## 2. 準備 — 記号と摂動展開
以下ではユークリッド化した 1 成分スカラー場の $\phi^4$ 理論を舞台にします。経路積分の構成については [経路積分量子化](/physics/qft/path-integral-quantization) を前提とします。$d$ 次元ユークリッド時空での作用を
$$
S[\phi] = \int d^dx\ \Big[\ \tfrac{1}{2}(\partial_\mu\phi)^2 + \tfrac{1}{2}m_0^2\phi^2 + \frac{\lambda_0}{4!}\phi^4 \ \Big]
$$
とし、生成汎関数（
）を $Z[J] = \int \mathcal{D}\phi\ e^{-S[\phi] + \int J\phi}$、その対数 $W[J] = \ln Z[J]$ のルジャンドル変換を $\Gamma[\Phi]$ と書きます。$\Gamma[\Phi]$ の $n$ 階微分が 1 粒子既約（1PI）頂点関数 $\Gamma^{(n)}$ で、運動量空間では
$$
\Gamma[\Phi] = \sum_{n}\frac{1}{n!}\int \prod_{i=1}^{n}\frac{d^dp_i}{(2\pi)^d}\ (2\pi)^d\delta^d\Big(\sum_i p_i\Big)\ \Gamma^{(n)}(p_1,\ldots,p_n)\ \Phi(p_1)\cdots\Phi(p_n)
$$
と定義します。ファインマン則は、内線が伝播関数 $1/(k^2+m_0^2)$、頂点が $-\lambda_0$、独立なループごとに $\int d^dk/(2\pi)^d$ です（相互作用項の展開とウィックの定理から出る規則です。
）。木レベルでは $\Gamma^{(2)}(p) = p^2 + m_0^2$、$\Gamma^{(4)} = \lambda_0$ となります。
添字 $0$ を付けた $m_0, \lambda_0$ を**裸のパラメータ**と呼びます。これはラグランジアンに書かれた記号にすぎず、まだ何の測定値とも結び付いていない点に注意してください。
質量次元も確認しておきます。作用が無次元であることから $[\phi] = (d-2)/2$、したがって
$$
[\lambda_0] = d - 4\cdot\frac{d-2}{2} = 4 - d .
$$
$d = 4$ では $\lambda_0$ は無次元です（質量次元が相互作用の性質を分ける、という古典場の段階での議論は
にあります）。この事実がこの記事全体を貫く主役になります。
## 3. 1 ループの発散を実際に取り出す
抽象論の前に、発散がどんな形で現れるかを最後まで計算しておきます。正則化には運動量カットオフ $|k| < \Lambda$ を使います。4 次元ユークリッド空間の角度積分は $\int d^4k = 2\pi^2\int k^3\,dk$（$S^3$ の面積が $2\pi^2$）なので、球対称な被積分関数 $f(k^2)$ に対して
$$
\int^\Lambda \frac{d^4k}{(2\pi)^4} f(k^2) = \frac{1}{8\pi^2}\int_0^\Lambda dk\ k^3 f(k^2) = \frac{1}{16\pi^2}\int_0^{\Lambda^2} du\ u\, f(u)
$$
が成り立ちます（$u = k^2$ と置換しました）。この 1 本の公式で以下の積分はすべて片付きます。
$\Gamma^{(2)}$ への $O(\lambda_0)$ の寄与は、1 個の頂点の 4 本の脚のうち 2 本を外線に、残る 2 本を互いに結んだ図（タドポール）です。頂点の 4 本から外線 2 本を選ぶ選び方が $4\times 3 = 12$ 通り、残り 2 本の結び方が 1 通りで、$1/4!$ と合わせて対称因子 $1/2$ が残ります（この数え方の一般論は
## 4. くりこみ — 裸のパラメータに発散を吸収する
正則化された理論において、作用に現れる $m_0, \lambda_0$ および場の正規化を**裸の量**と呼ぶ。これに対し、指定した運動量点での頂点関数の値によって定義される量
$$
m_R^2,\quad \lambda_R,\quad \phi_R = Z_\phi^{-1/2}\phi_0
$$
