## 2. 準備：古典自由スカラー場の正準形式
自然単位系 $\hbar = c = 1$ を用い、計量は $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$ とします。時空点は $x = (t,\boldsymbol x) = (x^0,x^1,x^2,x^3)$、内積は $k\cdot x = k^0x^0 - \boldsymbol k\cdot\boldsymbol x$ です。フーリエ変換の規約は
$$
\int d^3x\,e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x} = (2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol k),\qquad \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\,e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x} = \delta^3(\boldsymbol x)
$$
とします。$2\pi$ をすべて運動量積分側に押し込む、場の理論で標準的な規約です。
質量 $m > 0$ の実スカラー場のラグランジアン密度は
$$
\mathcal{L} = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\,\partial^\mu\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 = \frac{1}{2}\dot\phi^2 - \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 - \frac{1}{2}m^2\phi^2
$$
です。
は $(\Box + m^2)\phi = 0$、すなわちクライン–ゴルドン方程式になります（$\Box = \partial_t^2 - \nabla^2$）。$\phi$ に共役な運動量密度は
$$
\pi(x) = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot\phi(x)} = \dot\phi(x)
$$
で、ルジャンドル変換によりハミルトニアンは
$$
H = \int d^3x\,\mathcal{H} = \int d^3x\left[\frac{1}{2}\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\phi^2\right]
$$
となります。3 項ともに正定値なので、古典論では $H \ge 0$ です。等時刻ポアソン括弧は、汎関数微分を使って
$$
\{F,G\} = \int d^3z\left(\frac{\delta F}{\delta\phi(\boldsymbol z)}\frac{\delta G}{\delta\pi(\boldsymbol z)} - \frac{\delta F}{\delta\pi(\boldsymbol z)}\frac{\delta G}{\delta\phi(\boldsymbol z)}\right)
$$
と定義され、基本括弧は
$$
\{\phi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)\} = \delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y),\qquad \{\phi(t,\boldsymbol x),\phi(t,\boldsymbol y)\} = \{\pi(t,\boldsymbol x),\pi(t,\boldsymbol y)\} = 0
$$
です。質点系の $\{q_i,p_j\} = \delta_{ij}$ において、離散添字 $i,j$ が連続添字 $\boldsymbol x,\boldsymbol y$ に、クロネッカーのデルタがディラックのデルタ関数に置き換わった形になっています。この対応が、次節の量子化の設計図です。
最後に、後で繰り返し使う積分測度の性質を補題として確認しておきます。
$m > 0$ とし、$\omega_{\boldsymbol k} = \sqrt{|\boldsymbol k|^2+m^2}$ とおきます。このとき任意の可積分関数 $f$ に対して
$$
\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_{\boldsymbol k}}f(\omega_{\boldsymbol k},\boldsymbol k) = \int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\,2\pi\,\delta(k^2-m^2)\,\theta(k^0)\,f(k)
$$
が成り立ちます。右辺は固有直交時ローレンツ変換 $\Lambda \in SO^{+}(1,3)$ の下で不変です。したがって、$\boldsymbol k$ の関数 $g$ について $\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3 2\omega_{\boldsymbol k}}g(k)$ という形の積分は、$g$ が不変ならば全体として不変です。
$k^2 - m^2 = (k^0)^2 - \omega_{\boldsymbol k}^2$ なので、$k^0$ の関数として見たデルタ関数の公式より
$$
