# Jordan–Wigner 変換と Bethe 仮説：XY 鎖の自由フェルミオン解と XXZ 鎖の座標 Bethe 仮説
> 周期境界の XY 鎖を Jordan–Wigner 変換でパリティごとの 2 次フェルミオン系に直し、Fourier 変換と 2×2 の Bogoliubov 変換で全スペクトルを求める。XXZ 鎖では座標 Bethe 仮説の波動関数が固有ベクトルになることと Bethe 方程式を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/many-fermion-systems/jordan-wigner-bethe
## 0. この記事の要点
小さな磁石（スピン）が一列に並んだ鎖は、隣どうしが相互作用するだけの単純な模型でも、$L$ 個のスピンの状態が $2^L$ 通りあるので、そのまま計算するのは困難です。この記事は、鎖の上のスピンを「粒子」と読み替える Jordan–Wigner 変換で計算を簡単にできる場合（XY 鎖）と、粒子どうしが衝突しても 2 体の衝突の積だけで状態が書ける場合（XXZ 鎖の Bethe 仮説）の 2 つの厳密解を扱います。読み終えると、$2^L$ 個の固有値を $2\times2$ 行列の対角化から求める手順と、Bethe 方程式が出てくる理由が分かります。
- スピン $\frac12$ の鎖の Jordan–Wigner 変換 $a_j=\sigma^z_1\cdots\sigma^z_{j-1}\sigma^+_j$ で、隣接する 2 サイトの $\sigma^\pm\sigma^\mp$、$\sigma^\pm\sigma^\pm$ はフェルミオンの 2 次式になります。周期境界の結合だけは、フェルミオン数のパリティ $P=(-1)^N$ を掛けた形になり、$P=+1$ の部分空間では反周期、$P=-1$ では周期の境界条件の自由フェルミオンになります。
- XY 鎖 $-\sum_j[\frac{1+\gamma}2\sigma^x_j\sigma^x_{j+1}+\frac{1-\gamma}2\sigma^y_j\sigma^y_{j+1}]-h\sum_j\sigma^z_j$ を、Fourier 変換と運動量 $\pm k$ の 2×2 の [Bogoliubov 変換](/physics/fock-space/bogoliubov-transformations#def-bogoliubov-transformation)（粒子と正孔の生成・消滅演算子を混ぜて対角化する変換）で対角化し、$2^L$ 個の固有値をすべて $E_k=2\sqrt{(h-\cos k)^2+\gamma^2\sin^2k}$ とパリティの制約で書き表します（Lieb–Schultz–Mattis）。横磁場 Ising 模型では $h=1$ でギャップが閉じます。
- XXZ 鎖 $\sum_j[S^x_jS^x_{j+1}+S^y_jS^y_{j+1}+\Delta(S^z_jS^z_{j+1}-\frac14)]$ は下向きスピンの数 $M$ を保ちます。Jordan–Wigner 変換では最近接の密度相互作用を持つフェルミオン系で、$\Delta=0$ だけが自由です。
- 座標 Bethe 仮説：波動関数 $\psi(x_1,\dots,x_M)=\sum_{P\in S_M}A(P)\exp(i\sum_jk_{P(j)}x_j)$ の係数を 2 体の散乱振幅 $S(k,k')$ の積で決めると、どんなに多くの下向きスピンが隣り合っても固有方程式が満たされることを、「隣接条件」が 2 体ごとに分解することから証明します。周期境界条件は Bethe 方程式 $e^{ik_aL}=\prod_{b\ne a}S(k_a,k_b)$ に同値です。
- $\Delta=0$ では $S=-1$ で Bethe 仮説が [Slater 行列式](/physics/quantum-mechanics-2/identical-particles#def-slater-determinant)に戻り、境界条件 $e^{ikL}=(-1)^{M-1}$ が Jordan–Wigner のパリティの規則と一致します。Bethe ベクトルの完全性は主張にとどめます。
## 1. 動機
[前章](/physics/many-fermion-systems/luttinger-liquids-bosonization)の朝永–Luttinger 模型は、分散を線形にした連続模型でした。格子の上で厳密に解ける 1 次元の量子多体系としては、スピン鎖が代表的です。スピン鎖とフェルミオン系を行き来する道具が Jordan–Wigner 変換で、[フェルミオン Fock 空間](/physics/fock-space/fermion-fock-space)の章で開いた鎖の XX 模型に使いました（