を**くりこまれた量**と呼び、$m_0, \lambda_0, Z_\phi$ を $m_R, \lambda_R$ と正則化パラメータ（$\Lambda$ など）の関数として定める式を**くりこみ条件**と呼ぶ。くりこまれた量を固定したまま正則化を外す極限（$\Lambda \to \infty$）が存在し、そこで全ての 1PI 関数が有限になるとき、理論はその次数で**くりこまれた**という。
くりこみ条件は物理から決まるものではなく、こちらが選ぶ約束（**くりこみスキーム**）です。ここでは最も見やすい零運動量条件
$$
\Gamma^{(2)}(p)\big|_{p^2=0} = m_R^2,\qquad
\frac{\partial\Gamma^{(2)}}{\partial p^2}\Big|_{p^2=0} = 1,\qquad
\Gamma^{(4)}(0,0,0,0) = \lambda_R
$$
を採用します。$m_R$ と $\lambda_R$ は「そう測定された量」であり、$\Lambda$ に依存しない有限な数です。
4 次元ユークリッド $\phi^4$ 理論を運動量カットオフ $\Lambda$ で正則化し、$\Lambda \gg m_R$ とする。裸のパラメータを
$$
\begin{gathered}
m_0^2(\Lambda) = m_R^2 - \frac{\lambda_R}{32\pi^2}\Big[\Lambda^2 - m_R^2\ln\frac{\Lambda^2}{m_R^2}\Big] + O(\lambda_R^2),\\
\lambda_0(\Lambda) = \lambda_R + \frac{3\lambda_R^2}{32\pi^2}\Big[\ln\frac{\Lambda^2}{m_R^2} - 1\Big] + O(\lambda_R^3)
\end{gathered}
$$
と選べば、上の 3 つのくりこみ条件が $O(\lambda_R^2)$ まで満たされ、さらに任意の外線運動量に対して
$$
\begin{gathered}
\Gamma^{(2)}(p) = p^2 + m_R^2 + O(\lambda_R^2),\\
\Gamma^{(4)}(p_1,\ldots,p_4) = \lambda_R + \frac{\lambda_R^2}{32\pi^2}\big[F(s)+F(t)+F(u)\big] + O(\lambda_R^3),\\
F(q^2) = \int_0^1 dx\,\ln\Big(1+\frac{x(1-x)q^2}{m_R^2}\Big)
\end{gathered}
$$
が成り立つ。右辺は $\Lambda$ を含まず、$\Lambda \to \infty$ で有限な極限を持つ。
**2 点関数。**
この定理の内容を、意味の順に読み直しておきます。
1. **裸のパラメータは発散する。** $\Lambda \to \infty$ で $m_0^2 \to -\infty$、$\lambda_0 \to +\infty$ です。しかし $m_0, \lambda_0$ は測定できないので、これは何も困りません。
2. **測れる量は有限。** $\Gamma^{(2)}$ と $\Gamma^{(4)}$ は $m_R, \lambda_R$ と外線運動量だけで書けます。
3. **予言が残る。** 2 つの測定値（$m_R$ と $\lambda_R$）を入力すれば、$\Gamma^{(4)}$ の**運動量依存性**は理論が決めます。これは調整の余地がない予言です。$F$ が $q^2$ の増加関数であることから、散乱の実効的な結合は高エネルギーほど強くなると分かります。
B["摂動計算: ループ積分が紫外発散"]
B --> C["正則化: カットオフ Lambda を入れる"]
C --> D["Lambda に依存する有限な表式"]
D --> E["くりこみ条件: 測定量 mR, lambdaR を指定"]
E --> F["裸のパラメータを Lambda の関数として解く"]
F --> G["Lambda 無限大の極限で n 点関数が有限"]
G --> H["基準スケールを動かすとどうなるか: くりこみ群へ"]`} />
質量の補正には $\Lambda^2$ という 2 次発散が現れました（
## 5. どの理論が救えるのか — 次元による数え上げ
では 2 個のパラメータを調整するだけで済みました。これはたまたまではありません。何個のパラメータが必要かは、積分の紫外での振る舞いを数えるだけで分かります。
