# 弱い相互作用とニュートリノ：Fermi 理論から V−A、CKM 行列、ニュートリノ振動まで

> Fermi の 4 点相互作用からミューオン寿命 G_F²m⁵/192π³ を導き、V−A 構造をパイ中間子崩壊のヘリシティ抑制で確かめ、CKM 行列と Jarlskog 不変量、ニュートリノ振動と物質効果を証明つきで扱う。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/particle-physics/weak-interaction-neutrinos

## 0. この記事の要点

原子核やミューオンが別の粒子に変わる「崩壊」は、電磁気力でも強い力でも起こせない現象で、第 4 の力である「弱い力」が担っています。この記事では、その力のはたらき方を最小限の仮定で書き下し、ミューオンの寿命や、粒子の種類が飛んでいる間に入れ替わるニュートリノ振動といった実験の数値が、計算で出せることを見ます。読み終えると、弱い力の特徴（左巻きの粒子だけに効くこと）と、世代の混合から何が起こるかを式で追えるようになります。

- 核の β 崩壊やミューオン崩壊は、**Fermi の 4 点相互作用** $G_F$ で記述できます。ゴールデンルールから β 崩壊の電子スペクトルと $Q^5$ 則が、ファインマン則からミューオン寿命 $\Gamma=G_F^2m_\mu^5/(192\pi^3)$ が導けます。数値は $\tau_\mu=2.19\,\mu\mathrm s$ を再現します。
- 荷電カレントは **V−A 構造**、すなわち左巻きの成分だけが結合する形をもち、[パリティ](/physics/qft/dirac-field#def-discrete-symmetries)（空間を鏡のように反転する操作）に対する対称性が最大限に破れます。この構造は、パイ中間子崩壊の分岐比 $\Gamma(\pi\to e\nu)/\Gamma(\pi\to\mu\nu)=1.28\times10^{-4}$（ヘリシティ抑制）を予言し、実験と合います。
- クォークの質量固有状態と弱い固有状態の混合は **CKM 行列**で表されます。$n$ 世代のユニタリ行列の物理的な自由度は、混合角 $n(n-1)/2$ 個と位相 $(n-1)(n-2)/2$ 個です。CP 非保存には $3$ 世代が必要で、その大きさは **Jarlskog 不変量** $J$ にまとまります。
- ニュートリノにも同様の混合があり、質量固有状態の位相差が **ニュートリノ振動**を生みます。2 世代では $P=\sin^22\theta\sin^2(\Delta m^2L/4E)$、3 世代の CP の非対称度は $16J\sin\Delta_{21}\sin\Delta_{32}\sin\Delta_{31}$ です。物質中では電子数密度が混合角を変えます（MSW 効果。物質中を通るニュートリノが電子から受ける影響で、混合のしかたが変わる現象のことです）。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **ゴールデンルール** — 始状態から終状態への遷移の確率を、行列要素の 2 乗と終状態の数で与える公式。
- **パリティ** — 空間座標を $\boldsymbol x\to-\boldsymbol x$ と反転する操作。→ [パリティ](/physics/qft/dirac-field#def-discrete-symmetries)
- **γ 行列** — ディラック方程式に現れる 4×4 の行列で、トレースの公式を使って計算に用います。→ [γ 行列](/physics/quantum-mechanics-2/relativistic-quantum-mechanics#def-gamma-matrices)
- **ディラック場の量子化** — 電子のようなスピン 1/2 の粒子を、反交換関係を満たす場として扱う方法。→ [ディラック場の量子化](/physics/qft/dirac-field#def-dirac-field-quantization)
- **ユニタリ行列** — $V^\dagger V=1$ を満たす複素正方行列。$n\times n$ では実パラメータが $n^2$ 個あります。

</Aside>

## 1. 動機

原子核の β 崩壊では、核の電荷が $1$ だけ変わり電子が放出されます。1914 年からのチャドウィックの測定は、この電子のエネルギーが**連続スペクトル**であることを示しました。2 体崩壊なら電子のエネルギーは一つの値に決まるはずです。パウリ（1930）は、もう一つの中性で軽い粒子（ニュートリノ）が一緒に出ていると仮定してこれを救い、フェルミ（1934）が、これを 4 個の粒子が 1 点で相互作用する場の理論にまとめました。この理論は、1950 年代にパリティの破れが発見されて V−A 理論に書き換えられ、1960 年代には、$W$ ボソンを交換する電弱理論の低エネルギー極限として理解されました（次の章で扱います）。

この記事では、前半（第 2〜3 節）でこの相互作用の形と効果を、$G_F$ と V−A の二つのパラメータで定式化し、後半（第 4〜5 節）で、世代間の混合（CKM 行列とニュートリノ混合）とその帰結である CP 非保存・ニュートリノ振動を扱います。使うのは、ディラック場の量子化（[ディラック場](/physics/qft/dirac-field)）、ファインマン則による崩壊率の公式（[ファインマン則と LSZ](/physics/qft/feynman-rules-lsz)）、核の β 崩壊のエネルギー収支（[原子核](/physics/particle-physics/nuclear-physics)）です。以下 $\hbar=c=1$ とし、計量は $(+,-,-,-)$、$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ です。

## 2. Fermi 理論

### 2.1. 4 点相互作用

<Definition id="def-fermi-interaction" title="Fermi の 4 点相互作用（V−A 型）">
ミューオンの崩壊 $\mu^-\to\nu_\mu+e^-+\bar\nu_e$ の相互作用ラグランジアンを
$$
\mathcal L_{\mathrm F}=-\frac{G_F}{\sqrt2}\,\bigl[\bar\nu_\mu\gamma^\mu(1-\gamma^5)\mu\bigr]\bigl[\bar e\gamma_\mu(1-\gamma^5)\nu_e\bigr]+\mathrm{h.c.}
$$
と定める。$G_F$ は **Fermi 結合定数**（次元 $[\text{質量}]^{-2}$）で、実測値は $G_F=1.1664\times10^{-5}\,\mathrm{GeV}^{-2}$ である。ここで場の記号はそれぞれの粒子の場を表す。核の β 崩壊 $n\to p\,e^-\bar\nu_e$ では、$\mu\to n$、$\nu_\mu\to p$ と読み替え、結合を $G_FV_{ud}$（ハドロンの構造補正を除く）にする。
</Definition>

$(1-\gamma^5)$ という因子は、あとで説明するように、左巻きの成分だけを取り出します。まず、この形の相互作用が含意する 2 つの定量的な結果を見ます。

### 2.2. β 崩壊のスペクトル

<Proposition id="prop-beta-spectrum" title="β 崩壊の電子スペクトルと $Q^5$ 則">
核の β 崩壊 $(Z,A)\to(Z+1,A)+e^-+\bar\nu_e$ で、核の反跳とニュートリノの質量、クーロン補正を無視し、核の行列要素 $\mathcal M_N$（結合の規格化因子を含む）がエネルギーによらないとする。電子の全エネルギーを $E$、運動量を $p$ とすると、崩壊率の分布は
$$
\frac{d\Gamma}{dE}=\frac{G^2|\mathcal M_N|^2}{2\pi^3}\;p\,E\,(E_0-E)^2\qquad(m_e\le E\le E_0)
$$
（$E_0=Q+m_e$ は電子の全エネルギーの上限で、$Q$ は <Ref to="physics/particle-physics/nuclear-physics#prop-beta-q" text="β 崩壊の Q 値" /> である。ニュートリノのエネルギーは $E_\nu=E_0-E$）。$Q\gg m_e$ では全崩壊率は $\Gamma\propto Q^5$（サージェントの法則）である。ここで $G=G_FV_{ud}$ とする。
</Proposition>

<Proof of="prop-beta-spectrum">
<Ref to="physics/quantum-mechanics-2/time-evolution-perturbation#thm-fermi-golden-rule" text="Fermi の黄金律" /> により $\Gamma=2\pi|V_{fi}|^2\rho$ である。体積 $V$ の箱で規格化すると、電子とニュートリノの運動量 $\boldsymbol p,\boldsymbol p_\nu$ の状態密度は $V\,d^3p/(2\pi)^3$ と $V\,d^3p_\nu/(2\pi)^3$ で、4 点相互作用の行列要素は $V_{fi}=G\mathcal M_N/V$（4 つの粒子の波動関数の規格化因子の積）だから、$V$ は消えて
$$
d\Gamma=2\pi G^2|\mathcal M_N|^2\int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{d^3p_\nu}{(2\pi)^3}\,\delta(E_0-E-E_\nu),
$$
$E_0$ は電子とニュートリノに分配される全エネルギーである。質量ゼロのニュートリノでは $E_\nu=p_\nu$ で、$d^3p_\nu=4\pi p_\nu^2dp_\nu$ を $\delta$ 関数で積分すると $4\pi E_\nu^2$、$d^3p=4\pi p^2dp$ なので
$$
d\Gamma=2\pi G^2|\mathcal M_N|^2\frac{(4\pi)^2}{(2\pi)^6}\,p^2\,dp\,E_\nu^2=\frac{G^2|\mathcal M_N|^2}{2\pi^3}\,p^2E_\nu^2\,dp.
$$
$p\,dp=E\,dE$ より $d\Gamma=\frac{G^2|\mathcal M_N|^2}{2\pi^3}\,pE\,E_\nu^2\,dE$ を得る（$E_\nu=E_0-E$）。$m_e$ を無視すると $p=E$、$E_0=Q$ で、全崩壊率は $\Gamma=\frac{G^2|\mathcal M_N|^2}{2\pi^3}\int_0^QE^2(Q-E)^2dE$、$\int_0^QE^2(Q-E)^2dE=Q^5\bigl(\tfrac13-\tfrac24+\tfrac15\bigr)=Q^5/30$ から $\Gamma\propto Q^5$ である。
</Proof>

