# Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 3 部：T′ の評価、帰納の主張 (1.80)、クラスター展開と指数化、Theorem 1 の証明

> 大場の操作 T′ の評価と大場因子・費用の勘定から帰納の主張 (1.80) を補強して示し、指数化と R 項の評価を経て、大場の操作 R が RG III の帰納的仮定を保つこと（Theorem 1）と紫外安定性を、書き出した仮定のもとで証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/gauge-rg-papers/balaban-large-field-2-part-3

## 0. この記事の要点

この章で、4 次元の格子ゲージ理論の紫外安定性の証明が完結します。大場の領域に残る小さな因子で、その領域を保つ費用をまかなえることを、数え上げで示すのが中心です。

- Bałaban の論文 "Large field renormalization. II"（Commun. Math. Phys. 122 (1989) 355–392）の §1 後半、式 (1.73)–(1.104) を精読します。ここで、6 本の論文にわたる 4 次元非可換格子ゲージ理論の紫外安定性の証明が閉じます。
- 大場の領域に局所化した積分操作 $\mathsf T'_k(X)$ は、過去のすべての段で大場が残した小さな因子と、その後の段で払った体積の費用の積で抑えられます（総括の不等式 (1.79)）。
- 「小因子の残高 $\kappa_j(Z)$ は、成分が R の対象になるまでの将来の費用を払える」という帰納の主張 (1.80) を証明します。原論文の併合の段は「小さい成分は数段で大きい成分に呑み込まれる」ことに頼っていますが、ブロックの格子の位置がずれると呑み込みは起きないので、本章では主張を係数 2 の余裕つきに強めて証明を組み直します。大場領域の作り方は [III] の帰納的仮定と同じ形（新しい大場のまわりの層と、小さい成分の直方体への置き換えを含む）にとり、置き換えで加わる直方体の費用も勘定に入れます。
- その帰結が基本不等式 $\mathsf T'_k(X)1\le\exp(-2(1+\beta_0)^{-1}p_0(g_k))$ (1.89) です。これを使って[クラスター展開](/physics/constructive-qft/cluster-expansion#def-ursell-function)の活性を評価し (1.97)、[Kotecký–Preiss の判定条件](/physics/constructive-qft/cluster-expansion#thm-kotecky-preiss)で指数化して R 項の評価 (1.100) を得ます。
- 新しい作用 (1.101) と大場の操作 (1.102) が III の帰納法の仮定をすべて満たすこと（III が R の段に要求する性質 (R)）を確かめ、Theorem 1 と紫外安定性 (0.1) の証明を完了します。R が書き換えた領域列がまた III の幾何の条件を満たすことも補題として証明します。原論文が明示していない仮定（結合定数の 1 段ごとの条件 (G)、R の準備の段の途中で除外された成分の扱い (E)、変分問題の定理を使うための幾何の条件 (V)）は定理の仮定に書き出します。作用の項が実の配位で実数であること（III の実数性 (Re)）を R の段が保つことも確かめるので（<Ref to="prop-r-step-preserves-reality" />）、(Re) は仮定ではなく帰納法の結論になります。「固定した大場の領域には木の減衰因子が要らない」という (1.103)(1.104) の注意も、数え上げの補題として証明します。

## 1. 動機

**論文群の中での位置。** Bałaban は 1984 年から 1989 年にかけて、格子上の純粋な Yang–Mills 理論（Wilson 作用）について、格子間隔を $0$ に近づけても有効密度が体積に比例する上下の評価をもつこと、すなわち紫外安定性を、繰り込み群の方法で証明しました。各段のくりこみ変換 $\mathsf T$ は場をブロック平均して 1 段粗い格子に移し、揺らぎの積分を「小場」の領域で実行します。小場の領域では有効作用を局所的な項に展開でき、その制御が論文 I・II・III（Commun. Math. Phys. 109, 116, 119）の内容です。