連結ファインマン図 $G$ に対し、すべてのループ運動量を一斉に $k \to \sigma k$ とスケールしたとき、被積分関数と測度の積が $\sigma \to \infty$ で $\sigma^{D(G)}$ のように振る舞う指数 $D(G)$ を、$G$ の**表面的発散次数**と呼ぶ。$L$ 個のループ、$I$ 本の内線を持つスカラー場の図では
$$
D(G) = dL - 2I
$$
である。$D \ge 0$ なら図全体の積分は発散する。
「表面的」と付くのは、$D < 0$ でも部分図（サブダイアグラム）が発散すれば全体は発散しうるからです。この点は後で
として補います。
$d$ 次元時空の 1 成分スカラー場の理論で、相互作用項が $\sum_i \frac{g_i}{n_i!}\phi^{n_i}$ の形をしているとする。$E$ 本の外線を持つ 1PI 図 $G$ が、種類 $i$ の頂点を $V_i$ 個含むとき、その表面的発散次数は
$$
D(G) = d - \frac{d-2}{2}E - \sum_i V_i\,\delta_i,\qquad
\delta_i \equiv [g_i] = d - \frac{d-2}{2}n_i
$$
で与えられる。ここで $[g_i]$ は結合定数 $g_i$ の質量次元である。
記号を揃えます。図 $G$ の内線数を $I$、ループ数を $L$、頂点の総数を $V = \sum_i V_i$ とします。
**(a) ループ数。** 各内線に運動量を割り当てると独立変数は $I$ 個、各頂点で運動量保存が 1 本ずつ課されて $V$ 個の条件、ただしそのうち 1 本は全体の運動量保存（外線だけで書ける）なので独立な条件は $V-1$ 個です。よって
$$
L = I - V + 1 .
$$
**(b) 脚の数え上げ。** 頂点の脚は全部で $\sum_i n_i V_i$ 本あり、その各々は外線になるか、内線の端点になるかのどちらかです。内線は端点を 2 つ持つので
$$
\sum_i n_i V_i = E + 2I \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{1}{2}\Big(\sum_i n_i V_i - E\Big).
$$
**(c) 代入。**
この系が意味することは重大です。摂動の何次に行っても、$\Lambda$ 依存性が現れる関数は $\Gamma^{(2)}$ と $\Gamma^{(4)}$ の 2 つだけです。$\Gamma^{(2)}$ の発散は $\Lambda^2$（定数部分）と $\ln\Lambda$（$p^2$ の係数）の 2 種類、$\Gamma^{(4)}$ の発散は $\ln\Lambda$（定数部分）の 1 種類で、合計 3 個の量です。これらをそれぞれ $m_0^2$、$Z_\phi$、$\lambda_0$ という 3 個の裸の量に吸収させれば、全次数で有限化できます。**発散の種類が有限個である**ことが、くりこみ可能性の実質です。
$d$ 次元で相互作用 $g\,\mathcal{O}$（$\mathcal{O}$ は場とその微分の積）を持つ理論を、結合定数の質量次元 $[g]$ によって次のように分類する。
| $[g]$ | 呼び名 | 高次で発散する関数の種類 |
|---|---|---|
| $[g] > 0$ | 超くりこみ可能 | 有限個の図だけが発散する |
| $[g] = 0$ | くりこみ可能（周辺的） | 有限個の関数が全次数で発散する |
| $[g] < 0$ | くりこみ不可能 | 次数を上げるほど発散する関数の種類が増える |
分類の根拠は
です。$D = d - \frac{d-2}{2}E - \sum_i V_i\delta_i$ において、$\delta_i < 0$ なら $V_i$ を増やすほど $D$ が大きくなるので、外線をいくら増やしても発散する図が作れてしまいます。逆に $\delta_i > 0$ なら $V_i$ を増やすほど $D$ が下がり、発散する図は低次の有限個に限られます。
$d = 4$ での代表例を挙げます（フェルミオンは $[\psi] = 3/2$、ゲージ場は $[A_\mu] = 1$）。
| 相互作用 | 結合定数の質量次元 | 分類 |
|---|---|---|
| $\phi^3$ | $+1$ | 超くりこみ可能 |
| $\phi^4$ | $0$ | くりこみ可能 |
| $\phi^6$ | $-2$ | くりこみ不可能 |