\delta(k^2-m^2) = \frac{1}{2\omega_{\boldsymbol k}}\left[\delta(k^0-\omega_{\boldsymbol k}) + \delta(k^0+\omega_{\boldsymbol k})\right]
$$
です。$\theta(k^0)$ が第 2 項を落とすので、$k^0$ について積分すると $\int\frac{d^3k}{(2\pi)^4}\frac{2\pi}{2\omega_{\boldsymbol k}}f(\omega_{\boldsymbol k},\boldsymbol k)$ となり、左辺に一致します。
不変性は右辺で見ます。$|\det\Lambda| = 1$ なので $d^4k$ は不変、$k^2 = k\cdot k$ はスカラーなので $\delta(k^2-m^2)$ も不変です。$\theta(k^0)$ については、$k^2 = m^2 > 0$ を満たす $k$（時間的ベクトル）に対しては直交時変換が $k^0$ の符号を保つので、質量殻上で不変です。以上より右辺全体が不変です。
この補題は、$\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}$ 単独ではローレンツ不変でないのに、$\frac{1}{2\omega_{\boldsymbol k}}$ を掛けると不変になる、という事実を述べています。以後、状態の規格化や伝播関数の計算でこの組み合わせが繰り返し現れます。
## 3. 正準量子化：等時刻交換関係を課す
量子化の処方は 2 段階です。第 1 に、正準変数 $\phi,\pi$ をヒルベルト空間上の（エルミートな）演算子 $\hat\phi,\hat\pi$ に格上げします。第 2 に、ポアソン括弧を $\{A,B\}\mapsto \frac{1}{i\hbar}[\hat A,\hat B]$ で交換子に置き換えます。$\hbar = 1$ とした結果が次の定義です。
実スカラー場の量子論とは、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ と、その上のエルミート演算子（値をとる超関数）の組 $\hat\phi(t,\boldsymbol x),\ \hat\pi(t,\boldsymbol x)$ であって、**同一時刻**で
$$
[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)] = i\,\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y),
$$
$$
[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\hat\phi(t,\boldsymbol y)] = [\hat\pi(t,\boldsymbol x),\hat\pi(t,\boldsymbol y)] = 0
$$
を満たし、かつハミルトニアン
$$
\hat H = \int d^3x\left[\frac{1}{2}\hat\pi^2 + \frac{1}{2}(\nabla\hat\phi)^2 + \frac{1}{2}m^2\hat\phi^2\right]
$$
によってハイゼンベルク方程式 $\partial_t\hat A = i[\hat H,\hat A]$ に従って時間発展するもののことです。これらを**等時刻正準交換関係**と呼びます。
交換関係を「同一時刻」でのみ課すのは、異なる時刻の関係は運動方程式が決めるからです。実際、異なる時刻での交換子は
で計算します。また、時間発展をハイゼンベルク描像で書いているのは、時間と空間を対等に扱いたいからです。シュレーディンガー描像では場の演算子が時間に依存せず、状態のほうが時間発展するため、相対論的共変性が見えにくくなります。
厳密には、$\hat\phi(x)$ を各時空点で定義された演算子とみなすことはできません。右辺の $\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$ が示すとおり、$\hat\phi(x)$ 単独ではノルムが発散します。正しくは、滑らかな試験関数 $f$ に対して $\hat\phi(f) = \int d^4x\,f(x)\hat\phi(x)$ を作用素として定義し、$\hat\phi$ は**演算子値超関数**であるとします。これが Wightman による公理的な定式化の出発点です。本章では物理の議論を見やすくするため点ごとの記法 $\hat\phi(x)$ を使いますが、内部では常に試験関数で滑らかにした量を考えていると理解してください。
まず、この定義が確かに古典論を再現することを確かめます。
つまり、量子化しても場の従う方程式は古典論とまったく同じです。変わったのは $\hat\phi$ が数ではなく演算子になったこと、そして異なる点での値が交換しないことだけです。これは量子力学の調和振動子で、ハイゼンベルク方程式が古典と同じ $\ddot{\hat q} = -\omega^2\hat q$ を与えるのと同じ事情です。
体積 $V$ の箱に周期境界条件で場を閉じ込め、運動量 $\boldsymbol k$ の成分だけを取り出して $\hat q_{\boldsymbol k}$、その共役運動量を $\hat p_{\boldsymbol k}$ と書きます（詳細は末尾の Appendix）。すると
## 4. モード展開と生成・消滅演算子
調和振動子を解くときは、$\hat q$ と $\hat p$ の複素線形結合 $\hat a \propto \omega\hat q + i\hat p$ を作りました。場でも同じことをします。ただし、場は空間座標をもつので、まず空間フーリエ変換をしてから線形結合を作ります。以下、時刻を $t=0$ に固定して考えます（他の時刻へは