この結果から、**クーリー・プロット**（$\sqrt{(dN/dE)/(pE)}$ を $E$ の関数として描いたもの）は $(Q-E)$ に比例する直線になり、$E$ 軸との交点が $Q$ を与えます（質量があれば端点付近でこの直線が曲がるので、ニュートリノ質量の測定法になります）。連続スペクトルは、3 体崩壊で $E_e$ が $0$ から $Q$ まで動くことの現れです。

### 2.3. ミューオンの寿命

<Theorem id="thm-muon-decay" title="ミューオンの崩壊率">
電子質量を無視する近似で、<Ref to="def-fermi-interaction" /> の相互作用が与える $\mu^-\to\nu_\mu e^-\bar\nu_e$ の崩壊率は
$$
\Gamma=\frac{G_F^2\,m_\mu^5}{192\pi^3}
$$
である。
</Theorem>

証明に 2 つの補題を使います。1 つ目は、ミューオン崩壊の振幅の 2 乗のスピン和が、2 つの γ 行列のトレースの積として出てくるので、その積を内積の積 $(a\cdot c)(b\cdot d)$ の形にまとめるためのものです。2 つ目は、質量ゼロの 2 粒子（2 個のニュートリノ）の位相空間を、テンソル $k^\alpha k'^\beta$ を掛けて積分するためのものです。どちらも計算の道具で、定理の内容そのものは次の証明で使われる形だけ追えば十分です。

<Lemma id="lem-v-a-contraction" title="V−A のトレース縮約">
任意の 4 元ベクトル $a,b,c,d$ に対し、
$$
\mathrm{tr}\bigl[\not{a}\gamma^\mu\not{b}\gamma^\nu(1-\gamma^5)\bigr]\;\mathrm{tr}\bigl[\not{c}\gamma_\mu\not{d}\gamma_\nu(1-\gamma^5)\bigr]=64\,(a\cdot c)(b\cdot d)
$$
が成り立つ。
</Lemma>

<Proof of="lem-v-a-contraction">
<Ref to="physics/qft/feynman-rules-lsz#lem-gamma-traces" text="γ 行列のトレース" /> により $\mathrm{tr}[\not a\gamma^\mu\not b\gamma^\nu]=4(a^\mu b^\nu+a^\nu b^\mu-g^{\mu\nu}a\!\cdot\!b)\equiv S^{\mu\nu}$。$\gamma^5$ を含む項は $\mathrm{tr}[\gamma^5\gamma^\alpha\gamma^\mu\gamma^\beta\gamma^\nu]=-4i\epsilon^{\alpha\mu\beta\nu}$（<Ref to="physics/qft/anomalies#thm-gamma5-traces" />。$\epsilon^{0123}=+1$。$\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=-i\gamma^5$ から $\mathrm{tr}[\gamma^5\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3]=-4i$ となることで符号が決まる。[ローレンツ群とポアンカレ群](/physics/qft/lorentz-poincare-wigner)と同じ規約）で、$\mathrm{tr}[\not a\gamma^\mu\not b\gamma^\nu(1-\gamma^5)]=S^{\mu\nu}+4i\epsilon^{\alpha\mu\beta\nu}a_\alpha b_\beta\equiv S^{\mu\nu}+A^{\mu\nu}$（$A$ は $\mu\nu$ について反対称）。第 2 のトレースも同じ形で $S'_{\mu\nu}+A'_{\mu\nu}$。対称×反対称は $0$ になるので、積は $S\!\cdot\!S'+A\!\cdot\!A'$ である。
$S^{\mu\nu}S'_{\mu\nu}=16\bigl[(a^\mu b^\nu+a^\nu b^\mu-g^{\mu\nu}a\!\cdot\!b)(c_\mu d_\nu+c_\nu d_\mu-g_{\mu\nu}c\!\cdot\!d)\bigr]$ を展開する。$2(a\!\cdot\!c)(b\!\cdot\!d)+2(a\!\cdot\!d)(b\!\cdot\!c)-4(a\!\cdot\!b)(c\!\cdot\!d)+4(a\!\cdot\!b)(c\!\cdot\!d)$（最後の 2 項は $g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=4$ から）なので $S\!\cdot\!S'=32\bigl[(a\!\cdot\!c)(b\!\cdot\!d)+(a\!\cdot\!d)(b\!\cdot\!c)\bigr]$。
反対称部分は $A\!\cdot\!A'=(4i)^2\epsilon^{\alpha\mu\beta\nu}\epsilon_{\gamma\mu\delta\nu}a_\alpha b_\beta c^\gamma d^\delta$ で、恒等式 $\epsilon^{\alpha\mu\beta\nu}\epsilon_{\gamma\mu\delta\nu}=-2(\delta^\alpha_\gamma\delta^\beta_\delta-\delta^\alpha_\delta\delta^\beta_\gamma)$（<Ref to="physics/qft/anomalies#lem-epsilon-contractions" /> の縮約で、両方の $\epsilon$ の添字を $\mu\nu$ が先頭に来るように並べ替えたもの）を使うと $A\!\cdot\!A'=32\bigl[(a\!\cdot\!c)(b\!\cdot\!d)-(a\!\cdot\!d)(b\!\cdot\!c)\bigr]$。合計して $64(a\!\cdot\!c)(b\!\cdot\!d)$ を得る。
</Proof>

<Lemma id="lem-two-massless-integral" title="質量ゼロの 2 粒子の位相空間積分">
時間的な 4 元ベクトル $q$ に対し
$$
\int\frac{d^3k}{2k^0}\frac{d^3k'}{2k'^0}\,\delta^4(q-k-k')\,k^\alpha k'^\beta=\frac{\pi}{24}\bigl(q^2g^{\alpha\beta}+2q^\alpha q^\beta\bigr)
$$
である（$k^2=k'^2=0$）。
</Lemma>

<Proof of="lem-two-massless-integral">
左辺は $q$ のみに依存するローレンツ共変な対称テンソルなので $I^{\alpha\beta}=Aq^2g^{\alpha\beta}+Bq^\alpha q^\beta$ の形である（不変測度と不変なデルタ関数から）。まず $I_0=\int\frac{d^3k}{2k^0}\frac{d^3k'}{2k'^0}\delta^4(q-k-k')$ を $q$ の静止系で求める。$k'=-k$、$k^0=k'^0=|\boldsymbol k|$ で、$I_0=\int\frac{4\pi k^2dk}{4k^2}\delta(\sqrt{q^2}-2k)=\frac\pi2$。次に縮約をとる。$g_{\alpha\beta}I^{\alpha\beta}$ では $k\!\cdot\!k'=q^2/2$（$q^2=(k+k')^2=2k\!\cdot\!k'$）より $\frac{q^2}2I_0=4Aq^2+Bq^2$ なので $4A+B=\frac\pi4$。$q_\alpha q_\beta I^{\alpha\beta}$ では $(q\!\cdot\!k)(q\!\cdot\!k')=(q^2/2)^2$（$q\!\cdot\!k=k\!\cdot\!k'=q^2/2$ ゆえ）より $\frac{q^4}4I_0=(A+B)q^4$、すなわち $A+B=\frac\pi8$。連立して $A=\frac\pi{24}$、$B=\frac\pi{12}$ を得る。
</Proof>

