## 2. 準備：時空を測る道具立て
曲がった時空を扱うには、「2 点間の隔たり」を測る道具が要ります。それが計量です。
時空の各点で座標 $x^\mu = (x^0, x^1, x^2, x^3)$（$x^0 = ct$）をとる。近接した 2 事象の座標差 $dx^\mu$ に対して、その隔たりの 2 乗を
$$
ds^2 = \sum_{\mu,\nu=0}^{3} g_{\mu\nu}(x)\,dx^\mu dx^\nu
$$
で与える対称テンソル場 $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$ を**計量**、$ds^2$ を**線素**という。以下、和の記号は省略する（同じ添字が上下に現れたら $0$ から $3$ まで和をとる）。符号は $(-,+,+,+)$ を採用し、$g_{\mu\nu}$ は各点で固有値の符号が $(-,+,+,+)$ となる正則行列とする。
計量が「重力ポテンシャルの一般相対論版」です。ニュートン重力ではスカラー関数 $\Phi$ 一つが場でしたが、一般相対論では対称 $4\times4$ 行列、すなわち独立成分 10 個の $g_{\mu\nu}$ が場になります。
時空内の曲線 $x^\mu(\lambda)$ に沿って $ds^2 < 0$（時間的）であるとき、その曲線に沿って運ばれた時計が刻む時間 $\tau$ を**固有時**といい、
$$
c^2\,d\tau^2 = -ds^2 = -g_{\mu\nu}\,dx^\mu dx^\nu
$$
で定める。
これは平坦な時空で定義した固有時（
）を、そのまま曲がった時空に持ち込んだものです。固有時は座標の取り方によらない量です。「時計が実際に何秒進んだか」は座標系の選び方の問題ではないので、これは当然要求されるべき性質です。この記事で計算する「時計のずれ」は、すべてこの $\tau$ の比較です。
2 つの事象を結ぶ時間的曲線のうち、固有時 $\displaystyle\int d\tau$ を停留にするものを**測地線**という。オイラー–ラグランジュ方程式を書き下すと、固有時 $\tau$ をパラメータとして
$$
\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau} = 0,
\qquad
\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}g^{\mu\nu}\bigl(\partial_\alpha g_{\nu\beta} + \partial_\beta g_{\nu\alpha} - \partial_\nu g_{\alpha\beta}\bigr)
$$
となる。ここで $g^{\mu\nu}$ は $g_{\mu\nu}$ の逆行列、$\partial_\alpha = \partial/\partial x^\alpha$ である。$\Gamma^{\mu}{}_{\alpha\beta}$ を**クリストッフェル記号**という。
重力がないミンコフスキー時空では、直交座標で $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ です。$\eta_{\mu\nu}$ は定数なので $\partial_\alpha g_{\nu\beta} = 0$ となり、
## 3. 弱い重力場とニュートン重力への橋
地球や太陽のまわりでは重力はきわめて弱いので、計量はミンコフスキー計量からわずかにずれるだけです。静的な弱い重力場では、ニュートンポテンシャル $\Phi$（$|\Phi|/c^2 \ll 1$）を使って計量が
$$
ds^2 = -\Bigl(1 + \frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)c^2 dt^2 + \Bigl(1 - \frac{2\Phi}{c^2}\Bigr)\bigl(dx^2 + dy^2 + dz^2\bigr)
$$
と書けることが知られています。以下ではこれを**弱場計量**と呼びます。この形が本当にニュートン重力を含んでいることを 2 つの命題で確認します。
弱場計量において場が静的（$\partial_t g_{\mu\nu} = 0$）であり、粒子の速度が光速に比べて十分小さい（$|dx^i/dt| \ll c$）とする。このとき測地線方程式は、$\Phi/c^2$ および $(v/c)^2$ の 1 次までの近似で
$$
\frac{d^2 x^i}{dt^2} = -\frac{\partial \Phi}{\partial x^i} \qquad (i = 1,2,3)
$$
となる。これはニュートンの運動方程式そのものである。
低速の仮定 $|dx^i/d\tau| \ll c\,|dt/d\tau|$ より、
つまり「弱場計量の $g_{00}$ 成分」がニュートンポテンシャルそのものです。$g_{00} = -(1 + 2\Phi/c^2)$ という一行が、リンゴが落ちる理由をすべて含んでいます。
弱場計量において、空間座標を固定した点（$dx^i = 0$）に置かれた時計の固有時 $\tau$ と座標時 $t$ の関係は
$$
\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 + \frac{2\Phi}{c^2}} \simeq 1 + \frac{\Phi}{c^2}.