で戻します）。
$\hat\phi,\hat\pi$ がエルミートであることから $\hat a^\dagger_{\boldsymbol k} = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\boldsymbol k}}}\int d^3x\,e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}(\omega_{\boldsymbol k}\hat\phi - i\hat\pi)$ です。この定義は逆に解けて、
$$
\hat\phi(0,\boldsymbol x) = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\boldsymbol k}}}\left(\hat a_{\boldsymbol k}e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x} + \hat a^\dagger_{\boldsymbol k}e^{-i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}\right),
$$
$$
\hat\pi(0,\boldsymbol x) = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}(-i)\sqrt{\frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}}\left(\hat a_{\boldsymbol k}e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x} - \hat a^\dagger_{\boldsymbol k}e^{-i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}\right)
$$
となります。実際、右辺の $\hat\phi$ の式に $e^{-i\boldsymbol k'\cdot\boldsymbol x}$ を掛けて $\boldsymbol x$ で積分すると $\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\boldsymbol k'}}}(\hat a_{\boldsymbol k'}+\hat a^\dagger_{-\boldsymbol k'})$、同様に $\hat\pi$ からは $-i\sqrt{\omega_{\boldsymbol k'}/2}\,(\hat a_{\boldsymbol k'}-\hat a^\dagger_{-\boldsymbol k'})$ が出るので、$\omega_{\boldsymbol k'}$ 倍と $i$ 倍を足すと $\hat a^\dagger_{-\boldsymbol k'}$ が消えて $\sqrt{2\omega_{\boldsymbol k'}}\,\hat a_{\boldsymbol k'}$ が残り、
に戻ります。$\hat\phi$ の式が自動的にエルミートになっている点にも注意してください。実場であるという条件が、$e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}$ の係数と $e^{-i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}$ の係数を互いにエルミート共役に縛っているのです。
この命題により、場の量子化の全情報が「無限個の独立な調和振動子のはしご演算子」に翻訳されました。$(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k')$ は、離散モードでの $\delta_{\boldsymbol k\boldsymbol k'}$ の連続版です。
## 5. ハミルトニアンの対角化と真空
相殺の意味を強調しておきます。$\hat a\hat a$ 型の項が残っていたら、それはモード $\boldsymbol k$ と $-\boldsymbol k$ を結合させる項であり、$\hat H$ は対角化されていません。分散関係 $\omega_{\boldsymbol k} = \sqrt{|\boldsymbol k|^2+m^2}$ という「正しい振動数」を
で選んだからこそ相殺が起きたのです。逆に言えば、$\hat a$ の定義に現れる $\omega_{\boldsymbol k}$ は、ハミルトニアンを対角化するという要請から一意に決まります。
$\hat a$ と $\hat a^\dagger$ の積に対し、すべての $\hat a^\dagger$ を $\hat a$ より左に、交換関係を無視して並べ替える操作を**正規順序**（normal ordering）といい、${:}\ \cdot\ {:}$ で表します。たとえば ${:}\hat a_{\boldsymbol k}\hat a^\dagger_{\boldsymbol k'}{:} = \hat a^\dagger_{\boldsymbol k'}\hat a_{\boldsymbol k}$ です。
