# 日常の中の物理：スマホ・GPS・MRI を動かしている量子力学と相対論
> スマホの半導体、GPS の相対論補正、MRI の核磁気共鳴を、実際の数値を最後まで計算して読み解く。バンドギャップと発光色、1 日 38 マイクロ秒の時刻ずれ、5 ppm の核スピン偏極が、身のまわりの機器を動かしています。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/physics-columns/physics-in-everyday-life
## 0. この記事の要点
- スマホの半導体は、結晶中の電子が飛び飛びのエネルギー帯しか取れないという量子力学の帰結の上に成り立っています。バンドギャップ $E_g$ を決めれば、その材料が光る色も、熱で勝手に流れる電流の量も、指数関数で一意に決まります。
- 微細化が止まったのはトンネル効果のせいです。ゲート絶縁膜を $1\ \mathrm{nm}$ 薄くするごとに漏れ電流はおよそ $7 \times 10^{7}$ 倍になります。この数字は指数関数から手計算で出せます。
- GPS 衛星の時計は、地上の時計に対して 1 日あたり約 $38\ \mu\mathrm{s}$ 進みます。特殊相対論による遅れ $-7.2\ \mu\mathrm{s}$ と一般相対論による進み $+45.7\ \mu\mathrm{s}$ の差です。補正しなければ測位誤差は 1 日で約 $11\ \mathrm{km}$ 積み上がります。
- MRI が見ているのは、あなたの体の水素原子核のうち **100 万個に 5 個** という、ごくわずかな「向きの偏り」です。それでも $1\ \mathrm{mm}^3$ に $3 \times 10^{14}$ 個あるので、十分な信号になります。
- 三つに共通するのは $E = hf$ という 1 本の式です。バンドギャップは光の色に、原子核のゼーマン分裂は電波の周波数に、セシウム原子の超微細構造は「秒」そのものになっています。
## 1. 動機：ポケットに 20 世紀物理学が入っている
1900 年の物理学者に「あなたたちが今から作る理論は、100 年後には手のひらサイズの板になって全人類が持ち歩きます」と言っても、たぶん信じてもらえません。量子力学も相対性理論も、当時は「黒体放射のスペクトルが合わない」「エーテルが見つからない」といった、実験室の隅の小さな不一致から始まった話でした。
ところが現在、あなたがスマートフォンで地図を開いて現在地を確かめる、その数秒間に、次のことが起きています。
1. 指がガラスに触れると、透明電極の**静電容量**の変化が読み取られ、シリコンの集積回路がそれを数値に変える。この回路の中では、電子が**バンド**という飛び飛びのエネルギー帯を動いている。
2. 高度およそ $2\times 10^{4}\ \mathrm{km}$ の GPS 衛星から届く電波の到達時刻の差が計算される。このとき衛星の原子時計には、**特殊相対論と一般相対論**による補正が最初からかけられている。
3. （体調が悪ければ）病院で MRI に入る。あなたの体内の水素原子核が、**核磁気共鳴**によって電波を出す。
本記事では、この三つを順に取り上げ、**数値を最後まで計算します**。「相対論が使われています」と言うだけなら誰でもできますが、「1 日に何マイクロ秒ずれるのか」を自分で出せると、話は途端に具体的になります。使う数学は、指数関数と平方根と、$(1+x)^{1/2} \approx 1 + x/2$ という近似だけです。
## 2. 準備：三つの機器を貫く 1 本の式
三つの技術はまったく別の分野に見えますが、根っこには同じ関係式があります。
振動数 $f$（角振動数 $\omega = 2\pi f$）の電磁波の 1 個の光子が運ぶエネルギー $E$ は
$$
E = hf = \hbar \omega
$$
で与えられる。ここで $h = 6.62607\times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$ をプランク定数、$\hbar = h/(2\pi)$ を換算プランク定数という。
逆に、二つのエネルギー準位の差が $\Delta E$ である系は、$f = \Delta E / h$ の電磁波を吸収・放出する。
