# 電磁波と光学：媒質中の波、フレネルの式、導波管、干渉と回折
> 媒質中の電磁波の速さ c/n と平面波の関係を導き、界面の境界条件から反射・屈折の法則とフレネルの式を証明する。矩形導波管のモードと遮断周波数、ヘルムホルツ・キルヒホッフの積分公式から単スリットと二重スリットの回折像までを示す。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/waves-and-optics
## 0. この記事の要点
ガラスに入った光はなぜ曲がるのか、水面の照り返しはなぜ偏光サングラスで消えるのか、光ファイバーはなぜ曲げても光が漏れないのか。この記事は、こうした身近な現象の土台にある反射・屈折・全反射を、マクスウェル方程式と物質中の境界条件から説明します（回折では、これに開口についての近似を加えます）。読み終えると、反射と屈折の法則、金属管の中を電磁波が通る条件、スリットを通った光がつくる縞の形を、式から導けるようになります。
- 一様で線形・等方な媒質の中でも、電磁場は波動方程式を満たします。速さは真空の $c$ ではなく $v=1/\sqrt{\varepsilon\mu}=c/n$ で、屈折率は $n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$ です。導電性がある場合は波数が複素数になり、波は深さ $\delta=\sqrt{2/(\mu\sigma\omega)}$ 程度で減衰します（表皮効果）。
- 2 つの透明な媒質の界面での反射と屈折は、[物質中の電磁場](/physics/electromagnetism/fields-in-matter)で証明した境界条件から導けます。入射波・反射波・透過波の界面方向の位相がそろう条件から**反射の法則**と**スネルの法則**が、振幅の接続条件から**フレネルの式**が出ます。
- フレネルの式の帰結として、$p$ 偏光の反射がちょうど消える**ブリュースター角**（$\tan\theta_B=n_2/n_1$）と、屈折率の大きい側から入るときの**全反射**が説明されます。全反射では反射率が 1 でも、界面の向こう側に減衰する波（エバネッセント波）がしみ出します。
- 完全導体の壁で囲まれた導波管では、横方向の固有値問題が 1 つ解けるたびに 1 つの**モード**が決まり、各モードに**遮断周波数**があります。[位相速度](/physics/mechanics/oscillations-and-waves#def-dispersion)（波の山の動く速さ）は $c$ より速く、[群速度](/physics/mechanics/oscillations-and-waves#def-dispersion)（波のかたまりの動く速さ）とエネルギー速度は $c$ より遅く、積は $c^2$ です。
- 干渉と回折は同じ現象です。ヘルムホルツ方程式（波動方程式を単色の波に限った式）の解に対する**積分公式**（グリーンの恒等式から証明できる）に開口の仮定を入れ、遠方で近似すると、単スリットは $\mathrm{sinc}^2$ の、二重スリットは $\cos^2$ の縞の強度分布を与えます。
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## 1. 動機：光は電磁波である、の先へ
[マクスウェル方程式と電磁波](/physics/electromagnetism/maxwell-equations) で、真空中の電磁場が速さ $c$ で伝わる横波であることを示しました。ところが、私たちが日常で出会う光は、ガラスの中で曲がり、水面で反射し、スリットを抜けて縞をつくり、光ファイバーの中を何キロも進みます。これらはすべて、物質が入ったときのマクスウェル方程式の帰結です。
[物質中の電磁場](/physics/electromagnetism/fields-in-matter) で、物質を $\varepsilon,\mu$ という 2 つの定数にまとめた方程式と、界面で場がつながる条件を手に入れました。この記事ではそれを 3 つの舞台に適用します。
1. 無限に広い一様な媒質（§3）と、2 つの媒質の界面（§4）。
2. 金属の壁に囲まれた管（§5）。
3. 障害物のある空間（§6）。
どれも「方程式を解き、境界で場をつなぐ」という同じ手順で解けます。違いは、境界の形と、使う境界条件だけです。
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## 2. 準備：複素表示と時間平均
単色の波、つまり時間依存性が $\cos(\omega t+\text{位相})$ の形の場だけを考えます。実の場を複素関数の実部として $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x},t)=\mathrm{Re}\bigl[\boldsymbol{E}(\boldsymbol{x})e^{-i\omega t}\bigr]$ と書きます。マクスウェル方程式は線形なので、複素場がそれを満たすなら実部も満たします。時間微分は $\partial_t\to-i\omega$ に置き換わります。
2 つの量の積（たとえばポインティング・ベクトル）は非線形なので、実部をとってから掛けなければなりません。1 周期の時間平均は
$$
\bigl\langle\mathrm{Re}(ae^{-i\omega t})\,\mathrm{Re}(be^{-i\omega t})\bigr\rangle=\frac12\mathrm{Re}(a\bar b)
$$
です。実際、$\mathrm{Re}(ae^{-i\omega t})=\frac12(ae^{-i\omega t}+\bar ae^{i\omega t})$ なので積は $\frac14(a b e^{-2i\omega t}+a\bar b+\bar ab+\bar a\bar be^{2i\omega t})$、$e^{\pm2i\omega t}$ の項は 1 周期で平均すると消え、残るのは $\frac14(a\bar b+\bar ab)=\frac12\mathrm{Re}(a\bar b)$ です。
媒質は**一様**（$\varepsilon,\mu$ が場所によらない）、**線形・等方**（$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$、$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$）とし、与える周波数 $\omega$ の範囲では $\varepsilon,\mu$ は定数（分散を無視）とします。自由電荷・自由電流はないとします（導電性は §3.3 で扱います）。
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## 3. 媒質中の平面波
### 3.1. 波動方程式と屈折率
一様な線形等方媒質で $\rho_f=0$、$\boldsymbol{J}_f=\boldsymbol{0}$ のとき、$C^2$ 級の場 $\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$ は
$$
\nabla^2\boldsymbol{E}=\varepsilon\mu\,\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2},\qquad\nabla^2\boldsymbol{B}=\varepsilon\mu\,\frac{\partial^2\boldsymbol{B}}{\partial t^2}
$$
を満たす。位相速度は $v=1/\sqrt{\varepsilon\mu}=c/n$、$n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}$（屈折率）である。
証明の方針は、真空で光速を出した計算の $\varepsilon_0\mu_0$ を $\varepsilon\mu$ に置き換えるだけです。
### 6.3. 薄膜の干渉
2 つの波が干渉するとき、複素振幅を $A_1=\sqrt{I_1}$、$A_2=\sqrt{I_2}e^{i\delta}$ とすると、合成強度は $|A_1+A_2|^2=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta$ です（$\delta$ は位相差）。
屈折率 $n_2$ のガラスの上に、屈折率 $n_c$（$1 の垂直入射の場合で $r_1=\dfrac{n_1-n_c}{n_1+n_c}$、ガラスとの境界では $r_2=\dfrac{n_c-n_2}{n_c+n_2}$ で、$n_1
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## 7. 演習
空気（$n_1=1$）から水（$n_2=1.33$）への入射で、ブリュースター角と、そのときの屈折角を求めよ。また水から空気へ向かうときの臨界角を求めよ。