# 朝永–Luttinger 模型とボソン化：頂点作用素の公式・Lieb–Mattis の厳密解・異常を含む Ward 恒等式・異常次元・Coleman 対応
> カイラル・フェルミオンの場を Heisenberg 代数の頂点作用素で表す公式を証明し、朝永–Luttinger 模型を Bogoliubov 変換で厳密に対角化する。Schwinger 項から来る異常を含む Ward 恒等式、2 点関数の異常次元、自由点での Coleman 対応を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/many-fermion-systems/luttinger-liquids-bosonization
## 0. この記事の要点
細い線の中に電子が一列に並んでいる、という 1 次元の系を考えます。1 次元では電子どうしが互いを避けて通れないため、1 個の電子が動くと必ず列全体が動き、低いエネルギーの動きは「密度の波」（音波のようなもの）として現れます。この記事は、その波をボソンという別の粒子とみなす書き換え（ボソン化）で相互作用する電子の模型を厳密に解き、相互作用があると電子の相関が距離とともに普通とは違うべきで減衰することを、計算で示します。
- 円周上のカイラル・フェルミオンの母関数 $\psi(z)=\sum_k\psi_kz^{-k-1/2}$ は、密度ゆらぎが作る Heisenberg 代数（ボソンの生成消滅作用素と同じ型の交換関係を持つ作用素の組） $[\alpha_m,\alpha_n]=m\delta_{m+n,0}$ と電荷をずらす作用素 $R$ を使って $\psi(z)=R^{-1}z^{-\mathcal Q}\exp(-\sum_{n\ge1}\alpha_{-n}z^n/n)\exp(\sum_{n\ge1}\alpha_nz^{-n}/n)$ と書けます（ボソン化公式）。証明は「同じ交換関係を満たし、最高ウェイトベクトル（消滅側の $\alpha_n$（$n\ge1$）で消えるベクトル）上で一致する 2 つの級数は等しい」という一意性の議論です。
- 右向き・左向きのフェルミオンが密度どうしで相互作用する朝永–Luttinger 模型は、ボソンで書くと運動量ごとの 2 モードの 2 次形式になり、[Bogoliubov 変換](/physics/fock-space/bogoliubov-transformations#def-bogoliubov-transformation)で厳密に対角化されます（Mattis–Lieb）。[基底状態](/physics/fock-space/nelson-spin-boson#def-ground-state)は 2 モードのスクイーズド真空（粒子を対にして重ね合わせた状態）の積で、励起は速度 $v_s=\sqrt{v_Nv_J}$ のボソンです。
- 密度の[交換子](/physics/quantum-mechanics/operators-and-observables#def-commutator)に現れる Schwinger 項（$c$-数。作用素ではなく単なる数として残る部分で、[spin-boson・Kondo 模型](/physics/open-quantum-systems/spin-boson-kondo)の章の異常交換関係に当たります）のため、カイラル密度 $\rho_\pm$ は相互作用のもとで保存せず、$[H,\rho_+(n)]=n((1+\mu_n)\rho_+(n)+\lambda_n\rho_-(n))$ という異常を含む Ward 恒等式が成り立ちます。ここから $v_N,v_J$ の和則と Luttinger パラメータ $K=\sqrt{v_J/v_N}$（相互作用の強さを表す無次元の数で、相互作用がなければ $1$）が出ます。
- 基底状態の運動量分布の母関数を Laguerre 多項式の母関数で厳密に計算し、相互作用が $n\le\Lambda$ のモードで一定のとき 2 点関数（2 か所の場の積の平均）が $\Lambda^{-\eta}|2\sin(y/2)|^{-1-\eta}$ のように振る舞うこと、すなわち異常次元 $\eta=\frac{K+K^{-1}}2-1$（$K$ は Luttinger パラメータ） を持つことを証明します。
- 頂点作用素の Coulomb 気体公式から、自由な Dirac フェルミオンの質量項の相関関数が $\beta^2=4\pi$ の sine-Gordon の頂点作用素の相関関数と一致することを示します（自由点での Coleman 対応）。一般の結合での対応 $\beta^2/4\pi=K$ は主張として述べます。Coleman 対応とは、質量のある Thirring 模型（フェルミオンの模型）と sine-Gordon 模型（ボソン場の模型）が同じ理論の 2 通りの書き方だという対応のことです。
## 1. 動機
1 次元の電子系では、Fermi 面が 2 点（$\pm k_F$）しかなく、その近くの低エネルギー励起は粒子・正孔対に限られます。朝永（1950）は、粒子・正孔対の生成消滅作用素が近似的にボソンの交換関係を満たすことに気づき、密度ゆらぎを音波のように扱いました。Luttinger（1963）は分散を厳密に線形にした模型を提案して厳密に解いたと考えましたが、負のエネルギーの状態をすべて埋めた「Dirac の海」の扱いに誤りがあり、Mattis と Lieb（1965）が正しい解を与えました。誤りの核心は、密度ゆらぎの交換子が素朴な計算では $0$ になるのに、海を正しく数えると $c$-数が残ることでした。[spin-boson・Kondo 模型](/physics/open-quantum-systems/spin-boson-kondo)の章で証明した密度ゆらぎの異常交換関係（