| 湯川 $g\,\bar\psi\psi\phi$ | $0$ | くりこみ可能 |
| QED $e\,\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu$ | $0$ | くりこみ可能 |
| フェルミ $G_F(\bar\psi\psi)^2$ | $-2$ | くりこみ不可能 |
| 一般相対論 $R/(16\pi G_N)$ | $-2$ | くりこみ不可能 |
標準模型の相互作用がすべて $[g] \ge 0$ に収まっているのは、偶然ではなく必然です。この点は §7 で有効場の理論の言葉で説明します。
くりこみ可能な理論において、すべての部分図（1PI サブダイアグラム）を含めて表面的発散次数が負であるような図の積分は絶対収束する（ワインバーグの定理）。さらに、各 1PI サブダイアグラムのテイラー展開の発散部分を再帰的に差し引く操作（BPHZ の森公式）によって、全次数の発散が、ラグランジアンにもともと存在する項と同じ形の有限個のカウンター項
$$
\mathcal{L}_{\text{c.t.}} = \tfrac{1}{2}\delta_Z(\partial\phi)^2 + \tfrac{1}{2}\delta_m\phi^2 + \frac{\delta_\lambda}{4!}\phi^4
$$
で相殺できる。
この定理の証明は本記事の範囲を超えます。ワインバーグの収束定理は S. Weinberg, *The Quantum Theory of Fields, Vol. I* の第 12 章に、森公式による全次数の証明は J. Zinn-Justin, *Quantum Field Theory and Critical Phenomena* の第 10 章に詳しい議論があります。証明の核心は、ループ運動量が異なる速さで無限大に行く「入れ子」や「重なり合った」発散をどう組織的に処理するかにあり、部分図の発散を先に引き算しておけば残りは収束する、という点にあります。
## 6. くりこみ群 — スケールを動かす
では零運動量でくりこみ条件を課しました。しかし高エネルギー散乱を扱うときに零運動量を基準にするのは不自然です。基準点を運動量スケール $\mu$ に取り替えると、くりこまれた結合 $\lambda_R$ の値も変わります。この $\mu$ 依存性が、くりこみ群の主題です。
くりこまれた結合 $\lambda_R$、くりこまれた質量 $m_R$、場のくりこみ定数 $Z_\phi$（$\phi_0 = Z_\phi^{1/2}\phi_R$）が、裸の量を固定したまま基準スケール $\mu$ に依存するとき
$$
\beta(\lambda_R) \equiv \mu\frac{\partial\lambda_R}{\partial\mu},\qquad
\gamma(\lambda_R) \equiv \frac{1}{2}\,\mu\frac{\partial \ln Z_\phi}{\partial\mu},\qquad
\gamma_m(\lambda_R) \equiv \frac{\mu}{m_R}\frac{\partial m_R}{\partial\mu}
$$
をそれぞれ**ベータ関数**、場の**異常次元**、**質量の異常次元**と呼ぶ。微分はすべて裸のパラメータと正則化を固定して取る。
くりこみ可能な理論を、質量に依存しないくりこみスキーム（$\beta, \gamma, \gamma_m$ が $\lambda_R$ のみの関数となる処方）でくりこむ。裸の $n$ 点 1PI 関数 $\Gamma^{(n)}_0$ とくりこまれた $\Gamma^{(n)}_R$ が
$$
\Gamma^{(n)}_R(p_i;\lambda_R,m_R,\mu) = Z_\phi^{\,n/2}\,\Gamma^{(n)}_0(p_i;\lambda_0,m_0,\Lambda)
$$
で関係しているとき、$\Gamma^{(n)}_R$ は次の偏微分方程式を満たす。
$$
\Big[\mu\frac{\partial}{\partial\mu} + \beta(\lambda_R)\frac{\partial}{\partial\lambda_R} + \gamma_m(\lambda_R)\,m_R\frac{\partial}{\partial m_R} - n\,\gamma(\lambda_R)\Big]\Gamma^{(n)}_R(p_i;\lambda_R,m_R,\mu) = 0 .