$$
したがってポテンシャル $\Phi_A,\ \Phi_B$ の 2 点に静止した時計の進む速さの比は、$|\Phi|/c^2 \ll 1$ の 1 次で
$$
\frac{d\tau_A}{d\tau_B} \simeq 1 + \frac{\Phi_A - \Phi_B}{c^2}
$$
である。すなわち**ポテンシャルの高い（重力の弱い）場所の時計ほど速く進む**。
$dx^i = 0$ を弱場計量に代入すると $ds^2 = -(1 + 2\Phi/c^2)c^2dt^2$。
## 4. アインシュタイン方程式
と
は、計量が与えられたときに物体や時計がどう振る舞うかを教えてくれます。残る問題は「計量はどう決まるのか」です。答えがアインシュタインの重力場方程式です。
$$
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}R\,g_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}
$$
各記号の意味は次のとおりです。
| 記号 | 名前 | 中身 |
|---|---|---|
| $R_{\mu\nu}$ | リッチテンソル | リーマン曲率テンソルの縮約 $R^{\alpha}{}_{\mu\alpha\nu}$。$g_{\mu\nu}$ の 2 階微分までを含む |
| $R$ | スカラー曲率 | $R = g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}$ |
| $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$ | アインシュタインテンソル | 曲率を表す左辺の主役 |
| $\Lambda$ | 宇宙定数 | 真空自身がもつエネルギー密度に対応する定数 |
| $T_{\mu\nu}$ | エネルギー・運動量テンソル | $T_{00}$ がエネルギー密度、$T_{0i}$ が運動量密度、$T_{ij}$ が応力 |
**左辺は幾何、右辺は物質**です。左辺は計量とその 1 階・2 階微分だけでできており、右辺は物質側の情報だけでできています。両辺とも対称テンソルなので、方程式は 10 本の連立偏微分方程式です。
この方程式の際立った特徴を 3 つ挙げます。
**(1) 保存則が自動的に組み込まれています。** 幾何学の恒等式（ビアンキ恒等式）から $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ が計量によらず成り立ちます。したがって方程式は $\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0$、すなわちエネルギー・運動量の局所保存を要求します。保存則を仮定として付け加える必要がなく、幾何が勝手に保証してくれるのです（対称性と保存則の一般論は [対称性と保存則（ネーターの定理）](/physics/mechanics/noethers-theorem) の
を参照してください）。
**(2) 非線形です。** 曲率は計量の 2 階微分に加えて 1 階微分の積を含みます。重力場そのものがエネルギーをもち、そのエネルギーがまた重力を生む、という自己相互作用があるためです。電磁場の方程式（マクスウェル方程式）が線形なのと対照的で、これが厳密解を得ることを非常に難しくしています。
**(3) 結合定数が桁外れに小さいのです。** $\displaystyle \frac{8\pi G}{c^4} = 2.08\times10^{-43}\ \mathrm{m^{-2}\,J^{-1}\,m^{3}}$。曲率半径 1 m 程度に時空を曲げるには、右辺が $10^{43}$ J/m$^3$ 級である必要があります。地球全体の質量エネルギー $M_\oplus c^2 \approx 5.4\times10^{41}$ J を 1 m$^3$ に詰め込んでもまだ足りません。時空は途方もなく硬いのです。だからこそ日常では重力が「弱い力」に見えます。
$\Lambda = 0$ とし、時空が静的な弱い重力場（
## 5. シュヴァルツシルト解とブラックホール
アインシュタイン方程式は非線形ですが、対称性が高ければ厳密に解けます。もっとも重要なのが球対称の真空解です。
$\Lambda = 0$ とする。球対称であり、ある半径の外側で真空（$T_{\mu\nu} = 0$）であるようなアインシュタイン方程式の解は、その真空領域において必ず静的であり、適当な座標 $(t, r, \theta, \varphi)$ を選べば
$$
ds^2 = -\Bigl(1 - \frac{r_s}{r}\Bigr)c^2dt^2 + \Bigl(1 - \frac{r_s}{r}\Bigr)^{-1}dr^2 + r^2\bigl(d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\varphi^2\bigr)
$$
の形に書ける。ここで $r_s$ は定数で、$r \to \infty$ でニュートン重力に一致するという要請から $r_s = 2GM/c^2$（$M$ は中心天体の質量）と定まる。
証明は球対称計量の一般形 $ds^2 = -A(t,r)c^2dt^2 + B(t,r)dr^2 + r^2d\Omega^2$ を仮定してアインシュタイン方程式を書き下す計算で、Hartle 『Gravity』第 23 章、Schutz 『A First Course in General Relativity』第 10 章に丁寧な導出があります。
