\ln N - N - (n \ln n - n) - ((N-n)\ln(N-n) - (N-n)) = N\ln N - n\ln n - (N-n)\ln(N-n)$ で、$N\ln N$ を分配して整理すると上の式になります。
温度を求めます。$dE = \varepsilon\, dn$ なので
$$
\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E} = \frac{1}{\varepsilon}\frac{\partial S}{\partial n}
= \frac{k}{\varepsilon}\big[-\ln n + \ln(N-n)\big] = \frac{k}{\varepsilon}\ln\frac{N-n}{n} .
$$
これを $n$ について解くと
$$
\frac{n}{N-n} = e^{-\varepsilon/kT}
\qquad\Longleftrightarrow\qquad
x = \frac{n}{N} = \frac{1}{1 + e^{\varepsilon/kT}} ,
$$
つまりボルツマン因子が現れます。エネルギーは $E = N\varepsilon/(1+e^{\varepsilon/kT})$ で、$T \to 0^{+}$ で $E \to 0$（全粒子が基底状態）、$T \to \infty$ で $E \to N\varepsilon/2$（半々）です。
ここからが面白いところです。$x > 1/2$、すなわち $E > N\varepsilon/2$ の状態を用意すると、$\ln\frac{N-n}{n} < 0$ なので $1/T < 0$、つまり**負の絶対温度**になります。これは「絶対零度より冷たい」のではなく、「無限大温度より熱い」状態です。$T$ を温度の尺度と見れば、$+0 \to +\infty \to \pm\infty \to -\infty \to -0$ という順に「熱く」なっていきます。負温度の系を正温度の系に接触させると、熱は必ず負温度側から流れ出します。
負温度が可能なのは、エネルギーが上に有界（$E \le N\varepsilon$）で、そのため $S(E)$ が $E = N\varepsilon/2$ で最大値を取り、そこから先は減少するからです。理想気体のようにエネルギーに上限がない系では、$S$ は $E$ の単調増加関数なので $T > 0$ しかありえません。パーセルとパウンドは 1951 年に、フッ化リチウム結晶の核スピン系で実際に負温度状態を実現しました。
角振動数 $\omega$ の独立な 1 次元調和振動子 $N$ 個からなる系を考えます（固体中の $N/3$ 個の原子の 3 方向の振動を模したモデルです）。量子力学から各振動子のエネルギーは $(m_i + \tfrac12)\hbar\omega$（$m_i = 0,1,2,\ldots$）なので、全エネルギーは
$$
E = \left(M + \frac{N}{2}\right)\hbar\omega, \qquad M = \sum_{i=1}^{N} m_i
$$
です。エネルギーを固定することは $M$ を固定することと同じで、そのときのミクロ状態数は「$M$ 個の区別できない量子を $N$ 個の区別できる振動子に配る方法の数」、すなわち重複組合せの数
$$
W = \binom{M + N - 1}{M} = \frac{(M+N-1)!}{M!\,(N-1)!}
$$
です。$u = M/N$ と置き、$M, N \gg 1$ でスターリングを使うと
$$
\frac{S}{k} \simeq (M+N)\ln(M+N) - M\ln M - N \ln N = N\big[(1+u)\ln(1+u) - u\ln u\big] .
$$
（$N\ln N$ を含む項を $M + N = N(1+u)$, $M = Nu$ で書き直して整理しました。）
温度は $dE = \hbar\omega\, dM$ から
$$
\frac{1}{T} = \frac{1}{\hbar\omega}\frac{\partial S}{\partial M} = \frac{k}{\hbar\omega}\big[\ln(M+N) - \ln M\big] = \frac{k}{\hbar\omega}\ln\left(1 + \frac{1}{u}\right)
$$
となり、$u$ について解くと
$$
u = \frac{1}{e^{\hbar\omega/kT} - 1}
$$
というプランク分布が出ます。したがって
$$
E = N\hbar\omega\left[\frac{1}{2} + \frac{1}{e^{\hbar\omega/kT}-1}\right]
$$
で、これがアインシュタインの比熱の式の出発点です。高温 $kT \gg \hbar\omega$ では $e^{x}-1 \simeq x$ より $E \simeq NkT$、熱容量 $C \simeq Nk$ となってデュロン・プティの法則を再現します。低温 $kT \ll \hbar\omega$ では $E - N\hbar\omega/2 \simeq N\hbar\omega e^{-\hbar\omega/kT}$ となり、熱容量が指数的に $0$ に落ちます。古典論では説明できなかった低温比熱の減少が、量子的な状態数の勘定から自然に出てきました。
## 7. 演習
超相対論的な理想気体、すなわちハミルトニアンが
$$
H = \sum_{i=1}^{N} c\,|\boldsymbol{p}_i|
$$
（$c$ は光速、$\boldsymbol{p}_i \in \mathbb{R}^3$）で与えられ、体積 $V$ に閉じ込められた $N$ 個の同種粒子系を考えます。エントロピー $S(E,V,N)$ を $N \gg 1$ で求め、内部エネルギーと状態方程式を導いてください。
ヒント：$\mathbb{R}^{3N}$ における領域 $\sum_{i=1}^{N}|\boldsymbol{p}_i| \le P$ の体積が $(8\pi)^N P^{3N}/(3N)!$ であることを、ラプラス変換
$$
\int_0^\infty e^{-sP}\,\frac{d\,\mathrm{vol}}{dP}\,dP = \left[\int_{\mathbb{R}^3} e^{-s|\boldsymbol{p}|}\,d^3p\right]^N
$$
を使って示してから、逆変換してください。
**第 1 段：体積の計算。** 球座標で $\int_{\mathbb{R}^3}e^{-s|\boldsymbol{p}|}d^3p = 4\pi\int_0^\infty e^{-sp}p^2\,dp = 4\pi \cdot \frac{2}{s^3} = \frac{8\pi}{s^3}$ です。よってヒントの右辺は $(8\pi)^N s^{-3N}$。一方 $\mathcal{L}[P^{n-1}/(n-1)!] = s^{-n}$ なので、逆変換して
$$
\frac{d\,\mathrm{vol}}{dP} = (8\pi)^N \frac{P^{3N-1}}{(3N-1)!},
\qquad \mathrm{vol}(P) = \frac{(8\pi)^N P^{3N}}{(3N)!} .