$$
出発点は、**裸の関数が $\mu$ を知らない**という一言に尽きます。$\Gamma^{(n)}_0$ は裸のパラメータ $\lambda_0, m_0$ と正則化 $\Lambda$ だけで書かれており、$\mu$ は我々が後から導入した基準点にすぎません。したがって裸の量と $\Lambda$ を固定して $\mu$ で微分すると
$$
\mu\frac{d}{d\mu}\Gamma^{(n)}_0 = \mu\frac{d}{d\mu}\Big[Z_\phi^{-n/2}\,\Gamma^{(n)}_R\Big] = 0 .
$$
積の微分を実行します。$Z_\phi^{-n/2}$ の微分は
$$
\mu\frac{d}{d\mu}Z_\phi^{-n/2} = -\frac{n}{2}\,Z_\phi^{-n/2}\,\mu\frac{d\ln Z_\phi}{d\mu} = -n\gamma\,Z_\phi^{-n/2}
$$
です（
くりこみ群方程式は「同じ物理を違う基準点で記述したとき、記述が互いに整合するための条件」です。方程式自体は何も新しい物理を含みませんが、$\mu$ を実際の運動量スケールに合わせて選び直すことで、単純な摂動論では大きな対数 $\ln(p/\mu)$ が現れて破綻する領域を、系統的に扱えるようになります。
4 次元 $\phi^4$ 理論のベータ関数は
$$
\beta(\lambda) = \frac{3\lambda^2}{16\pi^2} + O(\lambda^3)
$$
である。$\lambda > 0$ では $\beta > 0$ なので、結合はスケールを上げるほど強くなる。これを積分すると、基準点 $\mu_0$ での値 $\lambda(\mu_0)$ に対して
$$
\lambda(\mu) = \frac{\lambda(\mu_0)}{\,1 - \dfrac{3\lambda(\mu_0)}{16\pi^2}\ln\dfrac{\mu}{\mu_0}\,}
$$
となり、$\mu_L = \mu_0\exp\!\big[16\pi^2/(3\lambda(\mu_0))\big]$ で発散する（ランダウ極）。
**ベータ関数。**
ランダウ極の位置を数値で見ておきます。$\lambda(\mu_0) = 1$ なら $16\pi^2/3 \approx 52.6$ なので $\mu_L/\mu_0 = e^{52.6} \approx 7\times 10^{22}$ です。摂動論で扱える範囲をはるかに超えた高エネルギーなので、この極が本当に存在するかを摂動論だけでは判定できません。格子上の数値計算は、4 次元の $\phi^4$ 理論が連続極限で自由場になる（**トリビアリティ**）ことを強く示唆しています。ヒッグス場は $\phi^4$ 型の自己相互作用を持つので、標準模型もまた、それ自身では任意に高いエネルギーまで通用する理論ではないと考えられています。
**QED。** 電子 1 種類のとき、ベータ関数は $\beta(e) = e^3/(12\pi^2)$ です。微細構造定数 $\alpha = e^2/4\pi$ で書き直すと $d\alpha/d\ln\mu = 2\alpha^2/(3\pi)$ となり、$\phi^4$ と同じく正の符号です。実際、電子の電荷は短距離ほど大きく見えます（真空偏極による遮蔽が弱くなるため）。数値でも確かめられていて、トムソン極限（$\mu \to 0$）では $\alpha^{-1} = 137.036$、$Z$ ボソン質量スケール $\mu = 91.2\ \mathrm{GeV}$ では $\alpha^{-1} \approx 129$ です。これは「結合定数」が定数でないことの実験的証拠です。
**QCD。** 非可換ゲージ理論では、グルーオン自身が色荷を持つために符号が逆転します。$n_f$ 種類のクォークがあるとき
$$
\beta(g) = -\frac{g^3}{16\pi^2}\Big(11 - \frac{2}{3}n_f\Big)
$$
で、$n_f \le 16$ なら括弧内が正、すなわち $\beta < 0$ です。積分すると
$$
\alpha_s(\mu) = \frac{2\pi}{\big(11-\frac{2}{3}n_f\big)\ln(\mu/\Lambda_{\text{QCD}})}
$$