残るのは「大場」の領域です。プラケット変数が $1$ から大きく離れた領域では、[Wilson 作用](/physics/lattice-field-theory/lattice-gauge-fields#def-wilson-action) $g^{-2}\sum_p(1-\mathrm{Re\,tr}\,U(\partial p))$ が $\exp(-c\,p_0(g)^2)$ 程度の小さな因子を与えます（$p_0(g)=(\log g^{-2})^{p_0}$）。空間次元 $d<4$ の超繰り込み可能な模型では結合定数が格子間隔の正の冪で $0$ に行くので、この因子は格子間隔の任意の冪になり、残りのすべての段を制御できます。$d=4$ では漸近自由性により有効結合定数が $(\log\varepsilon^{-1})^{-1/2}$ 程度でしか小さくならないため、大場の因子は全段数のごく一部しか払えません。払いきれなくなった大場の成分を、積分を変えずに小場の式で置き換える操作が R です。前論文 "Large field renormalization. I"（Commun. Math. Phys. 122 (1989) 175–202、以下 [IV]）が R の基本の段を構成し、本論文がその局所化・評価・指数化を完成させます。

**本論文の 3 つの部。** 第 1 部（[式 (1.1)–(1.37)](/physics/gauge-rg-papers/balaban-large-field-2-part-1)）は R の比の分母と分子に現れる $g_k^{-2}$ のかかった Wilson 項を相殺し、新しい背景場を定めました。第 2 部（[式 (1.38)–(1.72)](/physics/gauge-rg-papers/balaban-large-field-2-part-2)）は残りの作用を新しい背景場のまわりに再展開して局所化し、大場の領域に局所化した操作 $\mathsf T'_k(X)$ と R そのものを定義しました。本章（第 3 部）は、$\mathsf T'_k(X)$ の大きさを評価し、R の出力を指数の形に戻して、帰納法を 1 段進めます。

**証明の核心は数え上げです。** 大場の成分は、生まれてから R の対象になる（一辺 $100MR_j$ の立方体に収まり、直前の $N$ 段で新しい大場が生じていない）までに、何段も待たなければなりません。待っている間にも、成分の体積に比例する費用 $\exp(O(1)M^dR_j^{d+1}d'_j(Z_j))$ が毎段かかります。大場の因子は 1 回きりの収入で、費用は毎段の支出です。収入が将来の支出をすべて払えることを、領域の成長の幾何と結合定数の走り方から示すのが帰納の主張 (1.80) です。成分が合体するときには、合体した成分の将来の費用を、合体前の各成分の残高で払う必要があります。原論文はここで「小さい成分は大きい成分の像に数段で呑み込まれる」と述べて費用の重複を消していますが、立方体の格子の位置合わせのために、小さい成分の像は大きい成分の像から 1 層だけはみ出し続けることがあります（<Ref to="rem-merge-gap" />）。本章では帰納の主張を「残高は将来の費用の 2 倍以上」と強め、余った半分ではみ出しの費用を払う形に組み直しました。主張を強めても、大場の因子 $\exp(-c\,p_0^2(d'+1))$ と費用 $O(M^dR^{d+2}(d'+1))$ の間には $p_0^2$ 対 $R^{d+2}$ の大きな差があるので、余裕は自然に確保できます。

**物理への含意。** この論文で示される Theorem 1 は「有効結合定数の列が十分小さい区間に入っているなら」という仮定つきです。仮定を外すための 2 次の摂動計算（I の Theorem 2）は公刊されていません（<Ref to="physics/gauge-rg-papers/balaban-large-field-2-part-1#thm-main-inductive" /> の注意）。それでも、対数で走る結合定数をもつ 4 次元の模型で、大場を「収入と支出の勘定」で制御する枠組みは、本論文の (1.79)–(1.89) の形で完成しています。フェルミオンを含む模型（たとえば 4 次元の量子電磁力学や量子色力学）に同じ方法を移すときにも、大場の小因子・体積の費用・待ち時間の 3 つを分けて勘定するこの構造が、そのまま骨組みになると考えられます。

（この章の続きは購入者向けです。）