$$
**第 2 段：位相体積。** $H \le E$ は $\sum_i |\boldsymbol{p}_i| \le E/c$ ですから、$P = E/c$ として
$$
\Sigma(E,V,N) = \frac{V^N}{N!\,h^{3N}}\cdot \frac{(8\pi)^N (E/c)^{3N}}{(3N)!} .
$$
$\Sigma \propto E^{3N}$ なので
## 参考文献
- 田崎晴明『統計力学 I』培風館（新物理学シリーズ 37）、2008 — 等重率の原理からボルツマンの原理へ至る論理を、熱力学との対応を丁寧に追いながら構成しています。日本語で読める最も慎重な入門書の一つです。
- 久保亮五『統計力学』共立出版（共立全書）、1971 — ミクロカノニカル分布と状態数の計算を簡潔にまとめた古典的な教科書。
- 久保亮五 編『大学演習 熱学・統計力学』裳華房、1961 — 状態数の計算演習が豊富です。理想気体・調和振動子系・スピン系の計算を手を動かして確認するのに向いています。
- F. Reif, *Fundamentals of Statistical and Thermal Physics*, McGraw-Hill, 1965 — 第 3 章 "Statistical thermodynamics"。二つの系の熱接触から温度を定義する議論が、本記事の
と同じ筋道で詳述されています。
- K. Huang, *Statistical Mechanics*, 2nd ed., Wiley, 1987 — 第 6 章 "Classical Statistical Mechanics"。ミクロカノニカル集団と古典統計力学の基礎。
- E. M. Purcell and R. V. Pound, "A Nuclear Spin System at Negative Temperature", *Physical Review* **81** (1951), 279 —
で触れた負温度の実験報告。[DOI: 10.1103/PhysRev.81.279](https://doi.org/10.1103/PhysRev.81.279)
## Appendix: n 次元球の体積
**主張。** $\mathbb{R}^n$ における半径 $R$ の球 $\lbrace \boldsymbol{x} : |\boldsymbol{x}| \le R\rbrace$ の体積は
$$
V_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\!\left(\frac n2 + 1\right)}R^n
$$
である。
の証明で使いました。
**証明。** 相似性から $V_n(R) = C_n R^n$ と書けます（定数 $C_n$ は単位球の体積）。この $C_n$ を、ガウス積分を二通りに計算して決めます。
まず直交座標で、フビニの定理により
$$
I := \int_{\mathbb{R}^n} e^{-|\boldsymbol{x}|^2}\, d^n x = \prod_{i=1}^{n}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x_i^2}\,dx_i = \left(\sqrt{\pi}\right)^n = \pi^{n/2} .
$$
次に同じ積分を、半径についての積分として計算します。半径 $r$ の球面の表面積を $S_{n-1}(r)$ と書くと、$V_n(r) = C_n r^n$ の微分から $S_{n-1}(r) = dV_n/dr = nC_n r^{n-1}$ です。被積分関数は $|\boldsymbol{x}|$ にしか依らないので
$$
I = \int_0^\infty e^{-r^2}\, S_{n-1}(r)\, dr = nC_n \int_0^{\infty} e^{-r^2} r^{n-1}\,dr .
$$
最後の積分は $t = r^2$（$dt = 2r\,dr$、$r^{n-1}dr = \tfrac12 t^{(n-2)/2}\,dt$）と置換して
$$
\int_0^\infty e^{-r^2}r^{n-1}\,dr = \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-t}\,t^{n/2 - 1}\,dt = \frac{1}{2}\Gamma\!\left(\frac n2\right)
$$
です（ガンマ関数の定義 $\Gamma(z) = \int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}dt$）。よって
$$
\pi^{n/2} = nC_n \cdot \frac{1}{2}\Gamma\!\left(\frac n2\right) = C_n \cdot \frac n2 \Gamma\!\left(\frac n2\right) = C_n\, \Gamma\!\left(\frac n2 + 1\right)
$$
となり（最後に漸化式 $z\Gamma(z) = \Gamma(z+1)$ を $z = n/2$ で使いました）、$C_n = \pi^{n/2}/\Gamma(n/2+1)$ を得ます。
**確認。** $n = 2$ では $\Gamma(2) = 1$ より $V_2(R) = \pi R^2$。$n = 3$ では $\Gamma(5/2) = \tfrac32\cdot\tfrac12\sqrt\pi = \tfrac34\sqrt\pi$ より $V_3(R) = \pi^{3/2}R^3/(\tfrac34\sqrt\pi) = \tfrac43\pi R^3$。どちらも既知の値と一致します。