# Bogoliubov 変換と Shale の定理：Fock 空間で実装できる正準変換の判定
> 生成・消滅作用素の線形な組み替え a(Uf)+a(VCf)* が CCR を保つ条件を導き、それが Fock 空間のユニタリ作用素で実装できるのは V が Hilbert–Schmidt のときに限るという Shale の定理を証明する。フェルミオン版、スクイーズド状態、2 次ハミルトニアンの対角化、シフト変換も扱う。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/fock-space/bogoliubov-transformations
## 0. この記事の要点
量子の世界では、粒子を 1 個増やす操作（生成）と 1 個減らす操作（消滅）を組み合わせて状態を表します。この操作を線形に混ぜ合わせて新しい「生成と消滅」の組を作ると、それに対する「何もない状態（真空）」も新しくなります。ここで知りたいのは、混ぜ方を変えたあとの真空が、もとの粒子の空間の中にきちんとあるのか、はみ出してしまうのか、ということです。この記事では、その答えが「混ぜ込まれる生成の部分がある意味で小さいか」という具体的な条件で決まることを示します。
- 共役子 $C$（複素共役を一般の Hilbert 空間に持ち込んだもの）を固定し、$a_T(f)=a(Uf)+a(VCf)^*$（$U,V$ は有界作用素）の形の組み替えを **Bogoliubov 変換**と呼びます。これが CCR を保ち逆変換も持つ条件は、$\bar{A}=CAC$, $A^{\mathsf{T}}=CA^*C$ と書いて $U^*U-V^{\mathsf{T}}\bar{V}=1$, $U^*V=V^{\mathsf{T}}\bar{U}$, $UU^*-VV^*=1$, $UV^{\mathsf{T}}=VU^{\mathsf{T}}$ です。実線形写像 $T=U+VC$ が $\sigma(f,g)=\mathrm{Im}\langle f,g\rangle$ を保つことと同じです。
- **Shale の定理**: Bogoliubov 変換が [Fock 空間](/physics/fock-space/boson-fock-space#def-boson-fock-space)上のユニタリ作用素 $\mathbb{U}$ で $\mathbb{U}W(f)\mathbb{U}^*=W(Tf)$（$W(f)$ は [Weyl 作用素](/physics/fock-space/segal-field-weyl#def-weyl-operator)）と実装できるための必要十分条件は、$V$ が [Hilbert–Schmidt 作用素](/mathematics/functional-analysis/compact-operators)であることです。必要性は「新しい真空 $\mathbb{U}\Omega$ の 2 粒子成分が $V$ を Hilbert–Schmidt 作用素として表す」ことから出ます。
- 実装できるとき、新しい真空の粒子数の期待値は $\|V\|_2^2$ で、真空は $\exp(-\frac12\sum K_{jk}a_j^*a_k^*)\Omega$ という Gauss 型ベクトルです。1 モードではスクイーズド真空（位置か運動量のどちらかのゆらぎを真空より小さくした状態）になり、2 次ハミルトニアン $\omega a^*a+\frac{\lambda}{2}(a^2+a^{*2})$（$|\lambda|<\omega$）は Bogoliubov 変換で $\varepsilon b^*b-\frac12(\omega-\varepsilon)$, $\varepsilon=\sqrt{\omega^2-\lambda^2}$ に対角化されます。
- 無限個のモードを同じ強さでスクイーズする変換は $V$ が Hilbert–Schmidt でなく実装できません。前章の[互いに素](/physics/fock-space/ccr-representations#def-representation-equivalence)な表現 $\pi_s$ はこの例です。$V$ がコンパクトでも Hilbert–Schmidt でなければ実装できません。
- シフト $a(f)\mapsto a(f)+\langle f,g\rangle$ は $g\in\mathcal{H}$ のときに限り実装でき、実装作用素は Weyl 作用素 $W(i\sqrt2\,g)$ です。$g\notin\mathcal{H}$ となる赤外発散が van Hove 模型の非同値表現の起源です。フェルミオンでも同じ形の判定（Shale–Stinespring の定理）が成り立ちます。
## 1. 動機
超流動の Bogoliubov 理論、BCS 理論、曲がった時空や加速系の Unruh 効果、量子光学のスクイーズド光は、どれも「生成・消滅作用素を線形に混ぜて新しい生成・消滅作用素を作り、それについての真空を新しい基底状態とする」という同じ操作に基づいています。有限個のモードなら、Stone–von Neumann の定理（