となり、高エネルギーで結合が対数的に $0$ に近づきます（**漸近的自由性**、Gross–Wilczek と Politzer、1973 年）。積分定数を $\Lambda_{\text{QCD}} \approx 200\text{–}300\ \mathrm{MeV}$ という**次元を持つ量**として書き直した点に注意してください。もとのラグランジアンには質量スケールがないのに、くりこみが物理的なスケールを生み出しています（**次元転換**）。実測では $\alpha_s(m_Z) \approx 0.118$、$\alpha_s(1\ \mathrm{GeV}) \approx 0.5$ で、低エネルギーでは摂動論が使えません。これがクォークの閉じ込めと整合します。
## 7. ウィルソン的描像と有効場の理論
ここまでは「発散を消す技術」としてくりこみを見てきました。ウィルソンは 1970 年代初頭に、これを**理論そのものの定義**に読み替えました。
出発点は、カットオフ $\Lambda$ を物理的な意味を持つ量と見ることです。$|k| < \Lambda$ のモードだけを持つ場の理論から始め、殻 $\Lambda/b < |k| < \Lambda$（$b > 1$）のモードだけを経路積分で積み去ります。すると残った低運動量モードに対する新しい作用 $S_{\Lambda/b}$ が得られます。次に運動量を $k' = bk$ と測り直してカットオフを $\Lambda$ に戻し、場を規格化し直すと、元と同じ形式の作用が得られます。この 2 段階を繰り返す操作が**ウィルソンのくりこみ群**で、結合定数の空間における流れ（フロー）を定義します。
この見方では、次のように整理できます。
$d$ 次元の固定点近傍で、作用に加えた演算子 $\mathcal{O}_i$ の結合を無次元化した量 $\hat g_i = g_i\mu^{-\delta_i}$（$\delta_i = [g_i]$）とする。低エネルギー（IR）へ流したとき
- $\delta_i > 0$：$\hat g_i$ が増大する。$\mathcal{O}_i$ を**関連演算子（relevant）**という。
- $\delta_i = 0$：1 ループ以上の効果で緩やかに流れる。**周辺演算子（marginal）**という。
- $\delta_i < 0$：$\hat g_i$ が減衰する。**無関連演算子（irrelevant）**という。
$\hat g_i = g_i \mu^{-\delta_i}$ を $\mu$ で微分すれば $\mu\,d\hat g_i/d\mu = -\delta_i\hat g_i + (\text{ループ補正})$ なので、$\mu$ を下げる（IR に向かう）と $\delta_i > 0$ の結合が伸び、$\delta_i < 0$ の結合が縮むことがすぐ分かります。
この分類は
と同じものです。ただし読み方が正反対になります。古い読み方は「くりこみ不可能な理論は捨てるべきだ」でした。ウィルソン的な読み方は「**無関連演算子は低エネルギーで自動的に消えるので、低エネルギーの有効理論は必ずくりこみ可能な形をしている**」です。標準模型の相互作用がすべて $[g] \ge 0$ に収まっているのは、自然が上品だからではなく、我々が低エネルギーでしか実験していないからだ、というのがこの立場の主張です。
ベータ崩壊のフェルミ理論は 4 フェルミ相互作用 $\frac{G_F}{\sqrt{2}}(\bar\psi\Gamma\psi)(\bar\psi\Gamma\psi)$ で記述され、$[G_F] = 4 - 4\cdot\frac{3}{2} = -2$、実測値は $G_F = 1.166\times 10^{-5}\ \mathrm{GeV}^{-2}$ です。
固定点の役割も、この描像から明らかになります。$\beta(\lambda^*) = 0$ となる点ではフローが止まり、理論はスケール変換で形を変えません。そこでは相関関数がべき則に従います。
質量項が $0$ に調整された（臨界の）くりこみ可能理論を $d$ 次元で考え、$\Gamma^{(n)}(p_i;\lambda,\mu)$ は運動量、$\mu$、無次元結合 $\lambda$ のみの関数で、質量次元 $D_n = d - n\frac{d-2}{2}$ を持つとする。$\beta(\lambda^*) = 0$、$\gamma(\lambda^*) = \gamma^*$ とすると、$\lambda = \lambda^*$ において任意の $t > 0$ に対し
$$
\Gamma^{(n)}(tp_1,\ldots,tp_n;\lambda^*,\mu) = t^{\,d - n\Delta_\phi}\,\Gamma^{(n)}(p_1,\ldots,p_n;\lambda^*,\mu),
\qquad \Delta_\phi = \frac{d-2}{2} + \gamma^*