主張の後半（**バーコフの定理**）は物理的に強い内容をもちます。球対称なら、中心の星が脈動していようと球対称に崩壊していようと、外側の時空はまったく変化しないのです。したがって**球対称な運動は重力波を出しません**。この事実は
## 6. 重力波
時空が波打つことはあるでしょうか。方程式は非線形ですが、平坦な時空からのずれが小さい領域では線形化できます。
計量を $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu}$（$|h_{\mu\nu}| \ll 1$）と書き、$h = \eta^{\mu\nu}h_{\mu\nu}$ を用いて**トレース反転量**
$$
\bar{h}_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}\eta_{\mu\nu}h
$$
を定める。座標条件（ローレンツゲージ）$\partial^\mu \bar{h}_{\mu\nu} = 0$ を課すと、$h$ の 1 次までのアインシュタイン方程式（$\Lambda = 0$）は
$$
\Box\,\bar{h}_{\mu\nu} = -\frac{16\pi G}{c^4}T_{\mu\nu},
\qquad
\Box = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} + \nabla^2
$$
となる。とくに真空 $T_{\mu\nu} = 0$ では $\Box\bar{h}_{\mu\nu} = 0$ であり、時空の歪みは**光速で伝わる波**として振る舞う。
リッチテンソルを $h$ の 1 次まで展開すると
$$
R_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\bigl(\partial^\alpha\partial_\mu h_{\alpha\nu} + \partial^\alpha\partial_\nu h_{\alpha\mu} - \Box h_{\mu\nu} - \partial_\mu\partial_\nu h\bigr)
$$
となります（クリストッフェル記号を 1 次まで書き下して定義に代入する計算で、Schutz 第 8 章に詳しくあります）。
4 次元では $\eta^{\mu\nu}\eta_{\mu\nu} = 4$ なので $\bar{h} = h - 2h = -h$、したがって $h_{\mu\nu} = \bar{h}_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\bar{h}$ です。これを使ってゲージ条件を書き直すと
$$
\partial^\alpha h_{\alpha\nu} = \partial^\alpha\bar{h}_{\alpha\nu} - \frac{1}{2}\partial_\nu\bar{h} = -\frac{1}{2}\partial_\nu \bar{h} = \frac{1}{2}\partial_\nu h .
$$
これを上の $R_{\mu\nu}$ に代入します。第 1 項と第 2 項はそれぞれ $\frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu h$ となるので、
$$
R_{\mu\nu} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2}\partial_\mu\partial_\nu h + \frac{1}{2}\partial_\nu\partial_\mu h - \Box h_{\mu\nu} - \partial_\mu\partial_\nu h\Bigr) = -\frac{1}{2}\Box h_{\mu\nu}.
$$
真空解のうち物理的に意味のある自由度は 2 つだけです。10 個の成分から、ゲージ条件 4 本と残された座標の自由度 4 本を差し引くと 2 つが残ります。これを $h_+$ と $h_\times$ と書き、**プラス偏極**・**クロス偏極**と呼びます。$z$ 方向に進む波が通り過ぎると、$xy$ 平面に置かれた自由粒子の輪は、$h_+$ なら縦長と横長を交互に、$h_\times$ ならそれを $45^\circ$ 傾けた形で変形します。**重力波は伸び縮みの波であって、上下に揺れる波ではありません。**
放射の強さは、電磁気学と同様に多重極展開で評価します。ただし重力の場合、低次の多重極が保存則で禁止されます。
- **単極子（モノポール）放射はありません。** 質量の単極子モーメントは全質量そのもので、保存量だから時間変化しません。
- **双極子放射もありません。** 質量双極子モーメント $\sum m_i \boldsymbol{r}_i$ の時間微分は全運動量であり、これも保存量です。
したがって最低次は四重極です。質量四重極モーメント $Q_{ij} = \int \rho\,(x_i x_j - \frac{1}{3}\delta_{ij}r^2)\,d^3x$ を用いると、放射される仕事率は
$$
