# 準備 4：変分問題と背景場 — Bałaban『The variational problem and background fields in renormalization group method for lattice gauge theories』(1985) の結果
> 平均を固定した正則なゲージ場の空間で Wilson 作用の臨界軌道がただ 1 つで最小であること（Theorem 1）を、線形化変換・縮小写像・局所座標で証明し、最小配位の解析性と、データについての汎関数微分が木の長さで指数減衰することを示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/gauge-rg-papers/balaban-prereq-variational
## 0. この記事の要点
- T. Bałaban, "The variational problem and background fields in renormalization group method for lattice gauge theories", Commun. Math. Phys. 102 (1985) 277–309 は、ブロック平均 $V$ を固定した正則なゲージ場の空間で [Wilson 作用](/physics/lattice-field-theory/lattice-gauge-fields#def-wilson-action)を最小にする配位（**背景場** $U_k(V)$）が、ゲージ変換を除いてただ 1 つ存在し、それが唯一の臨界軌道であることを示しました（Theorem 1）。後の紫外安定性・大場の論文は、揺らぎ場の展開の中心としてこの $U_k(V)$ を使います。
- 証明の骨格は 3 段です。(1) 背景の近似解 $U_0$ のまわりで場を [Landau ゲージ](/physics/lattice-field-theory/lattice-differential-forms#def-lattice-landau-gauge)に固定し、作用を $\mathcal A(U_0)+\langle A,J\rangle+\frac12\langle A,KA\rangle+V_0(A)$ と展開する。(2) 非線形な平均の拘束を、[縮小写像](/mathematics/real-analysis/metric-spaces#thm-banach-fixed-point)で作る**線形化変換** $A=A'-HD(A')$ で線形の拘束 $QA'=B$ に直す。(3) 臨界点の方程式を不動点方程式 $A_1=-\mathfrak G_1(J+\frac{\delta V}{\delta A'}(A_1+H_1B))$ に書き、縮小写像で解の存在と一意性を示す。
- 最小配位の正則性の定数 $B_3$ が段数 $k$ に依らないことは、各立方体の上の局所的なゲージで問題を解き直し、遠いデータの影響が $e^{-\frac12\delta R_1M_1}$ で小さいことを使う「改良の反復」で示します（原論文 Sect. F）。この証明は 1 つの立方体の中のデータとそのまわりの配位しか使わないので、立方体ごとの定数で述べ直せます。そこから、データの小ささが層ごとに違うとき、最小配位の正則性が各層でその層のデータの小ささで抑えられること（層ごとの正則性、§9.3）が出ます。
- 最小配位はデータ $B=\frac1i\log V'$ の解析関数 $\mathcal H(B)$ で、その汎関数微分の核は指数減衰します（Proposition 9、(190)）。原論文が「計算は省く」とした (189) を、本章では**木の長さで重みをつけた優級数**の計算法として一般的に定式化し、1 階の減衰だけでなく、多数の成分 $S_1,\ldots,S_m$ についての混合差分が、点 $y$ と全成分を結ぶ最短の木の長さ $\tau(y;S_1,\ldots,S_m)$ で $e^{-\kappa\tau}$ と減衰し、定数が $m$ について高々指数的にしか増えないことを証明します。
- 原論文からの修正点: 2 階の評価（原論文 (123)–(140)）は、臨界点の Euler–Lagrange 方程式の Lagrange 乗数を 1 階の量だけで評価する方法に置き換えました。Hölder ノルムと 2 階の共変差分の評価 (10) の定数は、本章の証明では $B_3$ ではなく別の定数 $B_4$ になります。汎関数微分の評価 (190) は、値と 1 階差分の成分を証明します。
- 仮定の違い: Theorem 1 と正則性の改良（Proposition 8）には、原論文の $R\ge R_1$ より強い、領域の列の分離の条件 $R\ge R_2=(4L+5)R_1$ と、トーラスの一辺が $8R_1M_1s_k$ 以上であることを仮定します（どのブロックも、隣り合う 2 つの層に収まる立方体で覆うための条件です）。台 $\Omega_0$ がトーラス全体でなくてもよく、縁の近くの第 0 層の正則性はデータの条件から直接出ます。
## 1. 動機
### 1.1. 何を示した論文か
Bałaban のくりこみ群では、第 $k$ 段の有効作用を、ブロック平均 $V=\bar U^k$ を固定した細かい場 $U$ の上の積分として扱います。弱結合では積分は作用の最小点の近くに集中するので、最初にすべきことは「平均 $V$ を固定したとき作用を最小にする配位はどれか、それはいくつあるか、$V$ にどう依存するか」を答えることです。平均を固定してもゲージ変換（ブロックの中心で $1$ になるもの）の自由度は残るので、問いは「臨界**軌道**」の数になります。
Theorem 1 の答えは、$V$ が正則（平均した配位のプラケットが単位元に近い）なら最小軌道がただ 1 つあり、正則な配位の空間には他に臨界軌道がない、というものです。さらに最小配位は、各立方体の上の適当なゲージで $e^{i\eta A}$ と書け、$A$ とその差分が $\varepsilon_1$ に比例して小さい（(9)(10)）。後の論文が「背景場」「$U_k(V)$」「minimal configuration」と呼ぶのはこの配位です。
Sect. G は最小配位の解析性と展開を扱います。$V=V'V_0$、$V'=e^{iB}$ と書くと、$U_k(V'V_0)U_k(V_0)^{-1}$ は Landau ゲージで $\exp i\eta\mathcal H(B)$ と書け、$\mathcal H(B)=H_1B+(\text{2 次以上})$ です。揺らぎ場の展開（RG I の (2.6)–(2.8)）はこの展開をそのまま使い、局所化（大場の論文の (1.66) など）は $\delta\mathcal H/\delta B$ の指数減衰を使います。
前後の論文との関係は次のとおりです。原論文は Bałaban の 1984–85 年の一連の論文（平均操作 CMP 98、正則配位の空間 CMP 99:75、背景場中のプロパゲータ CMP 99:389）の結果を道具として使い、その成果は 3 次元の紫外安定性（CMP 102:255）と 4 次元のくりこみ群（CMP 109, 116, 119）、大場の繰り込み（CMP 122, 1989）の土台になります。
### 1.2. 本章の構成と原論文との対応
| 原論文 | 内容 | 本章 |
|---|---|---|
| 序、(1)–(10) | 問題の設定と Theorem 1 |