<Proof of="thm-muon-decay">
$\mu^-(p)\to\nu_\mu(k)\,e^-(p')\,\bar\nu_e(k')$ の振幅は、<Ref to="def-fermi-interaction" /> から $\mathcal M=\frac{G_F}{\sqrt2}\bigl[\bar u(k)\gamma^\mu(1-\gamma^5)u(p)\bigr]\bigl[\bar u(p')\gamma_\mu(1-\gamma^5)v(k')\bigr]$ である。<Ref to="physics/qft/dirac-field#thm-spin-sums" text="スピン和" /> $\sum u\bar u=\not p+m$、$\sum v\bar v=\not k'$（質量ゼロ）を使う。第 1 因子の絶対値の 2 乗のスピン和は $\mathrm{tr}[\not k\gamma^\mu(1-\gamma^5)(\not p+m_\mu)\gamma^\nu(1-\gamma^5)]$ で、$(1-\gamma^5)\gamma^\nu(1-\gamma^5)=\gamma^\nu(1+\gamma^5)(1-\gamma^5)=0$ から質量の項は消え、$(1-\gamma^5)\not p\gamma^\nu(1-\gamma^5)=\not p\gamma^\nu(1-\gamma^5)^2=2\not p\gamma^\nu(1-\gamma^5)$ から $2\,\mathrm{tr}[\not k\gamma^\mu\not p\gamma^\nu(1-\gamma^5)]$。第 2 因子も同様に $2\,\mathrm{tr}[\not p'\gamma_\mu\not k'\gamma_\nu(1-\gamma^5)]$。<Ref to="lem-v-a-contraction" /> で $a=k,b=p,c=p',d=k'$ とおくと、スピン和は $\frac{G_F^2}2\cdot4\cdot64\,(k\!\cdot\!p')(p\!\cdot\!k')$、始状態のスピン平均 $\frac12$ を掛けて
$$
\langle|\mathcal M|^2\rangle=64\,G_F^2\,(p\!\cdot\!k')(p'\!\cdot\!k).
$$
<Ref to="physics/qft/feynman-rules-lsz#thm-cross-section" text="崩壊率の公式" /> から $\Gamma=\frac1{2m}\int\frac{d^3p'}{(2\pi)^32E'}\frac{d^3k}{(2\pi)^32k^0}\frac{d^3k'}{(2\pi)^32k'^0}(2\pi)^4\delta^4(p-p'-k-k')\langle|\mathcal M|^2\rangle$。$q=p-p'$ とおいてニュートリノについて <Ref to="lem-two-massless-integral" /> を使うと、$\int(p\!\cdot\!k')(p'\!\cdot\!k)=p_\beta p'_\alpha I^{\alpha\beta}=\frac\pi{24}\bigl[q^2(p\!\cdot\!p')+2(p'\!\cdot\!q)(p\!\cdot\!q)\bigr]$。ミューオンの静止系で $p\!\cdot\!p'=mE'$（$m=m_\mu$）、$q^2=m^2-2mE'$、$p'\!\cdot\!q=mE'$、$p\!\cdot\!q=m^2-mE'$ なので括弧の中は $mE'(m^2-2mE')+2mE'(m^2-mE')=3m^3E'-4m^2E'^2$。電子の質量を無視して $d^3p'=4\pi E'^2dE'$ とし、電子のエネルギーの上限が $m/2$ であること（他の 2 粒子が逆向きに出るとき）を使うと
$$
\Gamma=\frac1{2m}\frac{64G_F^2}{(2\pi)^5}\frac\pi{24}\int_0^{m/2}\frac{4\pi E'^2}{2E'}\bigl(3m^3E'-4m^2E'^2\bigr)dE'=\frac1{2m}\frac{64G_F^2}{32\pi^5}\frac\pi{24}\cdot2\pi\Bigl[m^3E'^3-m^2E'^4\Bigr]_0^{m/2}.
$$
括弧は $m^6/8-m^6/16=m^6/16$ で、係数は $\frac1{2m}\cdot\frac{64G_F^2}{32\pi^5}\cdot\frac\pi{24}\cdot2\pi\cdot\frac{m^6}{16}=\frac{G_F^2m^5}{192\pi^3}$ である。
</Proof>

<Example id="ex-muon-lifetime" title="ミューオン寿命から $G_F$ を測る">
$m_\mu=0.10566\,\mathrm{GeV}$ では $m_\mu^5=1.317\times10^{-5}\,\mathrm{GeV}^5$、$G_F^2=1.360\times10^{-10}\,\mathrm{GeV}^{-4}$ で、$\Gamma=\dfrac{1.360\times10^{-10}\times1.317\times10^{-5}}{192\pi^3}=3.01\times10^{-19}\,\mathrm{GeV}$、$\tau=\hbar/\Gamma=\dfrac{6.582\times10^{-25}\,\mathrm{GeV\,s}}{3.01\times10^{-19}\,\mathrm{GeV}}=2.19\times10^{-6}\,\mathrm s$ です。実測の $2.197\,\mu\mathrm s$ と $0.5\%$ 以内で一致し、逆に寿命から $G_F$ が最も精度よく決まります。
</Example>

<Remark id="rem-fermi-unitarity" title="Fermi 理論の限界とボソン交換">
$G_F$ の次元が $[\text{質量}]^{-2}$ であることから、$\nu_\mu e^-\to\mu^-\nu_e$ の断面積は次元解析で $\sigma\sim G_F^2s$ と書け、$s$ とともに増大します。散乱の部分波の断面積はユニタリ性により $16\pi/s$ 程度を超えられないので、$\sqrt s\sim G_F^{-1/2}\sim300\,\mathrm{GeV}$ 〜 $1\,\mathrm{TeV}$ で理論は破綻します。この解決が、質量 $M_W$ のベクトルボソンの交換です。質量 $M_W$ の $W$ の伝播関数 $-ig_{\mu\nu}/(q^2-M_W^2)$ は $|q^2|\ll M_W^2$ で $ig_{\mu\nu}/M_W^2$ と近似でき、頂点が $\dfrac{g}{2\sqrt2}\gamma^\mu(1-\gamma^5)$ のとき、$\dfrac{G_F}{\sqrt2}=\dfrac{g^2}{8M_W^2}$ を得ます。$M_W=gv/2$ なら $G_F=1/(\sqrt2v^2)$、$v=246\,\mathrm{GeV}$ となり、$G_F$ の逆数の平方根が弱いスケールを与えます（第 4 章）。
</Remark>

## 3. パリティの破れと V−A 構造

1956 年、リーとヤンは、弱い相互作用でのパリティ保存が実験的に確かめられていないことを指摘しました。パリティ変換 $P$ は空間座標の反転 $\boldsymbol x\to-\boldsymbol x$ で、位置・運動量のような極性ベクトルは符号を変え、角運動量・スピンのような軸性ベクトルは符号を変えません。

<Proposition id="prop-parity-test" title="パリティ保存の検証可能な帰結">
相互作用がパリティを保存するなら、偏極した核（スピン $\boldsymbol J$）の崩壊で放出される電子の運動量 $\boldsymbol p$ の角分布に、$\boldsymbol J\!\cdot\!\boldsymbol p$ に比例する項は現れない。すなわち、前方と後方への放出は等確率である。
</Proposition>

<Proof of="prop-parity-test">
$P$ のもとで $\boldsymbol p\to-\boldsymbol p$（極性）、$\boldsymbol J\to\boldsymbol J$（軸性）だから、$\boldsymbol J\!\cdot\!\boldsymbol p\to-\boldsymbol J\!\cdot\!\boldsymbol p$（擬スカラー）。パリティが保存されるなら、観測される確率分布 $w(\boldsymbol p;\boldsymbol J)$ は $P$ の下で不変、$w(\boldsymbol p;\boldsymbol J)=w(-\boldsymbol p;\boldsymbol J)$ である。$\cos\theta=\hat{\boldsymbol J}\!\cdot\!\hat{\boldsymbol p}$ について $w(\cos\theta)=w(-\cos\theta)$ で、奇関数の $\cos\theta$ の項（$1+a\cos\theta$ の $a$）は $0$ になる。
</Proof>

ウー（1957）は、低温で偏極させた $^{60}\mathrm{Co}$ の β 崩壊 $^{60}\mathrm{Co}(5^+)\to{}^{60}\mathrm{Ni}^*(4^+)+e^-+\bar\nu_e$ で、電子が核スピンと**逆向き**に優先的に出ることを見つけました。分布は $1+a\cos\theta$ で、$a\approx-v/c$ です。V−A の構造から、この符号と大きさは次のようにわかります。ここで鍵になるのは、粒子が進む向きに対してスピンがどちらを向いているか（ヘリシティ）で、質量ゼロなら、弱い力は「スピンが進行方向と逆向き」の粒子（左巻き）だけに作用します。反粒子はその逆で、スピンが進行方向と同じ向き（右巻き）のものだけに作用します。