P = \frac{G}{5c^5}\Bigl\langle \frac{d^3Q_{ij}}{dt^3}\frac{d^3Q_{ij}}{dt^3}\Bigr\rangle
$$
と表されます（四重極公式。導出は MTW 『Gravitation』第 36 章）。
## 7. GPS：一般相対論が実務になる場所
ここまでの理論を、いま手元のスマートフォンが使っている装置に適用します。GPS 衛星は高度約 20,200 km（地心距離 $r = 26{,}561$ km）の円軌道を、周期 11 時間 58 分で回っています。各衛星はセシウムまたはルビジウムの原子時計を積み、「いま何時か」を電波で放送し続けます。受信機は 4 機以上の衛星からの信号の到着時刻の差から自分の位置を割り出します。時刻が 10 ns（ナノ秒）ずれると距離換算で約 3 m ずれるので、この装置の精度はまるごと時計の精度に乗っています。
衛星の時計には 2 つの効果が同時に働きます。**衛星は速く動いているので遅れ**（特殊相対論、
）、**重力の弱い高いところにいるので進みます**（一般相対論、
）。両者は符号が逆なので、正味の値を求めるには両方を正しく足し合わせなければなりません。ありがたいことに、シュヴァルツシルト時空の円軌道ではこれを厳密に一つの式にまとめられます。
シュヴァルツシルト時空において、赤道面内の半径 $r$（$r > 3r_s/2$）の円軌道を回る自由落下物体の固有時 $\tau$ と座標時 $t$ の関係は、厳密に
$$
\frac{d\tau}{dt} = \sqrt{1 - \frac{3GM}{rc^2}} = \sqrt{1 - \frac{3r_s}{2r}}
$$
である。無限遠に静止した時計に対する遅れが、静止した場合の $\sqrt{1 - 2GM/(rc^2)}$ ではなく、係数 $3$ になっている点が要点である。
Appendix で示すとおり、シュヴァルツシルト座標での円軌道の角速度は厳密に
$$
\Bigl(\frac{d\varphi}{dt}\Bigr)^2 = \frac{GM}{r^3}
$$
を満たします（ケプラーの第 3 法則がそのままの形で成り立ちます）。
赤道面 $\theta = \pi/2$、$dr = 0$、$d\theta = 0$ を
### 7.1. 補正しないとどうなるか
$38.5\ \mu\mathrm{s}$/日、すなわち分数レートで $4.46\times10^{-10}$ という値がどれくらい深刻かを見ます。時刻誤差 $\Delta t$ は距離誤差 $c\,\Delta t$ になるので、
$$
c \times 38.5\times10^{-6}\ \mathrm{s} = 2.998\times10^{8}\times 3.85\times10^{-5} = 1.15\times10^{4}\ \mathrm{m}
$$
で、**1 日で約 11 km** です。測位に必要な 10 ns（約 3 m）に達するまでの時間は
$$
\frac{1\times10^{-8}}{4.46\times10^{-10}} = 22\ \mathrm{s}
$$
にすぎず、100 m の誤差なら約 12 分で溜まります。相対論補正は「精度を上げるための微調整」ではなく、**装置が成立するための必須条件**です。
### 7.2. どう補正しているか
対処は驚くほど素朴です。衛星の基準発振器の公称周波数は 10.23 MHz ですが、打ち上げ前の地上での調整段階で、あらかじめ
$$
\Delta f = -10.23\times10^{6}\times 4.4647\times10^{-10} = -4.57\times10^{-3}\ \mathrm{Hz}
$$
だけ低くしておきます。つまり地上では 10.22999999543 MHz で発振するように作り、軌道に上がると相対論効果でちょうど 10.23 MHz として働くわけです。
一定のずれは以上の周波数オフセットで吸収できますが、それだけでは足りません。
- **軌道の離心率による変動。** GPS 軌道はわずかに楕円なので、$r$ と $v$ が周期的に変わり、時計のずれも変動します。離心率 $e = 0.02$ 程度でも振幅は数十 ns に達するため、受信機側で $\Delta t = 2\sqrt{GMa}\,e\sin E/c^2$（$a$ は軌道長半径、$E$ は離心近点角）という補正項を毎回計算します。
- **サニャック効果。** 地球が自転しているため、電波が伝わる間に受信機が動きます。地球中心の慣性系で計算すればよいのですが、この補正は最大で 133 ns（距離にして約 40 m）に達します。
つまり GPS は、特殊相対論・一般相対論・回転系の運動学の 3 つを同時に使ってようやく動く装置です。アインシュタインが 1915 年に書いた方程式が、いま毎秒何十億回も評価されています。
## 8. 演習
東京スカイツリーの展望回廊（地上 450 m）と地表に、同じ光格子時計を置いたとします。
## 参考文献
- J. B. Hartle, *Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity*, Addison-Wesley, 2003 — 測地線と計量から入る構成で、第 6〜9 章がシュヴァルツシルト時空、第 16 章が重力波、第 22〜23 章が場の方程式とその解。
