# 散乱理論：Lippmann–Schwinger 方程式から部分波展開、光学定理、Breit–Wigner 共鳴まで
> ポテンシャル散乱を積分方程式で定式化し、Born 級数の収束と断面積の公式、部分波展開と位相のずれ、光学定理を証明する。共鳴は薄い殻のポテンシャルで Breit–Wigner 型を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics-2/scattering-theory-physics
## 0. この記事の要点
壁に向かってボールを投げると、どの向きにどれだけ跳ね返るかで、壁の形や硬さが推し量れます。原子や原子核のような小さな標的でも同じ考え方が使え、粒子を当てて「どの向きにどれだけ散らばるか」を測ります。ただし粒子は波の性質をもつので、散らばり方は波の重なりとして計算します。この記事を読むと、ポテンシャルの形から散らばり方を計算する道筋と、その結果が位相のずれという 1 つの数にまとまる理由が分かります。
- 散乱実験で測るのは、入射粒子の流束に対する、立体角 $d\Omega$ に散乱される粒子の割合、つまり微分断面積 $d\sigma/d\Omega$ です。定常的な散乱状態 $\psi\to e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}+f(\theta)\,e^{ikr}/r$ の **散乱振幅** $f$ を使って $d\sigma/d\Omega=|f|^2$ と書けます。
- 散乱状態は Lippmann–Schwinger 方程式 $\psi=\phi_{\boldsymbol{k}}+G_0^{+}U\psi$ を満たします。ポテンシャルが小さければ Neumann 級数（Born 級数）が収束し、その初項が Born 近似 $f_{\mathrm B}=-\dfrac{m}{2\pi\hbar^2}\tilde V(\boldsymbol{q})$ です。
- 中心力では、角運動量ごとに分けた部分波展開が使えます。各部分波の影響は **位相のずれ** $\delta_l$ ひとつに詰まり、$f=\dfrac1k\sum_l(2l+1)e^{i\delta_l}\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta)$、$\sigma=\dfrac{4\pi}{k^2}\sum_l(2l+1)\sin^2\delta_l$ となります。
- 光学定理 $\mathrm{Im}\,f(0)=k\sigma/4\pi$ は、前方散乱の虚部が全断面積を決めることを述べます。確率の保存の現れです。
- 位相のずれがエネルギーとともに $0$ から $\pi$ へ急に上昇する共鳴では、断面積は幅 $\Gamma$ の Breit–Wigner 型のピークを持ち、ピークの高さはユニタリ性の上限（確率が 1 を超えないことから決まる、断面積の最大値）$4\pi(2l+1)/k^2$ に達します。
## 1. 動機：見えない標的を撃つ
原子の内部は直接には見えません。20 世紀初頭の Rutherford の実験は、金箔に $\alpha$ 粒子を撃ち込み、散乱される角度の分布から原子核の存在を突き止めました。現在でも、素粒子の衝突、中性子による結晶の構造解析、電子線回折など、「粒子を撃ち込んで散らばり方を見る」手法が物質の内部を調べる主要な道具です。
この章で考える問いは、次のように述べられます。**ポテンシャル $V(\boldsymbol{r})$ に向かって[平面波](/physics/electromagnetism/maxwell-equations#def-plane-wave)として入射した粒子は、どちらの向きにどのくらい散乱されるか。** これは束縛状態の問題（離散的なエネルギー固有値を求める）と違い、連続スペクトルのエネルギー $E>0$ の固有関数を扱う問題です。前の章の時間依存摂動論を散乱に適用することは可能で、[Fermi の黄金律から Born 近似が出る](/physics/quantum-mechanics-2/time-evolution-perturbation)ことも見ました。ここでは時間に依存しない定常的な枠組みを使い、Born 近似を超える精密な議論（部分波、位相のずれ、共鳴）まで進めます。
## 2. 散乱状態と断面積
質量 $m$ の粒子が、有限の範囲にのみ及ぶポテンシャル $V(\boldsymbol{r})$ から散乱される問題を考えます。エネルギー $E=\hbar^2k^2/2m>0$ のシュレーディンガー方程式は、$U(\boldsymbol{r})=\dfrac{2m}{\hbar^2}V(\boldsymbol{r})$ と置くと
$$
\left(\nabla^2+k^2\right)\psi(\boldsymbol{r})=U(\boldsymbol{r})\,\psi(\boldsymbol{r})
$$
と書けます。以後、簡単のため $V$ は有界で、$|\boldsymbol{r}|>R$ では $V=0$ とします（**有限到達距離**）。
$\boldsymbol{k}=k\hat{\boldsymbol{z}}$ とする。方程式 $(\nabla^2+k^2)\psi=U\psi$ の解 $\psi_{\boldsymbol{k}}$ が $r\to\infty$ で
$$
\psi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}+f(\theta,\varphi)\,\frac{e^{ikr}}{r}+O\!\left(\frac{1}{r^2}\right)
$$
の形をしているとき、$\psi_{\boldsymbol{k}}$ を **散乱状態**、$f$ を **散乱振幅** と呼ぶ。第 1 項は入射する平面波、第 2 項は外向きの球面波である。$\theta$ は入射方向 $\hat{\boldsymbol{z}}$ からの散乱角。
