# 松原形式と有限温度 Green 関数：KMS 条件・Lehmann 表示・Luttinger–Ward 汎関数・Luttinger の定理
> 有限自由度のフェルミオン系で虚時間 Green 関数の反周期性を KMS 条件から導き、Lehmann 表示、松原和の留数公式、自己エネルギーの符号を証明する。Luttinger–Ward 汎関数の停留性と、仮定を明示した Luttinger の定理を扱う。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/many-fermion-systems/matsubara-green-functions
## 0. この記事の要点
温度のある環境に多数の電子がいるとき、「電子を 1 個加えたら、その影響が時間とともにどう広がるか」を表す関数が、系の性質を調べる基本の道具になります。この記事では、時間を虚数にして考える方法（松原形式）でその関数を定義し、温度のある系の対称性がトレースの巡回性という簡単な性質から出てくることを確かめます。読み終えると、この関数の和を留数で計算する方法と、電子の数が占有された運動量の領域の大きさで決まるという Luttinger の定理が、どこまで証明でき、どこから仮定になるかが分かります。
- 有限自由度のフェルミオン系の Gibbs 状態で、虚時間 Green 関数 $G(\tau)=-\langle\mathrm T\,c(\tau)c^*\rangle$ を定義し、$G(\tau-\beta)=-G(\tau)$（反周期性）が [KMS 条件](/mathematics/operator-algebras/kms-states#def-kms-state)、すなわちトレースの巡回性そのものであることを示します。反周期性から周波数は奇数の松原周波数 $\omega_n=(2n+1)\pi/\beta$ に限られます。
- Lehmann 表示 $G(i\omega_n)=\int\rho(dE)/(i\omega_n-E)$ を証明します。$\rho$ は全質量が単位行列の正値な行列値測度で、そこから $G(\bar z)=G(z)^*$、上半平面で $\operatorname{Im}G\lt 0$、高周波展開 $G(z)=z^{-1}+M_1z^{-2}+\cdots$ が従います。
- 松原和 $\beta^{-1}\sum_ng(i\omega_n)$ を、Fermi 分布 $n_F(z)=1/(e^{\beta z}+1)$ の極を使った[留数](/mathematics/complex-analysis/residue-theorem#def-residue)の和に書き換える公式を、積分路の評価まで含めて証明します。
- 自己エネルギー $\Sigma=G_0^{-1}-G^{-1}$ は上半平面で $\operatorname{Im}\Sigma\le0$ を満たし、高周波極限は Hartree–Fock 項です。証明の鍵は正値写像の Kadison–Schwarz 型不等式です。
- Luttinger–Ward 汎関数を、正則化した $\operatorname{Tr}\log$ と 2 粒子既約部分 $\Phi$ の和として定義し、その停留条件が Dyson 方程式と同値であること、自由系では大分配関数を正確に与えることを証明します。
- Luttinger の定理（粒子密度 = Fermi 面の囲む体積）を、自己エネルギーの連続性と Luttinger–Ward 恒等式を**仮定**として明示したうえで証明し、原子極限の Mott 絶縁体で仮定が破れる様子を見ます。
## 1. 動機
有限温度の多体系では、物理量は Gibbs 状態 $\omega_\beta(A)=\operatorname{Tr}(e^{-\beta K}A)/Z$ の期待値です。$e^{-\beta K}$ を「虚時間 $\beta$ の時間発展」とみなすと、摂動論は実時間の場合と同じ形の Dyson 級数になり、しかも虚時間の区間は有限 $[0,\beta]$ です。これが松原形式の出発点です。区間が有限なので、Green 関数は Fourier 級数で表され、周波数は離散的な松原周波数になります。
場の理論の教科書では、松原形式は形式的な規則の集まりとして導入されることが多く、「虚時間の反周期性」「松原和の公式」「解析接続」の根拠が見えにくくなっています。本章では、有限自由度（有限格子）の系に限って、これらを Gibbs 状態の性質として証明します。有限次元では KMS 条件（