- B. F. Schutz, *A First Course in General Relativity*, 2nd ed., Cambridge University Press, 2009 — 第 8 章に線形化重力と重力波、第 10〜11 章に球対称解と古典的検証。
- C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, *Gravitation*, Princeton University Press, 2017（原著 1973）— 第 17 章が場の方程式、第 25 章がシュヴァルツシルト幾何、第 36 章が四重極公式。
- 内山龍雄『一般相対性理論』裳華房（物理学選書）、1978 — 日本語で読める古典的な教科書。
- N. Ashby, "Relativity in the Global Positioning System", *Living Reviews in Relativity* **6** (2003), 1. [https://doi.org/10.12942/lrr-2003-1](https://doi.org/10.12942/lrr-2003-1) — GPS の相対論補正について、ジオイド基準・離心率補正・サニャック効果まで扱った標準的な総説。
- B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger", *Physical Review Letters* **116** (2016), 061102. [https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.061102](https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.061102) — GW150914 の発見論文。
## Appendix: シュヴァルツシルト時空の円軌道
で使った関係式 $(d\varphi/dt)^2 = GM/r^3$ を導きます。
赤道面 $\theta = \pi/2$ に限ると、線素は
$$
ds^2 = -f\,c^2dt^2 + f^{-1}dr^2 + r^2d\varphi^2,
\qquad f = f(r) = 1 - \frac{r_s}{r}
$$
です。円軌道では $r$ が一定なので $dr/d\tau = 0$ かつ $d^2r/d\tau^2 = 0$。したがって
の $\mu = r$ 成分は
$$
0 + \Gamma^{r}{}_{00}\Bigl(\frac{dx^0}{d\tau}\Bigr)^2 + \Gamma^{r}{}_{\varphi\varphi}\Bigl(\frac{d\varphi}{d\tau}\Bigr)^2 = 0
$$
となります（$dr/d\tau = 0$ なので $\Gamma^r{}_{rr}$ などを含む項は消え、$\theta = \pi/2$ 一定なので $\theta$ を含む項も消えます）。
必要なクリストッフェル記号を計算します。計量が対角なので $g^{rr} = f$ です。座標 $x^0 = ct$ を使うと $g_{00} = -f$、$g_{\varphi\varphi} = r^2$ であり、計量は $t$ にも $\varphi$ にも依らないので、
$$
\Gamma^{r}{}_{00} = \frac{1}{2}g^{rr}\bigl(2\partial_0 g_{r0} - \partial_r g_{00}\bigr)
= -\frac{1}{2}f\,\partial_r(-f) = \frac{1}{2}f f',
$$
$$
\Gamma^{r}{}_{\varphi\varphi} = \frac{1}{2}g^{rr}\bigl(2\partial_\varphi g_{r\varphi} - \partial_r g_{\varphi\varphi}\bigr)
= -\frac{1}{2}f\,\partial_r(r^2) = -rf .
$$
ここで $f' = df/dr = r_s/r^2$ です。$x^0 = ct$ より $dx^0/d\tau = c\,dt/d\tau$ なので、測地線方程式は
$$
\frac{1}{2}ff'\,c^2\Bigl(\frac{dt}{d\tau}\Bigr)^2 - rf\Bigl(\frac{d\varphi}{d\tau}\Bigr)^2 = 0 .
$$
$f \neq 0$（$r > r_s$）で割り、$(d\varphi/d\tau)/(dt/d\tau) = d\varphi/dt$ を使うと
$$
\Bigl(\frac{d\varphi}{dt}\Bigr)^2 = \frac{c^2 f'}{2r} = \frac{c^2}{2r}\cdot\frac{r_s}{r^2} = \frac{c^2 r_s}{2r^3}.
$$
最後に $r_s = 2GM/c^2$ を代入すると
$$
\Bigl(\frac{d\varphi}{dt}\Bigr)^2 = \frac{c^2}{2r^3}\cdot\frac{2GM}{c^2} = \frac{GM}{r^3}
$$
を得ます。これはケプラーの第 3 法則 $T^2 \propto r^3$ と同じ形です（
）。シュヴァルツシルト座標という特定の座標系ではニュートン重力と厳密に同じ関係が成り立つ、という少し意外な事実で、GPS の計算を見通しよくしてくれます。