$E_0$ を差し引く操作は、その場しのぎに見えるかもしれませんが、実は量子化の手続きに元から含まれていた曖昧さの解消です。古典的な $\pi^2$ を演算子にするとき、$\hat\pi^2$ と書くか $\frac{1}{2}(\hat a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a)$ と書くか $\hat a^\dagger\hat a$ と書くかは、古典極限では区別できません。**演算子の順序は古典論からは決まらない**のです。正規順序は、この自由度を使って基底状態のエネルギーをゼロに選ぶ、という規約です。以後、断りなく ${:}\hat H{:}$ を単に $\hat H$ と書きます。
すべての $\boldsymbol k$ について
$$
\hat a_{\boldsymbol k}|0\rangle = 0,\qquad \langle 0|0\rangle = 1
$$
を満たす状態 $|0\rangle$ を**真空**（vacuum）と呼びます。
真空は ${:}\hat H{:}$ の固有値 $0$ の固有状態です。しかも、任意の状態 $|\psi\rangle$ について $\langle\psi|{:}\hat H{:}|\psi\rangle = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\omega_{\boldsymbol k}\|\hat a_{\boldsymbol k}|\psi\rangle\|^2 \ge 0$ なので、真空は**基底状態**です。$\omega_{\boldsymbol k} > 0$ であることが効いています。負エネルギー解の問題は、こうして消えました。負振動数の平面波 $e^{+ik\cdot x}$ は「負エネルギー状態」ではなく「粒子を生成する演算子 $\hat a^\dagger$ に付随する係数」として理論に入っているのです。
$[{:}\hat H{:},\hat a^\dagger_{\boldsymbol k}] = \omega_{\boldsymbol k}\hat a^\dagger_{\boldsymbol k}$ および $[{:}\hat H{:},\hat a_{\boldsymbol k}] = -\omega_{\boldsymbol k}\hat a_{\boldsymbol k}$ が成り立ちます。
$[\hat a^\dagger_{\boldsymbol p}\hat a_{\boldsymbol p},\hat a^\dagger_{\boldsymbol k}] = \hat a^\dagger_{\boldsymbol p}[\hat a_{\boldsymbol p},\hat a^\dagger_{\boldsymbol k}] + [\hat a^\dagger_{\boldsymbol p},\hat a^\dagger_{\boldsymbol k}]\hat a_{\boldsymbol p}$ において、
この式は場の量子論で最も頻繁に使う表式です。読み方は「場 $\hat\phi(x)$ は、あらゆる運動量の粒子を消す部分（$\hat a$、正振動数）と生む部分（$\hat a^\dagger$、負振動数）の重ね合わせである」となります。
それでも、真空エネルギーの**差**は物理的に観測できます。境界条件を変えると許されるモードの集合が変わり、$\sum\frac{1}{2}\omega$ の値が変わるからです。これがカシミール効果で、平行平板間に働く単位面積あたりの引力は電磁場の場合 $\frac{\pi^2\hbar c}{240 a^4}$（$a$ は平板間隔）と予言され、Lamoreaux による測定をはじめとして実験的に確認されています。1 次元の簡単な模型での計算は
で実行します。
## 6. フォック空間と粒子描像
は、$\hat a^\dagger_{\boldsymbol k}$ を作用させるとエネルギーが $\omega_{\boldsymbol k}$ だけ上がることを意味します。真空から出発してこれを繰り返すことで、状態空間全体が作られます。
$\hat N$ の固有値が $n$ の部分空間を $n$ 粒子部分空間と呼びます。自由場では $[\hat H,\hat N] = 0$（
から $\hat H$ が $\hat a^\dagger\hat a$ の積分なので直ちに従います）なので粒子数は保存しますが、相互作用を入れるとこれは破れます。そこが粒子数を変えられる理論の要点です。
運動量演算子を $\hat{\boldsymbol P} = -\int d^3x\;\hat\pi(x)\nabla\hat\phi(x)$ と定義すると、正規順序の下で
$$
{:}\hat{\boldsymbol P}{:} = \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\,\boldsymbol k\;\hat a^\dagger_{\boldsymbol k}\hat a_{\boldsymbol k}
$$
です。したがって
これが本章の中心的な結果です。**私たちは「粒子」を仮定していません**。仮定したのは場と交換関係だけで、粒子はハミルトニアンのスペクトルの構造として出てきました。質量 $m$ はラグランジアンのパラメータでしたが、結果として粒子の分散関係に現れる質量そのものになっています。
$n$ 粒子状態 $|\boldsymbol k_1,\ldots,\boldsymbol k_n\rangle = \prod_{i=1}^n\sqrt{2\omega_{\boldsymbol k_i}}\,\hat a^\dagger_{\boldsymbol k_i}|0\rangle$ は、任意の 2 つの運動量の入れ替えに対して完全に対称です。すなわちスカラー場の量子はボース粒子です。