$$
が成り立つ。すなわち場は自由場の次元 $(d-2)/2$ からずれた**異常次元** $\gamma^*$ を獲得する。
$\Gamma^{(n)}$ が質量次元 $D_n$ を持ち、引数が $p$ と $\mu$（および無次元の $\lambda$）だけであることから、次元解析により
$$
\Gamma^{(n)}(tp_i;\lambda,\mu) = t^{D_n}\,\Gamma^{(n)}\big(p_i;\lambda,\mu/t\big)
$$
が成り立ちます。両辺のすべての質量次元を $t$ で測り直しただけです。$F(t)$ を左辺と定め、$\nu = \mu/t$ とおいて $t\,d/dt$ を作用させます。右辺の $t$ 依存性は前因子 $t^{D_n}$ と $\nu = \mu/t$ の両方から来て、$t\,\frac{d\nu}{dt}\frac{\partial}{\partial\nu} = -\nu\frac{\partial}{\partial\nu}$ なので
$$
t\frac{dF}{dt} = t^{D_n}\Big[D_n - \nu\frac{\partial}{\partial\nu}\Big]\Gamma^{(n)}(p_i;\lambda,\nu).
$$
ここで
自発的対称性の破れとゲージ理論のくりこみについては [ゲージ理論と自発的対称性の破れ](/physics/qft/gauge-theory-and-symmetry-breaking) を、場の量子論がそもそもなぜ必要かという問いについては [なぜ場の量子論が必要か](/physics/qft/why-quantum-field-theory) を参照してください。ここで使った摂動展開の構造そのものは、量子力学の [摂動論](/physics/quantum-mechanics/perturbation-theory)（
）と [スカラー場の正準量子化](/physics/qft/canonical-quantization)（
）の延長線上にあります。
## 8. 演習
$d$ 次元時空のスカラー場理論で相互作用 $g\phi^n$ を考えます。
(a) $g$ の質量次元を求めてください。
(b) $d = 3$ の $\phi^6$ 理論と $d = 6$ の $\phi^3$ 理論が、いずれも周辺的（$[g] = 0$）であることを示してください。
(c) 4 次元での湯川結合 $g\bar\psi\psi\phi$ とフェルミ結合 $G(\bar\psi\psi)^2$ の質量次元を求め、
## 参考文献
**教科書。** M. E. Peskin and D. V. Schroeder, *An Introduction to Quantum Field Theory*, Addison-Wesley, 1995 — 第 10 章（系統的なくりこみ）と第 12 章（くりこみ群）。本記事の $\phi^4$ の 1 ループ計算とベータ関数は、この 2 章の内容をユークリッド形式で書き直したものです。
S. Weinberg, *The Quantum Theory of Fields, Vol. I: Foundations*, Cambridge University Press, 1995 — 第 11 章・第 12 章。ワインバーグの収束定理とくりこみ可能性の一般論。
J. Zinn-Justin, *Quantum Field Theory and Critical Phenomena*, Oxford University Press — 第 8 章から第 10 章。BPHZ の森公式による全次数の証明と、臨界現象との関係。
M. Srednicki, *Quantum Field Theory*, Cambridge University Press, 2007 — 第 I 部後半。$\phi^3$ 理論を舞台にした、計算が最後まで追える入門。
九後汰一郎『ゲージ場の量子論 I・II』培風館、1989 — くりこみとくりこみ群の章。ゲージ理論のくりこみを日本語で扱った標準的な文献です。
**原論文。** K. G. Wilson and J. Kogut, "The renormalization group and the $\varepsilon$ expansion", *Physics Reports* **12** (1974), 75–199 — ウィルソン的くりこみ群と $\varepsilon$ 展開の総説。
D. J. Gross and F. Wilczek, "Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories", *Physical Review Letters* **30** (1973), 1343; H. D. Politzer, "Reliable Perturbative Results for Strong Interactions?", *Physical Review Letters* **30** (1973), 1346 — 漸近的自由性の発見。
