# 第二量子化作用素 Γ(U) と dΓ(A)：関手性・自己共役性・スペクトル
> 縮小作用素 C の第二量子化 Γ(C) の関手性とユニタリ性、自己共役作用素 A の第二量子化 dΓ(A) の自己共役性と e^{itdΓ(A)}=Γ(e^{itA})、生成作用素との交換関係、数作用素による評価、スペクトルと点スペクトルの決定を証明する。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/fock-space/second-quantization
## 0. この記事の要点
光子や素粒子が何個もいる状態のエネルギーは、粒子 1 個ぶんのエネルギーを個数ぶん足したもの、と物理では素朴に考えます。この記事は、その「1 個のものを全体に持ち上げる」手続きを、数学として破綻なく書き下す話です。持ち上げ方には「各粒子に同じ操作を掛ける」ものと「各粒子のエネルギーを足す」ものの 2 種類があり、両者がきれいに結びつくことを示します。読み終えると、自由場のハミルトニアンの定義域・スペクトル・粒子を作る作用素との関係を、正確な言葉で述べられるようになります。
- 1 粒子空間 $\mathcal{H}$ 上のノルム $1$ 以下の作用素（縮小作用素）$C$ から、[ボソン Fock 空間](/physics/fock-space/boson-fock-space#def-boson-fock-space)上の縮小作用素 $\Gamma(C)=\bigoplus_n C^{\otimes n}$ が作れます。$\Gamma(CD)=\Gamma(C)\Gamma(D)$、$\Gamma(C)^*=\Gamma(C^*)$ が成り立ち、ユニタリはユニタリに、射影は射影に移ります。
- 自己共役作用素 $A$ からは、各粒子に $A$ を施して足した作用素の直和 $\mathrm{d}\Gamma(A)$ が作れます。$\mathrm{d}\Gamma(A)$ は自己共役で、$e^{it\mathrm{d}\Gamma(A)}=\Gamma(e^{itA})$ です。数作用素は $N=\mathrm{d}\Gamma(1)$、自由場のハミルトニアンは $H_0=\mathrm{d}\Gamma(\omega)$ です。
- 交換関係 $[\mathrm{d}\Gamma(A),a(f)^*]=a(Af)^*$、$[\mathrm{d}\Gamma(A),a(f)]=-a(Af)$ が、有限粒子ベクトルの上で成り立ちます。「$\mathrm{d}\Gamma(A)$ は $Af$ の粒子 1 個ぶんだけエネルギーを足す」という物理の直観の正確な形です。
- $\sigma(\mathrm{d}\Gamma(A))$ は $\{0\}$ と、$\sigma(A)$ の元の有限和全体の和集合の閉包です。点スペクトルも同じ形で、$\sigma(A)$ を $\sigma_{\mathrm{p}}(A)$ に置き換えたものになります。
- $A\ge m>0$ なら $\mathrm{d}\Gamma(A)\ge mN$ で、$\mathrm{d}\Gamma(A)$ の定義域は $N$ の定義域に含まれます。$m=0$（質量ゼロ）ではこの評価が壊れることを反例で確かめます。
## 1. 動機
場の量子論の教科書では、自由場のハミルトニアンを
$$
H_0=\int\omega(\boldsymbol{k})\,a^\dagger(\boldsymbol{k})a(\boldsymbol{k})\,\mathrm{d}\boldsymbol{k}
$$
と書きます（[スカラー場の正準量子化](/physics/qft/canonical-quantization)）。$a(\boldsymbol{k})$ は作用素値超関数（点ごとの値ではなく、関数で積分して初めて作用素になるもの）なので、この式はそのままでは作用素を定めません。しかし $H_0$ が $n$ 粒子状態に作用する仕方は明快で、各粒子のエネルギー $\omega(\boldsymbol{k}_j)$ を足すだけです。つまり $H_0$ は「1 粒子のハミルトニアン $\omega$ を、粒子の数だけ足し合わせて Fock 空間全体に持ち上げたもの」です。
この持ち上げを、1 粒子空間の作用素から Fock 空間の作用素を作る一般的な手続きとして定式化したのが**第二量子化**です。持ち上げ方は 2 通りあります。ユニタリ時間発展 $e^{-it\omega}$ のような「群の元」は、各粒子に同じものを掛けて**積**で持ち上げます（$\Gamma$）。ハミルトニアン $\omega$ のような「生成子」は、各粒子に施して**和**で持ち上げます（$\mathrm{d}\Gamma$）。両者が $e^{it\mathrm{d}\Gamma(A)}=\Gamma(e^{itA})$ で結びつくことが本章の中心です。この式は、Lie 群の表現とその微分表現の関係と同じ形をしています。
次の図は、粒子数ごとの層を積み重ねた Fock 空間に、2 通りの持ち上げ方がどう作用するかを並べたものです。
数理物理では、第二量子化作用素は相互作用模型の「無摂動部分」として必ず現れます。[Nelson 模型](/physics/fock-space/nelson-spin-boson#def-nelson-model)や Pauli–Fierz 模型のハミルトニアンは $H_{\mathrm{particle}}\otimes1+1\otimes\mathrm{d}\Gamma(\omega)+H_{\mathrm{int}}$ の形をしており、自己共役性や[基底状態](/physics/fock-space/nelson-spin-boson#def-ground-state)の存在を論じるには、$\mathrm{d}\Gamma(\omega)$ の定義域・スペクトル・生成消滅作用素との関係を正確に知っている必要があります。本章はその基礎を整えます。
（この章の続きは購入者向けです。）