<Definition id="def-chirality" title="カイラリティとヘリシティ">
ディラックスピノルの**左巻き成分**を $\psi_L=P_L\psi$、**右巻き成分**を $\psi_R=P_R\psi$ とする。$P_{L,R}=\tfrac12(1\mp\gamma^5)$。V−A 相互作用 $\bar\psi'\gamma^\mu(1-\gamma^5)\psi=2\,\bar\psi'\gamma^\mu P_L\psi$ は、**左巻きの成分だけ**が参加する（<Ref to="physics/qft/lorentz-poincare-wigner#def-weyl-dirac-spinors" text="ワイルスピノルとディラックスピノル" />）。質量ゼロの粒子ではカイラリティがヘリシティ（運動方向のスピン成分）に等しく、粒子は左巻き（ヘリシティ $-\tfrac12$）、反粒子は右巻き（ヘリシティ $+\tfrac12$）になる。
</Definition>

<Example id="ex-wu-experiment" title="$^{60}\mathrm{Co}$ の電子の角分布">
核のスピンを $z$ 方向に偏極させると $J_z=5$ で、崩壊後の $^{60}\mathrm{Ni}^*$ は $J=4$ です。スピン保存から、$e^-$ と $\bar\nu_e$ は合わせてスピン $J_z=+1$ を運び出す必要があります（軌道角運動量の寄与を無視。許容遷移）。最大の $J_z$ をもつには、2 つのレプトンのスピンがともに $+z$ を向きます。V−A により $e^-$ は左巻き（スピンと運動量が逆向き、$v\to c$）、$\bar\nu_e$ は右巻き（スピンと運動量が同じ向き）なので、$e^-$ は $-z$ へ、$\bar\nu_e$ は $+z$ へ放出されます。つまり電子は核スピンと逆向きに出て、$a=-1$（$v\approx c$）です。$v<c$ では有限のヘリシティ $-v/c$ だけ薄まり $a=-v/c$ となります。パリティが保存されるなら $a=0$ のはずでした（<Ref to="prop-parity-test" />）。
</Example>

<Figure caption="ウーの実験での向き（許容遷移、v≈c）。太い矢印が運動の向き、細い矢印がスピンの向き。核スピンは +z に偏極している。e⁻ は左巻きなので −z へ飛びスピンは +z、反ニュートリノは右巻きなので +z へ飛びスピンも +z。">
<svg viewBox="0 0 560 300" width="100%" role="img" aria-label="偏極した核から、電子が下向き、反ニュートリノが上向きに出る図。スピンはどちらも上向き">
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  <path d="M 280 150 L 280 70" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="4" marker-end="url(#wu-arrow)" />
  <path d="M 280 150 L 280 230" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="4" marker-end="url(#wu-arrow)" />
  <path d="M 340 55 L 340 25" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" marker-end="url(#wu-arrow-accent)" />
  <path d="M 340 275 L 340 245" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" marker-end="url(#wu-arrow-accent)" />
  <path d="M 220 150 L 220 118" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2" marker-end="url(#wu-arrow-accent)" />
  <g fill="currentColor" font-size="15">
    <text x="280" y="155" text-anchor="middle">核</text>
    <text x="300" y="62">反ν_e（右巻き）運動 +z</text>
    <text x="300" y="248">e⁻（左巻き）運動 −z</text>
    <text x="352" y="36">スピン +z</text>
    <text x="352" y="266">スピン +z</text>
    <text x="205" y="110" text-anchor="end">核スピン +z</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

次に、V−A の構造をはっきり示すのが、荷電パイ中間子の崩壊です。

<Theorem id="thm-pion-decay" title="$\pi^-\to\ell^-\bar\nu_\ell$ の崩壊率とヘリシティ抑制">
パイ中間子の崩壊定数 $f_\pi$（約 $130\,\mathrm{MeV}$）を、ハドロンの荷電カレントの真空–パイ中間子行列要素の大きさ $|\langle0|J^\mu_{\mathrm{had}}|\pi^-(p)\rangle|=f_\pi p^\mu$ で定義し、$V_{ud}$ を結合に含める。V−A 相互作用のもとで、$\pi^-\to\ell^-\bar\nu_\ell$（$\ell=e,\mu$、ニュートリノは質量ゼロ）の崩壊率は
$$
\Gamma(\pi\to\ell\nu)=\frac{G_F^2|V_{ud}|^2f_\pi^2}{8\pi}\,m_\pi\,m_\ell^2\Bigl(1-\frac{m_\ell^2}{m_\pi^2}\Bigr)^2
$$
であり、電子とミューオンの比は
$$
\frac{\Gamma(\pi\to e\nu)}{\Gamma(\pi\to\mu\nu)}=\frac{m_e^2}{m_\mu^2}\Bigl(\frac{m_\pi^2-m_e^2}{m_\pi^2-m_\mu^2}\Bigr)^2=1.28\times10^{-4}
$$
（最低次）である。
</Theorem>

<Proof of="thm-pion-decay">
ハドロンの部分は、パイ中間子が 1 つの 4 元ベクトル $p^\mu$ しか持たないことから $\langle0|J^\mu_{\mathrm{had}}|\pi(p)\rangle\propto f_\pi p^\mu$ の形になる（ローレンツ共変性とパリティ。$J^\mu_{\mathrm{had}}$ の軸性部分のみが寄与する）。レプトン側の流れと合わせて、振幅は $\mathcal M=\frac{G_F}{\sqrt2}V_{ud}f_\pi\,p_\mu\,\bar u(p_\ell)\gamma^\mu(1-\gamma^5)v(p_\nu)$ となる。$p=p_\ell+p_\nu$ を代入する。$\bar u(p_\ell)\not p_\ell=m_\ell\bar u(p_\ell)$ と、$\not p_\nu v(p_\nu)=0$（質量ゼロ）、$\gamma^5$ と $\not p_\nu$ の反可換性より
$$
\bar u\,\bigl(\not p_\ell+\not p_\nu\bigr)(1-\gamma^5)v=m_\ell\,\bar u(1-\gamma^5)v+\bar u(1+\gamma^5)\not p_\nu v=m_\ell\,\bar u(1-\gamma^5)v.
$$
したがって $\mathcal M\propto m_\ell$ である。スピン和は $\sum|\bar u(1-\gamma^5)v|^2=\mathrm{tr}[(\not p_\ell+m_\ell)(1-\gamma^5)\not p_\nu(1+\gamma^5)]=2\,\mathrm{tr}[(\not p_\ell+m_\ell)\not p_\nu(1+\gamma^5)]=8\,p_\ell\!\cdot\!p_\nu$。ここで $(1-\gamma^5)\not p_\nu(1+\gamma^5)=2\not p_\nu(1+\gamma^5)$ を使い、$\gamma^5$ や奇数個の $\gamma$ を含むトレースは $0$ とした。$p_\ell\!\cdot\!p_\nu=(m_\pi^2-m_\ell^2)/2$ だから $\sum|\mathcal M|^2=\frac{G_F^2}2|V_{ud}|^2f_\pi^2m_\ell^2\cdot4(m_\pi^2-m_\ell^2)$。崩壊幅は <Ref to="physics/particle-physics/hadrons-quark-model#prop-two-body-momentum" text="2 体崩壊の公式" /> $\Gamma=\dfrac{p^*}{8\pi m_\pi^2}\sum|\mathcal M|^2$ に $p^*=(m_\pi^2-m_\ell^2)/(2m_\pi)$ を入れて、主張の式を得る。比は $G_F,f_\pi,V_{ud}$ が共通で打ち消され、$m_e=0.511$、$m_\mu=105.66$、$m_\pi=139.57\,\mathrm{MeV}$ を入れると $(0.511/105.66)^2\times\bigl[(19479.8-0.26)/(19479.8-11164.0)\bigr]^2=2.339\times10^{-5}\times5.486=1.283\times10^{-4}$ である。
</Proof>

軽い電子への崩壊が、位相空間が大きいにもかかわらず $10^{-4}$ に抑えられる理由は、**ヘリシティ**で説明できます。パイ中間子は $\mathrm{spin}\ 0$ なので、$\ell^-$ と $\bar\nu_\ell$ は反対向きに出てスピンが互いに打ち消さなければなりません。V−A により $\bar\nu_\ell$ は右巻き（ヘリシティ $+\tfrac12$）で、したがって $\ell^-$ も同じヘリシティ $+\tfrac12$ でなければなりません。ところが V−A は左巻きカイラリティだけを結合させるので、質量ゼロの極限では右巻きヘリシティの $\ell^-$ は作れません。$m_\ell\ne0$ の分だけ、右巻きヘリシティの成分が $m_\ell/E$ の大きさで混ざるので、振幅が $m_\ell$ に比例します。もしレプトンの側に擬スカラー型の結合（$\bar\ell\gamma^5\nu$ の形）があれば、この抑制は起こりません。実測の比は $(1.230\pm0.004)\times10^{-4}$ で、最低次の予言との差は放射補正で説明されます。

## 4. 世代混合と CP 非保存

荷電カレントの結合 $W^+$ が $u$ 型クォークと $d$ 型クォークの間をつなぐとき、**質量が確定した状態**（質量固有状態）の組合せが、世代をまたいで結合します。質量行列を対角化するユニタリ変換が $u$ 型と $d$ 型で異なると、その不一致が混合行列として現れるのです。

