# 質量のあるベクトル場：Proca 場の Fock 量子化・Stueckelberg 場の Krein–Fock 実現と物理商・質量 0 極限
> 質量 m のベクトル場を、3 偏極の Proca 場として正定値の Fock 空間上に構成し、4 成分のベクトル場と Stueckelberg スカラーからなる Krein–Fock 空間の Gupta–Bleuler 型の商が Proca の Fock 空間とユニタリ同値であることを証明する。m→0 の極限で縦偏極がスカラーに移ることを示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/indefinite-metric/proca-stueckelberg
## 0. この記事の要点
光は質量がなく、振動の向き（偏極）が 2 通りです。では、光に質量があったらどうなるでしょうか。質量のあるベクトル場では、振動の向きは 3 通りになります。この記事は、その 3 通りを素直に数える方法（Proca 場）と、あえて余分な成分を足して見通しを良くし、あとで余りを取り除く方法（Stueckelberg 場）が、同じ結果を与えることを示します。さらに質量を 0 に近づけると $3=2+1$ の形で光につながることも確かめます。
- 質量 $m>0$ の自由ベクトル場（Proca 場）は、運動量 $\boldsymbol k$ ごとに $k_\mu\varepsilon^\mu=0$ を満たす 3 つの偏極ベクトル $\varepsilon_\lambda(\boldsymbol k)$ をもち、1 粒子空間 $L^2(\mathbb{R}^3,d\mu_m;\mathbb{C}^3)$ 上の**正定値**（確率として読める普通の内積）の [Fock 空間](/physics/qft/why-quantum-field-theory#def-fock-space)に構成できます。2 点関数は $\big(-g_{\mu\nu}-m^{-2}\partial_\mu\partial_\nu\big)D_m^+$ で、場は局所的で、Proca 方程式 $\partial^\mu F_{\mu\nu}+m^2A_\nu=0$ を作用素として満たします。
- Gupta–Bleuler 形式の証明は、「1 粒子空間の中立部分空間 $\mathfrak g$ と、それと Hilbert 内積で直交し $J_1$ で不変な正部分空間 $\mathfrak t$ があって $\mathfrak g^{[\perp]}=\mathfrak t\oplus\mathfrak g$」という 1 つの構造だけを使っています。本章ではこれを抽象化した **Gupta–Bleuler 三つ組**の定理を証明し、以降の章（線形化重力など）で繰り返し使います。
- **Stueckelberg 形式**では、4 成分のベクトル場 $A_\mu$（時間成分が負ノルム）と正ノルムのスカラー $B$ を、どちらも質量 $m$ の Klein–Gordon 場として Krein–Fock 空間に置き、補助条件 $(\partial\cdot A+mB)^{(+)}\Psi=0$ で物理的状態を選びます。その商空間は Proca の Fock 空間と等長同型で、ゲージ不変な組み合わせ $A_\mu-m^{-1}\partial_\mu B$ は商の上で Proca 場そのものになります（本章の主定理）。
- Proca 場の 2 点関数は $m\to0$ で $m^{-2}$ の項のために発散しますが、保存電流（発散が $0$ の試験関数）で均した量や場の強さ $F_{\mu\nu}$ の相関は Maxwell 場のものに収束し、縦偏極の振幅は $O(m)$ で消えます。Stueckelberg 形式では極限は滑らかで、縦偏極のベクトル $e_3(\boldsymbol k)$ はスカラー $B$ の方向へ、ゲージ方向 $n(\boldsymbol k)$ は Gupta–Bleuler のゲージ光子の方向へ連続に移ります。自由度は $3=2+1$ のまま保たれます。
## 1. 動機
[電磁場](/physics/indefinite-metric/gupta-bleuler-rigorous)の共変量子化で不定計量が避けられないのは、質量 $0$ の光子がゲージ不変性をもち、4 成分のうち物理的なものが 2 つしかないからでした。では質量のあるベクトル場ではどうでしょうか。質量項 $\frac12m^2A_\mu A^\mu$ はゲージ不変性を壊し、運動方程式から $\partial\cdot A=0$ が拘束として出てきます（[ゲージ理論と対称性の破れ](/physics/qft/gauge-theory-and-symmetry-breaking) の Proca 理論の議論）。拘束を先に解いてしまえば 3 偏極だけが残り、不定計量は不要です。これが Proca の量子化で、第 3 節で正定値の Fock 空間上に構成します。
それでも Proca の形には 2 つの不満があります。1 つは 2 点関数の $k_\mu k_\nu/m^2$ の項で、紫外で減衰せず、$m\to0$ で発散します。くりこみ可能性が素朴には失われるのはこの項のためです（