# BCS 汎関数と臨界温度：相対エントロピーの下界・Birman–Schwinger 原理・弱結合での Cooper 不安定性
> 並進不変な BCS 汎関数で、常伝導状態が最小化元であることと作用素 K_T+V の非負性が同値であることを相対エントロピーの行列不等式から証明し、Birman–Schwinger 原理と Fermi 球面上の作用素で弱結合の臨界温度の漸近形を導く。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/many-fermion-systems/bcs-functional
## 0. この記事の要点
金属を冷やすと、ある温度で急に電気抵抗がなくなることがあります。この記事は、その転移が起こる温度（臨界温度）を、相互作用がどんな形でも使える言葉で決める方法を扱います。電子の集団が「ばらばらのまま」でいるほうが得か、「2 つずつ組になる」ほうが得かを、エネルギーの比較として数学的に書き、その比較が 1 本の線形な不等式に置き換わることを示します。読み終えると、Fermi 面上の相互作用に引力の成分があれば、それがどんなに弱くても低温で組ができること、そして転移温度が引力の強さの逆数の指数関数で小さくなることの理由が追えるようになります。
- 並進不変な準自由状態を、運動量ごとの $2\times2$ 行列 $\Gamma(p)=\begin{pmatrix}\gamma&\alpha\\\bar\alpha&1-\gamma\end{pmatrix}$（$0\le\Gamma\le1$）で表し、BCS 汎関数 $\mathcal F_T$ を常伝導状態からの差として定義します。被積分関数は相対エントロピー $\frac T2H(\Gamma(p),\Gamma_0(p))$ そのものです。
- 相対エントロピーの行列不等式 $H(\Gamma,\Gamma_0)\ge K(h)\operatorname{tr}(\Gamma-\Gamma_0)^2$、$K(h)=h/\tanh(h/2)$ を、1 変数関数の最大値の問題に帰着させて証明します。
- これにより、常伝導状態が最小化元であることと、線形作用素 $K_T+V$（$K_T(p)=(p^2-\mu)/\tanh((p^2-\mu)/2T)$）が非負であることが同値になります（Hainzl–Hamza–Seiringer–Solovej）。$K_T$ は $T$ について単調なので、臨界温度 $T_c$ が一意に定まります。
- 引力 $V=-\lambda v$ では、Birman–Schwinger 原理により $T\lt T_c$ は $v^{1/2}K_T^{-1}v^{1/2}$ の最大固有値が $1/\lambda$ を超えることと同値です。
- Birman–Schwinger 作用素を、Fermi 球面上の作用素 $\mathcal V_\mu$ に $\sqrt\mu\log(\mu/T)$ を掛けた特異部分と一様有界な残りに分解し、どんなに弱い引力でも $T_c>0$（Cooper 不安定性）、および $\lim_{\lambda\to0}\lambda\log(\mu/T_c)=1/(\sqrt\mu\,e_\mu)$ を証明します。Cooper 対の対称性（$s$ 波・$p$ 波）は $\mathcal V_\mu$ の最大固有関数で決まります。
## 1. 動機
[超伝導](/physics/condensed-matter/superconductivity)の章では、簡約 BCS ハミルトニアン（