<Definition id="def-ckm" title="CKM 行列と PMNS 行列">
$u$ 型クォーク $(u,c,t)$ と $d$ 型クォーク $(d,s,b)$ の質量固有状態に対し、荷電カレントは
$$
J^\mu_{\mathrm{CC}}=\sum_{i,j}\bar u_i\gamma^\mu(1-\gamma^5)\,V_{ij}\,d_j
$$
と書かれる。$3\times3$ のユニタリ行列 $V$ を **CKM 行列**（Cabibbo–小林–益川）という。レプトンでは、荷電レプトン $\ell_\alpha=(e,\mu,\tau)$ と質量固有状態のニュートリノ $\nu_i$ について $\sum_{\alpha,i}\bar\ell_\alpha\gamma^\mu(1-\gamma^5)U_{\alpha i}\nu_i$ とし、$U$ を **PMNS 行列**（Pontecorvo–牧–中川–坂田）という。ニュートリノのフレーバー状態は $\nu_\alpha=\sum_iU_{\alpha i}\nu_i$ である。
</Definition>

次の定理は、混合行列の中の数のうち「本当に観測にかかるもの」が何個あるかを数えるものです。クォーク場に位相をかけても質量項やほかの相互作用の形は変わらない（証明の中で確かめます）ので、その分だけ行列の成分の位相は見かけ上の自由度になります。これを引いた残りが、実験で決める必要のあるパラメータです。

<Remark id="rem-origin-of-mixing" title="混合行列の起源">
質量行列 $M_u,M_d$ を $M_u=U_u^{\,}D_uW_u^\dagger$、$M_d=U_dD_dW_d^\dagger$（$D$ は実対角、$U,W$ はユニタリ）と分解して質量固有状態に移ると、荷電カレントは $U_u^\dagger U_d$ を挟む形になります。したがって $V=U_u^\dagger U_d$ で、ユニタリです。$U$ の中の位相の一部は、クォーク場の位相の取り直しで消せますが、全部は消せないというのが次の定理です。
</Remark>

<Theorem id="thm-parameter-count" title="混合行列の物理的パラメータ数">
$n$ 世代の混合行列（$n\times n$ ユニタリ）のうち、場の位相の取り直しで変わらない独立なパラメータは $(n-1)^2$ 個で、その内訳は混合角 $\tfrac12n(n-1)$ 個と、複素位相 $\tfrac12(n-1)(n-2)$ 個である。特に $n=2$ では角 $1$ 個・位相 $0$ 個、$n=3$ では角 $3$ 個・位相 $1$ 個である。
</Theorem>

<Proof of="thm-parameter-count">
$n\times n$ のユニタリ行列は $n^2$ 個の実パラメータをもつ（$n^2$ 個の複素数 $2n^2$ に対し、$V^\dagger V=1$ が $n^2$ 個の実条件を課す）。$u$ 型の $n$ 個と $d$ 型の $n$ 個のクォーク場に、独立な位相 $u_i\to e^{i\phi_i}u_i$、$d_j\to e^{i\chi_j}d_j$ をかけても質量項とその他の相互作用は不変で、荷電カレントの係数だけが $V_{ij}\to e^{-i\phi_i}V_{ij}e^{i\chi_j}$ と変わる。$2n$ 個の位相のうち、すべてを等しく $c$ にとる変換（$\phi_i=\chi_j=c$）は $V$ を変えないので、独立に行列を変える位相は $2n-1$ 個である。したがって物理的パラメータは $n^2-(2n-1)=(n-1)^2$ 個。
そのうち、すべての成分を実数にしたとき（$V$ が実直交行列）の自由度は直交行列の次元 $\tfrac12n(n-1)$ で、これが混合角の数である（実の行列では位相の取り直しは符号の変更しかできず、角を変えない）。残りが複素位相の数で、$(n-1)^2-\tfrac12n(n-1)=\tfrac12(n-1)(n-2)$ である。
</Proof>

$n=2$ では位相が $0$ 個、つまり適当な位相の取り直しで $V$ を実直交行列（カビボ角 $\theta_C$ の回転）にできます。CP 変換は結合 $V_{ij}$ を $V_{ij}^*$ にするので、$V$ を実にできるなら CP は保存します。**CP 非保存には $n\ge3$ 世代が必要**だ、というのが小林と益川（1973）の洞察で、当時は $u,d,s$ と $c$ の 2 世代しか知られていませんでした。

<Theorem id="thm-jarlskog" title="Jarlskog 不変量">
$3\times3$ ユニタリ行列 $V$ について、位相の取り直しに依存しない量
$$
J_{\alpha\beta;ij}=\mathrm{Im}\bigl(V_{\alpha i}V_{\beta j}V_{\alpha j}^*V_{\beta i}^*\bigr)
$$
は、すべての $\alpha,\beta,i,j$ について共通の実数 $J$ を使って $J_{\alpha\beta;ij}=J\sum_{\gamma,k}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\epsilon_{ijk}$ と書ける。標準パラメータ化（混合角 $\theta_{12},\theta_{23},\theta_{13}$、位相 $\delta$）では
$$
J=c_{12}c_{23}c_{13}^2\,s_{12}s_{23}s_{13}\,\sin\delta
$$
（$s_{ij}=\sin\theta_{ij}$、$c_{ij}=\cos\theta_{ij}$）である。$J\ne0$ ならば、どんな位相の取り直しでも $V$ を実にできない（したがって CP は保存しない）。
</Theorem>

<Proof of="thm-jarlskog">
位相の取り直し $V_{\alpha i}\to e^{-i\phi_\alpha}V_{\alpha i}e^{i\chi_i}$ で、積 $V_{\alpha i}V_{\beta j}V^*_{\alpha j}V^*_{\beta i}$ は位相 $e^{-i\phi_\alpha+i\chi_i-i\phi_\beta+i\chi_j+i\phi_\alpha-i\chi_j+i\phi_\beta-i\chi_i}=1$ となり不変である。定義から $J_{\alpha\beta;ij}$ は $\alpha\leftrightarrow\beta$ と $i\leftrightarrow j$ のそれぞれについて反対称である（入れ替えると積が複素共役になる）。
ユニタリ性 $\sum_jV_{\beta j}V_{\alpha j}^*=\delta_{\alpha\beta}$ は、$\alpha\ne\beta$ では $0$ である。これに $V_{\alpha i}V^*_{\beta i}$ をかけると $\sum_jV_{\alpha i}V_{\beta j}V^*_{\alpha j}V^*_{\beta i}=0$ となり、虚部をとって $\sum_jJ_{\alpha\beta;ij}=0$ を得る（各 $i$ について）。$\alpha=\beta$ や $i=j$ では反対称性から $J=0$。
固定した $\alpha\ne\beta$ に対し、$A_{ij}=J_{\alpha\beta;ij}$ は $3\times3$ の反対称行列で各行の和が $0$ である。$A_{12}=a$、$A_{13}=b$、$A_{23}=c$ とおくと、第 1 行 $a+b=0$、第 2 行 $-a+c=0$ だから $b=-a$、$c=a$ で、$A_{ij}=a\sum_k\epsilon_{ijk}$ である（$A_{12}=A_{23}=A_{31}=a$）。同様に $i,j$ を固定して $\alpha,\beta$ について反対称で、和が $0$（$\sum_\beta J_{\alpha\beta;ij}=0$ はユニタリ性 $\sum_\beta V_{\beta j}V^*_{\beta i}=\delta_{ij}$ から）なので、$a$ 自身が $\alpha\beta$ について $a=J\sum_\gamma\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ の形になる。これが主張の前半である。
標準パラメータ化の成分は $V_{us}=s_{12}c_{13}$、$V_{ub}=s_{13}e^{-i\delta}$、$V_{cb}=s_{23}c_{13}$、$V_{cs}=c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{i\delta}$ で、$J=J_{uc;sb}=\mathrm{Im}(V_{us}V_{cb}V_{ub}^*V_{cs}^*)$ を計算する（順序を $\alpha=u$、$\beta=c$、$i=s$、$j=b$ ととる）。$V_{ub}^*=s_{13}e^{i\delta}$、$V_{cs}^*=c_{12}c_{23}-s_{12}s_{23}s_{13}e^{-i\delta}$ から積は $s_{12}s_{23}c_{13}^2s_{13}\bigl[c_{12}c_{23}e^{i\delta}-s_{12}s_{23}s_{13}\bigr]$ で、虚部は $c_{12}c_{23}s_{12}s_{23}c_{13}^2s_{13}\sin\delta$。最後に、$V$ を位相の取り直しで実にできれば、不変量 $J$ は実数の積の虚部で $0$ になる。対偶が主張の後半である。
</Proof>