この結果は注目に値します。量子力学では「同種ボース粒子の波動関数は対称である」ことを追加の要請として課しました。場の量子論では、**実スカラー場を正準量子化する**という 1 つの要請から自動的に従います。スピン $0$ の場に反交換関係を課すと不整合が生じること（スピン統計定理）も、同じ枠組みで示せます。
## 7. 場の交換子と微視的因果律
粒子描像が得られたところで、動機のところで挙げた「相対論的量子論の因果律問題」に戻ります。相対論的な 1 粒子量子力学では、伝播振幅が光円錐の外でゼロにならず（
）、超光速の信号伝達を排除できませんでした。場の量子論はこれをどう解決するのでしょうか。
答えは、観測可能量が交換するかどうかで判定する、というものです。空間的に隔たった 2 つの領域での測定が互いに影響しないための必要十分条件は、それらの領域の観測量が交換することです。自由スカラー場のあらゆる局所観測量は $\hat\phi$ と $\hat\pi$ の多項式で書けるので、$[\hat\phi(x),\hat\phi(y)]$ が消えるかどうかを見ればよいことになります。
したがって、空間的に隔たった 2 領域の観測量は交換し、一方の測定が他方の測定結果の確率分布を変えることはありません。相対論的因果律が、公理としてではなく**構成の帰結**として成立しています。ここで効いたのは、$\hat\phi$ の展開に $\hat a$ と $\hat a^\dagger$ が**両方**現れていたことです。もし正振動数部分だけで場を作っていたら $\Delta(z) = I(z) \ne 0$ となり、因果律は破れていました。生成演算子の項、すなわち反粒子に対応する自由度は、因果律のために必要不可欠なのです。
真空期待値 $D(x-y) = \langle0|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|0\rangle = I(x-y)$ は、空間的隔たりでもゼロになりません。$x-y = (0,\boldsymbol r)$、$r = |\boldsymbol r|$ として角度積分を実行すると
$$
D = \frac{1}{(2\pi)^3}\int_0^\infty dk\,k^2\frac{1}{2\omega_k}\cdot\frac{4\pi\sin kr}{kr} = \frac{1}{4\pi^2 r}\int_0^\infty dk\,\frac{k\sin(kr)}{\sqrt{k^2+m^2}}
$$
です。標準的な積分公式 $\int_0^\infty \frac{\cos(br)}{\sqrt{b^2+m^2}}db = K_0(mr)$ を $r$ で微分し、$K_0' = -K_1$ を使うと $\int_0^\infty \frac{k\sin(kr)}{\sqrt{k^2+m^2}}dk = m K_1(mr)$ が得られるので
$$
D(\boldsymbol r) = \frac{m}{4\pi^2 r}K_1(mr) \;\xrightarrow[\;mr \gg 1\;]{}\; \frac{m}{4\pi^2 r}\sqrt{\frac{\pi}{2mr}}\,e^{-mr}
$$
となります。真空は無相関ではなく、コンプトン波長 $1/m$ 程度の相関長で場のゆらぎが相関しています。にもかかわらず
## 8. 演習
## 参考文献
- M. E. Peskin and D. V. Schroeder, *An Introduction to Quantum Field Theory*, Westview Press, 1995 — 第 2 章「The Klein-Gordon Field」。本章の構成はこの章の流れにおおむね沿っています。
- M. Srednicki, *Quantum Field Theory*, Cambridge University Press, 2007 — 第 1 章から第 3 章。相対論的量子力学の困難から正準量子化までを丁寧に扱っています。
- S. Weinberg, *The Quantum Theory of Fields, Volume I: Foundations*, Cambridge University Press, 1995 — 第 5 章および第 7 章。粒子（ポアンカレ群の既約表現）から出発して場を構成する、本章とは逆向きの論理が展開されています。
- 九後汰一郎『ゲージ場の量子論 I』培風館、1989 — 自由場の正準量子化を扱う前半部。
- P. A. M. Dirac, "The Quantum Theory of the Emission and Absorption of Radiation", *Proceedings of the Royal Society of London A* 114 (1927), 243–265 — 場の量子化が初めて成功した論文。
- S. K. Lamoreaux, "Demonstration of the Casimir Force in the 0.6 to 6 μm Range", *Physical Review Letters* 78 (1997), 5 — カシミール力の測定。
## Appendix: 有限体積での定式化とデルタ関数の発散の正体
**設定。** 一辺 $L$ の立方体（体積 $V = L^3$）に周期境界条件を課します。許される波数は $\boldsymbol k = \frac{2\pi}{L}\boldsymbol n$（$\boldsymbol n\in\mathbb{Z}^3$）と離散化され、直交関係は $\int_V d^3x\,e^{i(\boldsymbol k-\boldsymbol k')\cdot\boldsymbol x} = V\delta_{\boldsymbol k\boldsymbol k'}$ になります。場を
$$