球面波の因子 $e^{ikr}/r$ に時間因子 $e^{-iEt/\hbar}$ を掛けると外へ広がる波になるので、「外向きの球面波だけ」を許すのが散乱の境界条件です（内向きの球面波 $e^{-ikr}/r$ は、標的から出ていく粒子としては現れません）。
流束密度 $\boldsymbol{j}=\dfrac{\hbar}{m}\mathrm{Im}(\bar\psi\nabla\psi)$ で見たとき、入射波の流束は $\hbar k/m$、散乱波の動径方向の流束は $\dfrac{\hbar k}{m}\dfrac{|f|^2}{r^2}$ である。したがって、立体角 $d\Omega$ 内へ単位時間に散乱される粒子数を入射流束で割った **微分断面積** は
$$
\frac{d\sigma}{d\Omega}=|f(\theta,\varphi)|^2,\qquad \sigma=\int|f|^2\,d\Omega
$$
である。$\sigma$ を全断面積と呼ぶ。
入射波 $e^{ikz}$ では $\bar\psi\partial_z\psi=ik$ なので $\boldsymbol{j}_{\rm in}=(\hbar k/m)\hat{\boldsymbol{z}}$ です。散乱波 $\psi_s=f\,e^{ikr}/r$ では $\partial_r\psi_s=(ik-1/r)\psi_s$ から $\mathrm{Im}(\bar\psi_s\partial_r\psi_s)=k|f|^2/r^2$ で、$j_r=(\hbar k/m)|f|^2/r^2$ です。球面 $r$ 上の面積要素は $r^2d\Omega$ なので、$d\Omega$ を通る毎秒の粒子数は $(\hbar k/m)|f|^2d\Omega$ です。入射流束で割れば主張を得ます。
厳密には入射波と散乱波の干渉項も流束に寄与しますが、前方（$\theta=0$）以外では $r$ を大きくすると平均して消えます。前方だけは干渉が決定的な役割を果たし、§5 の光学定理の根拠になります。
## 3. Lippmann–Schwinger 方程式と Born 近似
散乱状態を具体的に作るには、微分方程式の境界条件を積分方程式に組み込みます。そのために、自由なヘルムホルツ方程式のグリーン関数が必要です。グリーン関数とは、原点に点状の源があるときの応答（その点から広がる波）のことで、源が連続的に分布する場合の解は、これを重ね合わせて作れます。次の補題はその具体形が外向きの球面波であることを確かめるもので、証明は原点付近の小さな球面を除いて境界の寄与を調べる、という方針です。
$G_k^{+}(\boldsymbol{r})=-\dfrac{e^{ik|\boldsymbol{r}|}}{4\pi|\boldsymbol{r}|}$ は、超関数の意味で $(\nabla^2+k^2)G_k^{+}=\delta^3(\boldsymbol{r})$ を満たす。
$u=e^{ikr}/r$ とします。$r>0$ では $u''+\dfrac{2}{r}u'=-k^2u$（$ru=e^{ikr}$ が $(ru)''=-k^2(ru)$ を満たすため）なので $(\nabla^2+k^2)u=0$ です。原点の寄与を調べるため、任意のなめらかなコンパクト台の試験関数 $\phi$ と小さな $\epsilon>0$ について、領域 $r>\epsilon$ にグリーンの第 2 恒等式を使うと
$$
\int_{r>\epsilon}u\,(\nabla^2+k^2)\phi\,d^3r=\int_{r>\epsilon}\left(u\nabla^2\phi-\phi\nabla^2u\right)d^3r=-\oint_{r=\epsilon}\left(u\,\partial_r\phi-\phi\,\partial_ru\right)\epsilon^2d\Omega
$$
です（境界の外向き法線は領域に対して $-\hat{\boldsymbol{r}}$）。$\epsilon\to0$ で、$u\,\partial_r\phi\cdot\epsilon^2=O(\epsilon)\to0$ です。また $\partial_ru=(ik-1/r)u$ より $\phi\,\partial_ru\cdot\epsilon^2\to-\phi(0)$ なので、球面上の角度積分は $\oint(u\,\partial_r\phi-\phi\,\partial_ru)\epsilon^2d\Omega\to+4\pi\phi(0)$ となり、右辺は $-4\pi\phi(0)$ です。したがって $\int u(\nabla^2+k^2)\phi\,d^3r=-4\pi\phi(0)$、つまり $(\nabla^2+k^2)u=-4\pi\delta^3$ です。$G_k^+=-u/4\pi$ を代入すれば主張です。
$\phi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})=e^{i\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r}}$ とする。積分方程式
$$
\psi(\boldsymbol{r})=\phi_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{r})+\int G_k^{+}(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r}')\,U(\boldsymbol{r}')\,\psi(\boldsymbol{r}')\,d^3r'
$$
を **Lippmann–Schwinger 方程式** と呼ぶ。
有界な $\psi$ が