<Example id="ex-ckm-j" title="CKM 行列の $J$">
実測値 $s_{12}=0.225$、$s_{23}=0.042$、$s_{13}=0.0037$、$\delta=1.14\,\mathrm{rad}$（$\sin\delta=0.91$）では、$c_{12}c_{23}c_{13}^2=0.974\times0.999\times1.000=0.973$ なので $J=0.973\times0.225\times0.042\times0.0037\times0.91=3.1\times10^{-5}$ です。位相 $\delta\approx65^\circ$ は大きいにもかかわらず、混合角が小さいため CP 非保存の大きさ $J$ は $3\times10^{-5}$ と小さくなります。角が最大のとき、$J$ は $1/(6\sqrt3)=0.096$ を超えられません。クォークの CP 非保存はこの値の $3\times10^{-4}$ 倍です。
</Example>

<Figure caption="ユニタリティ三角形。ユニタリ性 V_ud V_ub* + V_cd V_cb* + V_td V_tb* = 0 は複素平面上の三角形をなし、V_cd V_cb* で規格化すると頂点は (0,0)、(1,0)、(ρ̄, η̄) になる。規格化する前の三角形の面積は常に |J|/2。">
<svg viewBox="0 0 560 280" width="100%" role="img" aria-label="ユニタリティ三角形。底辺が長さ 1、頂点が (ρ̄, η̄) の三角形">
  <path d="M 90 230 L 450 230 L 150 100 Z" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="3" />
  <path d="M 60 230 L 520 230 M 90 250 L 90 40" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1" opacity="0.4" />
  <path d="M 130 230 A 40 40 0 0 0 106.8 193.7" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <path d="M 410 230 A 40 40 0 0 1 413.3 214.1" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" />
  <g fill="currentColor" font-size="15">
    <text x="78" y="248" text-anchor="end">(0, 0)</text>
    <text x="456" y="250">(1, 0)</text>
    <text x="150" y="88" text-anchor="middle">(ρ̄, η̄)</text>
    <text x="134" y="218">γ</text>
    <text x="388" y="224">β</text>
    <text x="158" y="124">α</text>
    <text x="270" y="270" text-anchor="middle">V_cd V_cb*（規格化した底辺 = 1）</text>
    <text x="102" y="152" text-anchor="end">V_ud V_ub*</text>
    <text x="322" y="148">V_td V_tb*</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

三角形の面積が $|J|/2$ になることは、辺 $z_1=V_{ud}V_{ub}^*$、$z_2=V_{cd}V_{cb}^*$ が $z_1+z_2+z_3=0$ を満たす三角形をなし、面積が $\tfrac12|\mathrm{Im}(z_1^*z_2)|$ であることと、$\mathrm{Im}(z_1^*z_2)=\mathrm{Im}(V_{ub}V_{cd}V_{ud}^*V_{cb}^*)=J_{uc;bd}$ が <Ref to="thm-jarlskog" /> により $\pm J$ に等しいことから従います。この三角形の 3 つの角 $\alpha,\beta,\gamma$ を B 中間子の崩壊で測定することで、CKM 行列が整合的か（三角形が閉じるか）が検証されています。

## 5. ニュートリノ振動

ニュートリノは、荷電レプトンと対になる**フレーバー**の状態 $\nu_e,\nu_\mu,\nu_\tau$ で生成・検出されますが、真空中を伝わるのは質量の定まった状態 $\nu_1,\nu_2,\nu_3$ です。両者の食い違い（<Ref to="def-ckm" /> の $U$）が、伝わる間にフレーバーが変わる**ニュートリノ振動**を生みます。

<Theorem id="thm-oscillation-probability" title="ニュートリノ振動の確率">
質量固有状態 $\nu_i$（質量 $m_i$）が同じ運動量で、超相対論的に（$E\gg m_i$）、距離 $L$ だけ伝わるとき、フレーバー $\alpha$ で生成された状態がフレーバー $\beta$ として検出される確率は
$$
P(\nu_\alpha\to\nu_\beta)=\delta_{\alpha\beta}-4\sum_{i>j}\mathrm{Re}\,W^{\alpha\beta}_{ij}\sin^2\Delta_{ij}+2\sum_{i>j}\mathrm{Im}\,W^{\alpha\beta}_{ij}\sin2\Delta_{ij}
$$
である。ここで $W^{\alpha\beta}_{ij}=U_{\beta i}U^*_{\alpha i}U^*_{\beta j}U_{\alpha j}$、$\Delta_{ij}=\dfrac{\Delta m^2_{ij}L}{4E}$、$\Delta m^2_{ij}=m_i^2-m_j^2$ である。反ニュートリノでは $U\to U^*$、すなわち虚部の項の符号が反転する。
</Theorem>

<Proof of="thm-oscillation-probability">
始状態 $|\nu_\alpha\rangle=\sum_iU^*_{\alpha i}|\nu_i\rangle$ （$\nu_\alpha=\sum_iU_{\alpha i}\nu_i$ の双対）の各成分は、距離 $L$ で位相 $e^{-i\phi_i}$、$\phi_i=E_iT-pL$ を得る。運動量 $p$ が共通なら $E_i=\sqrt{p^2+m_i^2}\simeq p+m_i^2/2p$ で、$T\simeq L$（超相対論的）、$E\simeq p$ とすると、$\phi_i\simeq m_i^2L/2E$ に（共通の位相を除いて）等しい。検出振幅は $\mathcal A_{\alpha\beta}=\langle\nu_\beta|\nu_\alpha(L)\rangle=\sum_iU_{\beta i}U^*_{\alpha i}e^{-i\phi_i}$ で、確率は $P=|\mathcal A|^2=\sum_{i,j}U_{\beta i}U^*_{\alpha i}U^*_{\beta j}U_{\alpha j}\,e^{-i(\phi_i-\phi_j)}$。$i=j$ の項と $i\ne j$ の項に分ける。$i>j$ のペアと $i<j$ のペアは互いに複素共役になるので、$W_{ij}=U_{\beta i}U^*_{\alpha i}U^*_{\beta j}U_{\alpha j}$ として
$$
P=\sum_i|U_{\alpha i}|^2|U_{\beta i}|^2+2\sum_{i>j}\mathrm{Re}\bigl[W_{ij}e^{-i\theta_{ij}}\bigr],\quad\theta_{ij}=\phi_i-\phi_j=\frac{\Delta m^2_{ij}L}{2E}=2\Delta_{ij}.
$$
$\mathrm{Re}[We^{-i\theta}]=\mathrm{Re}W\cos\theta+\mathrm{Im}W\sin\theta$ である。ユニタリ性 $\sum_iU_{\beta i}U^*_{\alpha i}=\delta_{\alpha\beta}$ の絶対値の 2 乗をとると $\delta_{\alpha\beta}=\sum_i|U_{\alpha i}|^2|U_{\beta i}|^2+2\sum_{i>j}\mathrm{Re}W_{ij}$ だから、第 1 項を $\delta_{\alpha\beta}-2\sum_{i>j}\mathrm{Re}W_{ij}$ に置き換えると、$\cos\theta-1=-2\sin^2(\theta/2)=-2\sin^2\Delta_{ij}$ から主張の式が出る。反ニュートリノの混合は $U$ の代わりに $U^*$ を使うので、$W\to W^*$ となり、$\mathrm{Im}W$ の符号だけが反転する。
</Proof>

<Corollary id="cor-two-flavor" title="2 世代の振動">
2 つのフレーバーが回転角 $\theta$ の実直交行列で混合するとき、$\alpha\ne\beta$ に対し
$$
P(\nu_\alpha\to\nu_\beta)=\sin^22\theta\,\sin^2\!\Bigl(\frac{\Delta m^2L}{4E}\Bigr)=\sin^22\theta\,\sin^2\!\bigl(1.267\,\Delta m^2[\mathrm{eV}^2]\,L[\mathrm{km}]/E[\mathrm{GeV}]\bigr).
$$
</Corollary>

<Proof of="cor-two-flavor">
$U=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$（実）では $W^{\alpha\beta}_{21}=U_{\beta2}U_{\alpha2}U_{\beta1}U_{\alpha1}$ が実で、$\alpha=e$、$\beta=\mu$ なら $U_{\mu2}U_{e2}U_{\mu1}U_{e1}=\cos\theta\cdot\sin\theta\cdot(-\sin\theta)\cdot\cos\theta=-\tfrac14\sin^22\theta$。<Ref to="thm-oscillation-probability" /> で虚部は $0$、$P=-4\cdot(-\tfrac14\sin^22\theta)\sin^2\Delta_{21}=\sin^22\theta\sin^2\Delta_{21}$。数係数は、$\hbar c=1.973\times10^{-16}\,\mathrm{GeV\,m}$ を使い、$\Delta m^2=1\,\mathrm{eV}^2=10^{-18}\,\mathrm{GeV}^2$、$L=1\,\mathrm{km}=10^3\,\mathrm m=5.068\times10^{18}\,\mathrm{GeV}^{-1}$ の組で $\Delta m^2L/(4E)=10^{-18}\times5.068\times10^{18}/4/E=1.267/E[\mathrm{GeV}]$ から出る。
</Proof>