\hat\phi(\boldsymbol x) = \frac{1}{\sqrt V}\sum_{\boldsymbol k}\hat q_{\boldsymbol k}e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x},\qquad \hat\pi(\boldsymbol x) = \frac{1}{\sqrt V}\sum_{\boldsymbol k}\hat p_{\boldsymbol k}e^{-i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}
$$
と展開します。$\hat\phi,\hat\pi$ がエルミートであることは $\hat q^\dagger_{\boldsymbol k} = \hat q_{-\boldsymbol k}$、$\hat p^\dagger_{\boldsymbol k} = \hat p_{-\boldsymbol k}$ と同値です。
**交換関係とハミルトニアン。** $[\hat q_{\boldsymbol k},\hat p_{\boldsymbol k'}] = i\delta_{\boldsymbol k\boldsymbol k'}$ を課すと、
$$
[\hat\phi(\boldsymbol x),\hat\pi(\boldsymbol y)] = \frac{i}{V}\sum_{\boldsymbol k}e^{i\boldsymbol k\cdot(\boldsymbol x-\boldsymbol y)}
$$
となり、右辺は箱の中の周期的デルタ関数、$L\to\infty$ で $i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$ になります。ハミルトニアンに代入すると、各項で $\int_V d^3x$ が $\boldsymbol k' = -\boldsymbol k$ を選び、
$$
\hat H = \frac{1}{2}\sum_{\boldsymbol k}\left(\hat p_{\boldsymbol k}\hat p^\dagger_{\boldsymbol k} + \omega_{\boldsymbol k}^2\hat q_{\boldsymbol k}\hat q^\dagger_{\boldsymbol k}\right)
$$
を得ます。
で使った表式です。$\boldsymbol k$ と $-\boldsymbol k$ を組にして実の正準変数を作れば、これはまさしく角振動数 $\omega_{\boldsymbol k}$ の調和振動子の集まりであり、量子力学の標準的な方法で対角化できます。結果は
$$
\hat H = \sum_{\boldsymbol k}\omega_{\boldsymbol k}\left(\hat A^\dagger_{\boldsymbol k}\hat A_{\boldsymbol k} + \frac{1}{2}\right),\qquad [\hat A_{\boldsymbol k},\hat A^\dagger_{\boldsymbol k'}] = \delta_{\boldsymbol k\boldsymbol k'}
$$
で、零点エネルギーは $E_0 = \sum_{\boldsymbol k}\frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2}$ という、「モード 1 個につき $\frac{1}{2}\hbar\omega$」というきわめて見通しのよい形になります。
**連続極限への辞書。** $L\to\infty$ で和は積分に置き換わります。
| 有限体積 | 連続極限 |
|---|---|
| $\sum_{\boldsymbol k}$ | $V\displaystyle\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}$ |
| $\delta_{\boldsymbol k\boldsymbol k'}$ | $\dfrac{(2\pi)^3}{V}\delta^3(\boldsymbol k-\boldsymbol k')$ |
| $\hat A_{\boldsymbol k}$ | $\dfrac{1}{\sqrt V}\hat a_{\boldsymbol k}$ |
| $V$ | $(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol 0)$ |
最後の行が、
に現れた $\delta^3(\boldsymbol 0)$ の正体です。$(2\pi)^3\delta^3(\boldsymbol k)\big|_{\boldsymbol k=\boldsymbol 0} = \int d^3x\,e^{i\boldsymbol 0\cdot\boldsymbol x} = V$ ですから、これは無限体積という理想化が生む赤外的な発散であって、短距離物理とは関係ありません。実際、この辞書で $E_0 = \sum_{\boldsymbol k}\frac{\omega_{\boldsymbol k}}{2} \to \frac{V}{2}\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\omega_{\boldsymbol k}$ となり、
の表式と一致します。エネルギー密度 $\rho_0 = E_0/V$ を考えれば $V$ 依存性は消え、
で扱った紫外発散だけが本質的な問題として残ります。