この式は「エネルギー差」と「周波数」を翻訳する辞書です。以下で見るように、半導体では $\Delta E$ がバンドギャップ（可視光〜赤外）、MRI では核スピンのゼーマン分裂（電波）、原子時計ではセシウム原子の超微細構造（マイクロ波）に対応します。
計算に使う定数をまとめておきます。有効数字は 4〜5 桁で、CODATA 2018 の推奨値に基づきます。
| 記号 | 値 | 意味 |
|---|---|---|
| $c$ | $2.99792\times 10^{8}\ \mathrm{m/s}$ | 真空中の光速 |
| $h$ | $6.62607\times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$ | プランク定数 |
| $hc$ | $1239.84\ \mathrm{eV\,nm}$ | 波長とエネルギーの換算 |
| $k_B$ | $1.38065\times 10^{-23}\ \mathrm{J/K}$ | ボルツマン定数 |
| $k_B T$ ($T = 300\ \mathrm{K}$) | $0.02585\ \mathrm{eV}$ | 室温の熱エネルギー |
| $m_e$ | $9.109\times 10^{-31}\ \mathrm{kg}$ | 電子の質量 |
| $GM_\oplus$ | $3.986\times 10^{14}\ \mathrm{m^3/s^2}$ | 地球の重力定数 |
| $R_\oplus$ | $6.371\times 10^{6}\ \mathrm{m}$ | 地球の平均半径 |
## 3. スマートフォン：飛び飛びのエネルギーが電子回路になる
### 3.1. なぜ「半分だけ導体」なのか
金属はよく電気を通し、ガラスはまったく通しません。半導体はその中間ですが、面白いのは「中途半端に通す」ことではなく、**通すか通さないかを外から切り替えられる**ことです。この切り替えがトランジスタであり、トランジスタが 100 億個集まったものがスマホの心臓部です。
なぜ切り替えられるのか。答えは、結晶中の電子が取れるエネルギーが連続ではなく、**帯（バンド）**になっているからです。
結晶中の電子が取り得るエネルギーは、いくつかの連続領域（**エネルギーバンド**）に分かれ、その間に電子が存在できない領域（**禁制帯**）ができる。絶対零度で電子が完全に詰まっている最上のバンドを**価電子帯**、その上の空のバンドを**伝導帯**と呼び、両者のエネルギー差
$$
E_g = E_{\text{伝導帯の底}} - E_{\text{価電子帯の頂上}}
$$
を**バンドギャップ**という。$E_g = 0$ の物質を金属、$E_g$ が $k_B T$ より十分大きく数 eV 程度の物質を半導体、それよりはるかに大きい物質を絶縁体と呼ぶ。
バンドができる理由は量子力学です。孤立した原子では電子のエネルギーは飛び飛びの準位を取りますが、原子を $10^{23}$ 個並べて結晶にすると、隣り合う原子の波動関数が重なって準位が分裂し、密集した「帯」になります。周期的な結晶では、ある波長の電子波がブラッグ反射されて進めなくなり、そこに隙間が空く——これが禁制帯です。
### 3.2. バンドギャップは何を決めるか（1）光の色
バンドギャップ $E_g$ の直接遷移型半導体において、伝導帯の底にある電子が価電子帯の頂上の正孔と再結合して光子 1 個を放出するとき、その光子の真空中の波長 $\lambda$ は
$$
\lambda = \frac{hc}{E_g}, \qquad \text{数値的には}\quad \lambda\,[\mathrm{nm}] = \frac{1239.84}{E_g\,[\mathrm{eV}]}
$$
で与えられる。
再結合で電子が失うエネルギーはちょうど $E_g$ です。エネルギー保存則より、放出される光子のエネルギーも $E_g$ です。
時計は 7.2 μs/日 遅れる"]
A --> C["一般相対論：重力ポテンシャルが浅い
時計は 45.7 μs/日 進む"]
B --> D["差し引き +38.5 μs/日"]
C --> D
D --> E["未補正なら測位誤差 約 11 km/日"]
D --> F["対策：基準周波数を打ち上げ前にずらす
10.23 MHz → 10.22999999543 MHz"]`} />