# Hubbard 模型の厳密な結果：Lieb の定理・Nagaoka–Thouless の強磁性・正準経路による Dirichlet 形式の比較
> 有限格子上の Hubbard 模型について、引力模型の基底状態の一意性、半充填の斥力模型の全スピン ||A|−|B||/2（Lieb の定理）、U=∞ で正孔 1 個の強磁性（Nagaoka–Thouless の定理）を証明し、正準経路でギャップを下から評価する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/many-fermion-systems/hubbard-nagaoka
## 0. この記事の要点
電子がたくさん集まった結晶では、電子どうしが反発し合いながら格子の上を飛び移ります。この記事は、そのような系で「磁石になるか、ならないか」を、近似に頼らず証明で決める話です。結論だけ先に言えば、格子の形と電子の数によっては、電子のスピンが自然にそろう（強磁性）ことも、決まった大きさで打ち消し合うことも厳密に示せます。読み終えると、その結論と、証明の要になる「符号がそろえば基底状態は 1 つ」という考え方が分かります。
- 有限グラフ $\Lambda$ 上の [Hubbard 模型](/physics/condensed-matter/magnetism#def-hubbard) $H=\sum_{\sigma}\sum_{x,y}t_{xy}c_{x\sigma}^*c_{y\sigma}+\sum_xU_xn_{x\uparrow}n_{x\downarrow}$ を、上向き・下向きの Slater 基底（電子がどのサイトにいるかを指定した基本の状態）で「行列 $W$ に作用する写像」として書き直します。波動関数が行列になることが、以下の証明すべての出発点です。
- 引力 $U_x<0$ のとき、偶数 $N$ 個の電子の基底状態は一意で全スピン $0$ です（Lieb）。証明は、エルミート行列 $W$ をその絶対値 $|W|$ に置き換えてもエネルギーが下がらないこと（スピン空間の鏡映正値性。符号がそろう性質を行列の言葉で保つ仕組みです）と、ホッピングと占有数が生成する代数の既約性（それらの行列が、空間を分けて閉じ込めることがないという性質）です。
- 2 部グラフ（頂点を A と B に分けて、辺が必ず A と B をまたぐようにできるグラフ）$\Lambda=A\sqcup B$ 上の斥力模型 $U>0$ は、下向きスピンだけの粒子正孔変換で引力模型に写ります。これにより半充填 $N=|\Lambda|$ の基底状態は全スピン $S=\bigl||A|-|B|\bigr|/2$ の多重項ただ 1 つであることが従います（Lieb の定理）。Lieb 格子では強磁性的な巨視的スピンが現れます。
- $U=\infty$ で正孔が 1 個のとき、$t_{xy}\ge0$ と「正孔の運動による配置の連結性」のもとで、基底状態は全スピン最大 $(|\Lambda|-1)/2$ の多重項だけです（Nagaoka–Thouless）。符号 $t_{xy}\ge0$ が本質的であることを三角形で確かめます。
- Dirichlet 形式（グラフ上の関数の「でこぼこ」を測る量）の比較定理を Cauchy–Schwarz 1 回で証明し、正準経路による Poincaré 不等式（でこぼこの量から分散を抑える不等式）を導きます。正則格子の Nagaoka 模型では、強磁性多重項の上のギャップがこの方法で下から評価できます。
## 1. 動機
### 1.1. この巻の見通し
この巻（格子フェルミオンの多体理論）は、格子上のフェルミオン多体系について**証明できること**をまとめます。章の並びは次のとおりです。
| 章 | 主題 | 主な道具 |
|---|---|---|
| 本章 | Hubbard 模型の基底状態の磁性 | 行列表示、鏡映正値性、Perron–Frobenius |
| 松原形式 | 有限温度の Green 関数、Luttinger–Ward 汎関数 | 虚時間、KMS 条件、松原和 |
| BCS 汎関数 | 超伝導の臨界温度 | 変分法、Birman–Schwinger 原理 |
| 多重尺度解析 | 相互作用するフェルミオンの摂動級数の収束 | Grassmann 積分、Gram–Hadamard 評価、森公式 |
| 朝永–Luttinger 模型 | 1 次元の厳密解とボソン化 | Schwinger 項、Bogoliubov 変換 |
| Jordan–Wigner と Bethe 仮説 | 1 次元スピン鎖の厳密解 | 自由フェルミオン化、座標 Bethe 仮説 |
前半の 3 章は有限系の線形代数と変分法で閉じる議論、後半の 3 章は無限自由度の解析（多重尺度、ボソン化、可積分性）です。全体を通じて、[凝縮系物理の磁性](/physics/condensed-matter/magnetism)と[超伝導](/physics/condensed-matter/superconductivity)で平均場や近似として述べた主張を、仮定を明示した定理として述べ直すことを目標にします。
### 1.2. なぜ Hubbard 模型の厳密な結果が必要か
Hubbard 模型（