<Example id="ex-oscillation-experiments" title="実験の数値">
大気ニュートリノ・加速器ニュートリノでは $|\Delta m^2_{32}|=2.5\times10^{-3}\,\mathrm{eV}^2$、$\sin^22\theta_{23}\approx1$ です。振動の第 1 極大は $1.267\Delta m^2L/E=\pi/2$ で、$E=1\,\mathrm{GeV}$ なら $L=496\,\mathrm{km}$。T2K 実験（$L=295\,\mathrm{km}$、ピークエネルギー $E=0.6\,\mathrm{GeV}$）では位相が $1.267\times2.5\times10^{-3}\times295/0.6=1.56\approx\pi/2$ で、ミューニュートリノの生き残りはほぼ $0$ です。原子炉ニュートリノ（$L=1.6\,\mathrm{km}$、$E=4\,\mathrm{MeV}$）では位相が $1.27$、$\sin^22\theta_{13}=0.086$ から欠損は $0.086\times\sin^2(1.27)=7.8\%$ で、Daya Bay などが約 $8\%$ の欠損を測定しました。
</Example>

質量二乗差 $\Delta m^2$ を動かすと、振動の周期がどう変わるかを見てみましょう。青い曲線が現れる位置（第 1 極大）に注目してください。

<Figure caption="2 世代の振動確率 $P(\nu_\mu\to\nu_\tau)=\sin^22\theta\,\sin^2(1.267\,\Delta m^2L/E)$（$E=1\,\mathrm{GeV}$、$\sin^22\theta=1$）。$\Delta m^2$ を $1\times10^{-3}$ から $5\times10^{-3}\,\mathrm{eV}^2$ へ増やすと、第 1 極大の距離が $L=\pi E/(2\cdot1.267\,\Delta m^2)$ に従って縮む。破線は $2.5\times10^{-3}\,\mathrm{eV}^2$（第 1 極大 $496\,\mathrm{km}$）。">
<img src="/figures/neutrino-oscillation-dm2.gif" alt="距離 L に対するミューニュートリノの転換確率の曲線。質量二乗差を小さい値から大きい値へ動かすと、波の周期が縮み、第 1 極大の位置が 1240 km から 248 km へ近づいていく。" loading="lazy" />
</Figure>

3 世代では、虚部の項が CP 非保存を担います。

<Corollary id="cor-cp-asymmetry" title="ニュートリノの CP 非対称度">
3 世代の振動で $\alpha\ne\beta$ のとき、ニュートリノと反ニュートリノの振動確率の差は
$$
P(\nu_\alpha\to\nu_\beta)-P(\bar\nu_\alpha\to\bar\nu_\beta)=16\,J\sum_\gamma\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\;\sin\Delta_{21}\sin\Delta_{32}\sin\Delta_{31}
$$
である（$J$ は <Ref to="thm-jarlskog" /> を $V=U$ に適用したもの）。
</Corollary>

<Proof of="cor-cp-asymmetry">
<Ref to="thm-oscillation-probability" /> により、差は $4\sum_{i>j}\mathrm{Im}W_{ij}\sin2\Delta_{ij}$ である。$W_{ij}=U_{\alpha j}U_{\beta i}U^*_{\alpha i}U^*_{\beta j}$ は <Ref to="thm-jarlskog" /> の積の $i\leftrightarrow j$ を入れ替えたもの、すなわち $\mathrm{Im}W_{ij}=J_{\alpha\beta;ji}=-J\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\epsilon_{ijk}$ である。組 $(i,j)=(2,1),(3,1),(3,2)$ について $\epsilon_{ijk}$ は $\epsilon_{213}=-1$、$\epsilon_{312}=+1$、$\epsilon_{321}=-1$ だから、$\sum_{i>j}\mathrm{Im}W_{ij}\sin2\Delta_{ij}=J\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\bigl[\sin2\Delta_{21}-\sin2\Delta_{31}+\sin2\Delta_{32}\bigr]$。$\Delta_{31}=\Delta_{21}+\Delta_{32}$ なので、$a=\Delta_{21}$、$b=\Delta_{32}$ として $\sin2a+\sin2b-\sin2(a+b)=4\sin a\sin b\sin(a+b)$（和積公式から。$\sin2a+\sin2b=2\sin(a+b)\cos(a-b)$、$\sin2(a+b)=2\sin(a+b)\cos(a+b)$ で、差は $2\sin(a+b)[\cos(a-b)-\cos(a+b)]=4\sin(a+b)\sin a\sin b$）。ゆえに差は $4J\epsilon\cdot4\sin\Delta_{21}\sin\Delta_{32}\sin\Delta_{31}$ である。
</Proof>

したがって、ニュートリノの CP 非保存を測るには $J\ne0$ のほかに、3 つの質量二乗差がすべて非零で、$\Delta_{ij}$ がどれも小さすぎないことが要ります。レプトンの混合角（$\sin^2\theta_{12}=0.307$、$\sin^2\theta_{23}\approx0.55$、$\sin^2\theta_{13}=0.022$）では $J$ の最大値は <Ref to="thm-jarlskog" /> の式で $c_{12}s_{12}c_{23}s_{23}c_{13}^2s_{13}=0.033$ となり、クォークの $3\times10^{-5}$ より 3 桁大きく、$\delta$ が大きければ CP 非保存の効果が大きいことが期待されます（現在の実験で $\delta$ を測定中です）。

### 5.1. 物質中の振動

太陽や地球の内部を通るニュートリノは、電子から前方散乱を受けます。$\nu_e$ だけが荷電カレントで電子と相互作用できるので（$\nu_\mu,\nu_\tau$ は中性カレントのみで、これは 3 つの世代に共通な位相として落ちる）、ポテンシャル $V=\sqrt2G_FN_e$（$N_e$ は電子数密度）が $\nu_e$ のみに加わります。ヴォルフェンシュタイン（1978）が指摘しました。この値は、4 点相互作用 <Ref to="def-fermi-interaction" /> をフィアツ（Fierz）変換で $[\bar\nu_e\gamma^\mu(1-\gamma^5)\nu_e][\bar e\gamma_\mu(1-\gamma^5)e]$ の形に書き換え、電子の背景について平均すると、静止した非偏極の電子では $\langle\bar e\gamma^\mu e\rangle=N_e\delta^{\mu0}$ のみが残ることから導かれます（Fierz 変換は <Ref to="physics/qft/anomalies#thm-fierz-v-a" />、この平均の計算は <Ref to="physics/qft/anomalies#ex-msw-potential" />）。数値は $V=7.63\times10^{-14}\,\mathrm{eV}\times(\rho/\mathrm{g\,cm^{-3}})Y_e$ です。

<Theorem id="thm-msw" title="2 世代の物質中の混合（MSW 効果）">
2 つのフレーバー $(\nu_e,\nu_x)$ が、真空の質量二乗差 $\Delta m^2=m_2^2-m_1^2$、混合角 $\theta$ で混合し、電子数密度 $N_e$ が一定の物質中を伝わるとする。$A=2EV/\Delta m^2$（$V=\sqrt2G_FN_e$）と定めると、物質中の質量固有状態は混合角 $\theta_m$ と質量二乗差 $\Delta m^2_m$：
$$
\tan2\theta_m=\frac{\sin2\theta}{\cos2\theta-A},\qquad\Delta m^2_m=\Delta m^2\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}
$$
をもつ。$A=\cos2\theta$ のとき $\sin^22\theta_m=1$（**共鳴**）で、$\Delta m^2_m$ は最小になる。
</Theorem>