**データ。** 結合定数の実測値（$\alpha(m_Z)$、$\alpha_s(m_Z)$、$G_F$、$M_W$）は Particle Data Group の [Review of Particle Physics](https://pdg.lbl.gov/) によります。
## Appendix: 次元正則化
**なぜ別の正則化が要るのか。** 本文では運動量カットオフを使いました。直観的で、ウィルソン的な描像とも相性がよい方法です。しかし欠点があります。$|k| < \Lambda$ という条件はローレンツ不変ではなく、ゲージ変換とも両立しません。実際、QED にカットオフを入れると光子が質量を持つような発散項が現れ、対称性の回復に余分な手間がかかります。't Hooft と Veltman が 1972 年に導入した**次元正則化**は、時空の次元 $d$ を複素数に解析接続して積分を有限にする方法で、ローレンツ不変性とゲージ不変性を保ったまま正則化できます。
**基本公式。** ユークリッド空間で
$$
\int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}\frac{1}{(\ell^2+\Delta)^n} = \frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma\!\big(n-\frac{d}{2}\big)}{\Gamma(n)}\,\Delta^{\frac{d}{2}-n}
$$
が成り立ちます。$n = 2$、$d = 4-\varepsilon$ とすると $\Gamma(\varepsilon/2) = 2/\varepsilon - \gamma_E + O(\varepsilon)$（$\gamma_E$ はオイラー定数）を使って
$$
\int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}\frac{1}{(\ell^2+\Delta)^2} = \frac{1}{16\pi^2}\Big[\frac{2}{\varepsilon} - \gamma_E + \ln 4\pi - \ln\Delta\Big] + O(\varepsilon)
$$
となります。本文の
でカットオフが $\ln\Lambda^2$ という形で現れた場所に、ここでは $2/\varepsilon$ という極が現れています。対応は $\ln\Lambda^2 \leftrightarrow 2/\varepsilon$ で、$\Delta$ 依存性（つまり物理的な運動量依存性）はどちらでも同一です。$-\gamma_E+\ln4\pi$ を極と一緒に差し引く処方を $\overline{\text{MS}}$ スキームと呼びます。
**べき発散が見えないこと。** $n = 1$ の場合は $\Gamma(1-d/2)$ で、$d = 4-\varepsilon$ では $\Gamma(-1+\varepsilon/2)$ となって単純極を持ちますが、$\Lambda^2$ に相当する項はどこにも現れません。次元正則化では、対数発散だけが $1/\varepsilon$ の極として姿を見せ、2 次発散は自動的に $0$ と置かれます。
の階層性問題が「処方の選び方の問題ではないか」と言われることがあるのはこのためです。しかし標準模型を、より高いスケール $\Lambda_{\text{new}}$ の理論の低エネルギー有効理論と見るなら、重い粒子のループが $\Lambda_{\text{new}}^2$ に比例する寄与を実際に生むので、問題は処方に依らない形で戻ってきます。
**質量に依存しないスキームの利点。** $\overline{\text{MS}}$ では、くりこみ定数が極とその係数だけで決まり、質量に依存しません。この性質のおかげで
の $\beta$, $\gamma$, $\gamma_m$ が $\lambda_R$ のみの関数になり、くりこみ群方程式が扱いやすい形になります。本文で計算した $\beta(\lambda) = 3\lambda^2/(16\pi^2)$ は、この処方でも同じ値になります（
）。