<Proof of="thm-msw">
フレーバー基底での時間発展のハミルトニアンは、真空では質量行列から $H_{\mathrm{vac}}=\dfrac1{2E}U\,\mathrm{diag}(m_1^2,m_2^2)\,U^{\mathsf T}$、$U=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\-\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ で、定数項を除いて $H_{\mathrm{vac}}=\dfrac{\Delta m^2}{4E}\begin{pmatrix}-\cos2\theta&\sin2\theta\\\sin2\theta&\cos2\theta\end{pmatrix}$（$(1,1)$ 成分は $\frac1{2E}(m_1^2\cos^2\theta+m_2^2\sin^2\theta)=\frac{m_1^2+m_2^2}{4E}-\frac{\Delta m^2}{4E}\cos2\theta$ から）。物質のポテンシャルは $\mathrm{diag}(V,0)=\frac V2+\frac V2\sigma_3$ で、$\frac V2=\frac{\Delta m^2}{4E}A$ なので、単位行列に比例する部分を除いて
$$
H=\frac{\Delta m^2}{4E}\Bigl[(A-\cos2\theta)\,\sigma_3+\sin2\theta\,\sigma_1\Bigr]
$$
（$\sigma_{1,3}$ はパウリ行列）。<Ref to="mathematics/linear-algebra/spectral-theorem#thm-spectral" text="エルミート行列のスペクトル定理" /> により、この実対称行列は回転で対角化され、固有値は $\pm\frac{\Delta m^2}{4E}\sqrt{(A-\cos2\theta)^2+\sin^22\theta}$ で、差が $\frac{\Delta m^2_m}{2E}$ に等しい。回転角 $\theta_m$ は $H\propto-\cos2\theta_m\sigma_3+\sin2\theta_m\sigma_1$ の形から $\cos2\theta_m=\dfrac{\cos2\theta-A}{\sqrt{(\cos2\theta-A)^2+\sin^22\theta}}$、$\sin2\theta_m=\dfrac{\sin2\theta}{\sqrt{\cdots}}$ と決まり、$\tan2\theta_m$ の式を得る。$A=\cos2\theta$ では $\cos2\theta_m=0$ である。
</Proof>

<Example id="ex-solar-msw" title="太陽ニュートリノ">
太陽の中心では $\rho\approx150\,\mathrm{g\,cm^{-3}}$、$Y_e\approx0.67$ で $V=7.7\times10^{-12}\,\mathrm{eV}$ です。エネルギー $E=10\,\mathrm{MeV}$ の $^8\mathrm B$ ニュートリノでは、$\Delta m^2_{21}=7.4\times10^{-5}\,\mathrm{eV}^2$ から $A=2\times10^7\times7.7\times10^{-12}/7.4\times10^{-5}=2.1$ です。$\sin^2\theta_{12}=0.307$ では $\cos2\theta=0.39$、$\sin2\theta=0.92$ なので $\tan2\theta_m=0.92/(0.39-2.1)=-0.54$、$\theta_m=76^\circ$ となり、$\nu_e$ はほぼ純粋に $\nu_2$ の物質中の固有状態（$\sin^2\theta_m=0.94$）として生成されます。密度がゆっくり変わる（断熱）なら、固有状態の成分は変わらないまま太陽の表面に出て真空の固有状態につながるので、地球に届いて $\nu_e$ として検出される確率は $\cos^2\theta\cos^2\theta_m+\sin^2\theta\sin^2\theta_m=0.693\times0.06+0.307\times0.94=0.33$ です（振動の位相が平均されるとして）。観測された $^8\mathrm B$ ニュートリノの $\nu_e$ の割合 $\approx0.3$〜$0.35$ とよく合います。真空振動の予想値 $1-\tfrac12\sin^22\theta=0.58$ ではこの欠損は説明できません。
</Example>

<Remark id="rem-neutrino-mass" title="ニュートリノの質量">
振動が起こるには $\Delta m^2\ne0$、つまり少なくとも 2 つのニュートリノが質量をもたねばなりません。素粒子の標準模型（第 4 章）のニュートリノは質量ゼロなので、振動の発見（スーパーカミオカンデ 1998、SNO 2001）は標準模型を超える最初の確かな実験的証拠になりました。振動は質量二乗の**差**しか与えないため、質量そのものの尺度は β 崩壊のスペクトルの端点（<Ref to="prop-beta-spectrum" /> のクーリー・プロットの曲がり）や宇宙論で測られ、上限は eV の桁以下です。質量項が、ディラック型（右巻きニュートリノを導入）かマイオラナ型（ニュートリノ＝反ニュートリノ）かは、ニュートリノを出さない二重 β 崩壊の探索で決まります。
</Remark>

## 6. 演習

<Exercise id="exr-pion-lifetime" difficulty="標準">
<Ref to="thm-pion-decay" /> の式を使って $\pi^+\to\mu^+\nu_\mu$ の崩壊幅から $\pi^+$ の寿命を見積もれ。$G_F=1.1664\times10^{-5}\,\mathrm{GeV}^{-2}$、$|V_{ud}|=0.974$、$f_\pi=130.4\,\mathrm{MeV}$、$m_\pi=139.57\,\mathrm{MeV}$、$m_\mu=105.66\,\mathrm{MeV}$、$\hbar=6.582\times10^{-25}\,\mathrm{GeV\,s}$。（$\pi\to\mu\nu$ が分岐比 $99.99\%$ を占める。）
<Solution>
$G_F^2|V_{ud}|^2f_\pi^2/(8\pi)=1.3605\times10^{-10}\times0.9487\times0.017004/25.133=8.73\times10^{-14}\,\mathrm{GeV}^{-2}$。$m_\pi m_\mu^2=0.13957\times0.011164=1.558\times10^{-3}\,\mathrm{GeV}^3$、$(1-m_\mu^2/m_\pi^2)^2=(1-0.5731)^2=0.1822$。積は $8.73\times10^{-14}\times1.558\times10^{-3}\times0.1822=2.48\times10^{-17}\,\mathrm{GeV}$。寿命は $\tau=6.582\times10^{-25}/2.48\times10^{-17}=2.65\times10^{-8}\,\mathrm s$。実測 $2.60\times10^{-8}\,\mathrm s$ とよく合う。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-baseline" difficulty="易">
$\Delta m^2_{32}=2.5\times10^{-3}\,\mathrm{eV}^2$、$\sin^22\theta_{23}=1$ のとき、$E=2\,\mathrm{GeV}$ のミューニュートリノが $L=1000\,\mathrm{km}$ 飛んだ後の生き残り確率を求めよ。
<Solution>
位相は $1.267\times2.5\times10^{-3}\times1000/2=1.584$。$\sin^2(1.584)=0.9999$ に近く、$P(\nu_\mu\to\nu_\mu)=1-1\times0.9999\approx0$。（ほぼ完全に $\nu_\tau$ に変わる。）
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-four-generations" difficulty="標準">
4 世代の混合行列の混合角と位相の数を <Ref to="thm-parameter-count" /> から求めよ。また 2 世代では $V$ を位相の取り直しで実直交行列にできることを、成分を使って示せ。
<Solution>
$n=4$: 角 $\tfrac12\cdot4\cdot3=6$ 個、位相 $\tfrac12\cdot3\cdot2=3$ 個（物理パラメータ合計 $9=(4-1)^2$）。$n=2$: $V=\begin{pmatrix}V_{11}&V_{12}\\V_{21}&V_{22}\end{pmatrix}$ をユニタリとして、$u$ 型の位相 $\phi_1,\phi_2$ と $d$ 型の位相 $\chi_1,\chi_2$ で行を $e^{-i\phi_i}$、列を $e^{i\chi_j}$ 倍できる。第 1 行と第 1 列の成分を実正にするように $\phi_1,\chi_1$ を取り、第 2 行を $\phi_2$ で調整して $V_{21}$ を実にする。ユニタリ性（行の直交性）から第 2 列の成分は $(V_{12},V_{22})=(\sin\theta,\cos\theta)e^{i\chi}$ の形に固定され、$\chi_2$ で位相を消すと実の回転行列になる。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-jarlskog-compute" difficulty="易">
標準パラメータ化で、$\theta_{12}=13.0^\circ$、$\theta_{23}=2.4^\circ$、$\theta_{13}=0.21^\circ$、$\delta=65^\circ$ のとき $J$ を求めよ。
<Solution>
$s_{12}=0.225$、$c_{12}=0.974$、$s_{23}=0.0419$、$c_{23}=0.9991$、$s_{13}=0.00367$、$c_{13}^2=1.0000$、$\sin65^\circ=0.906$。$J=0.974\times0.9991\times1.0\times0.225\times0.0419\times0.00367\times0.906=3.05\times10^{-5}$。
</Solution>
</Exercise>

## 参考文献

- David Griffiths, *Introduction to Elementary Particles*, 2nd ed., Wiley-VCH, 2008 — 弱い相互作用の章（ミューオン崩壊の計算、CKM 行列、ニュートリノ振動）。
- Carlo Giunti and Chung W. Kim, *Fundamentals of Neutrino Physics and Astrophysics*, Oxford University Press, 2007 — 振動の一般公式と物質効果。
- C. S. Wu et al., "Experimental Test of Parity Conservation in Beta Decay", *Phys. Rev.* 105 (1957), 1413–1415。
- M. Kobayashi and T. Maskawa, "CP-Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction", *Prog. Theor. Phys.* 49 (1973), 652–657。
- Z. Maki, M. Nakagawa and S. Sakata, "Remarks on the Unified Model of Elementary Particles", *Prog. Theor. Phys.* 28 (1962), 870–880。
- L. Wolfenstein, "Neutrino oscillations in matter", *Phys. Rev. D* 17 (1978), 2369–2374。