# 電磁放射：遅延ポテンシャルからラーモアの公式と放射反作用まで

> 球面平均の補題を使って遅延ポテンシャルが波動方程式とローレンツゲージを満たすことを証明し、点電荷のリエナール・ヴィーヘルトポテンシャルを導く。双極子放射とラーモアの公式、アブラハム・ローレンツ方程式、低周波スペクトルの赤外発散までを扱う。
> https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/radiation

## 0. この記事の要点

アンテナから出た電波が遠くのラジオに届くまでには時間がかかり、電荷を揺らした影響は光の速さで遠くへ伝わっていきます。この記事では、電荷が動いたとき、離れた場所の電場や磁場がいつ・どのように決まるのかを、式で順に確かめます。読み終えると、加速する電荷がどれだけのエネルギーを電磁波として放出するかを計算でき、水素原子を古典的に考えると一瞬で潰れてしまう理由も説明できるようになります。

- [ローレンツゲージ](/physics/electromagnetism/gauge-potentials#def-lorenz-gauge)のポテンシャルは波動方程式 $\Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0$、$\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}$ に従い、その解は**遅延ポテンシャル** $\varphi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\boldsymbol{y},\,t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|/c)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}dV_y$ です。「$\boldsymbol{x}$ での値は、光が届くだけ前の電荷の状態で決まる」という因果性を表します。
- 動く点電荷の遅延ポテンシャルは、遅延時刻での位置・速度だけで書けます（**リエナール・ヴィーヘルトポテンシャル**）。等速運動の場合はローレンツ変換されたクーロンポテンシャルに一致します。
- 遠方では場が $1/r$ で減衰し、エネルギーを無限遠まで運ぶ波（放射場）が残ります。電荷分布の大きさが波長より十分小さければ、放射場は双極子モーメントの 2 階微分 $\ddot{\boldsymbol{p}}$ だけで決まり、全放射パワーは $\mu_0|\ddot{\boldsymbol{p}}|^2/(6\pi c)$ です。点電荷なら**ラーモアの公式** $P=q^2a^2/(6\pi\varepsilon_0c^3)$ になります。
- 放射でエネルギーを失う電荷には反作用の力が働きます。エネルギー収支から求めた**アブラハム・ローレンツ方程式** $m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}+m\tau\dot{\boldsymbol{a}}$ には、暴走解と前加速という奇妙な性質があります。
- 電荷が瞬間的に速度を変えると、放射エネルギーのスペクトルは低周波側で一定値に近づきます。そのため光子の個数は低周波側で対数発散します（赤外発散の古典的な起源）。

<Aside type="tip" title="この記事で使う事前知識">

- **ローレンツゲージ条件**: 電磁ポテンシャルの自由度を $\nabla\cdot\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0$ で固定する条件。ポテンシャルが波動方程式に従うようになる。→ [ローレンツゲージ条件](/physics/electromagnetism/gauge-potentials#def-lorenz-gauge)
- **電磁ポテンシャル**: 電場と磁場を $\varphi$ と $\boldsymbol{A}$ から作る表し方。→ [電磁ポテンシャル](/physics/electromagnetism/gauge-potentials#def-em-potentials)
- **発散**: ベクトル場の各点での湧き出しの密度。発散定理は、その体積積分が境界面を通る流れに等しいと述べる。→ [発散](/physics/electromagnetism/electrostatics#def-divergence)
- **電流密度**: 単位面積を単位時間に流れる電荷を表すベクトル。電荷保存則 $\partial_t\rho+\nabla\cdot\boldsymbol{J}=0$ は電荷密度との関係を与える。→ [電流密度](/physics/electromagnetism/magnetostatics#def-current-density)
- **ポインティング・ベクトル**: 電磁場が運ぶエネルギーの流れ（単位面積・単位時間あたり）を表すベクトル。→ [マクスウェル方程式と電磁波](/physics/electromagnetism/maxwell-equations)

</Aside>

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## 1. 動機：場はどのようにして遠くへ行くのか

[マクスウェル方程式と電磁波](/physics/electromagnetism/maxwell-equations) では、真空中の電磁波が $c$ で伝わる横波であることを示しました。しかし、そこで考えたのは電荷のない空間を伝わる波で、波が「どこから来たか」は問いませんでした。[電磁ポテンシャルとゲージ変換](/physics/electromagnetism/gauge-potentials) では、ローレンツゲージで電磁ポテンシャルが波動方程式に従うことまで示しました。ただし、その方程式を実際に解いて、電荷や電流から場がどのように立ち上がるかは扱っていません。

この記事は、その残りを埋めます。

1. 源のある波動方程式の解を、具体的な積分公式として書く（§3）。
2. それを動く点電荷に適用する（§4）。
3. 遠方に残る波を取り出し、運ばれるエネルギーを計算する（§5）。
4. エネルギーを放射する電荷には、それに見合う反作用が働くはずだと考えて、運動方程式を修正する（§6）。

静電場や[定常電流](/physics/electromagnetism/magnetostatics#def-steady-current)の場は $1/r^2$ で減衰するので、遠方の球面を通る全エネルギーは $4\pi r^2\cdot r^{-4}\to0$ です。ところが、加速された電荷の場は $1/r$ の項をもちます。ポインティング・ベクトルが $r^{-2}$ なら、球面を通るエネルギーは $r$ によらず、電荷から無限遠まで運ばれていきます。これが**放射**です。

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## 2. 準備：波動方程式の記号

$\Box=\nabla^2-c^{-2}\partial_t^2$ と書きます。<Ref to="physics/electromagnetism/gauge-potentials#def-lorenz-gauge" text="ローレンツゲージ条件" /> は $\nabla\cdot\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0$ で、そのもとで電磁ポテンシャルは <Ref to="physics/electromagnetism/gauge-potentials#cor-wave-equations" /> の
$$
\Box\varphi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}
$$
に従います。電荷保存則 $\partial_t\rho+\nabla\cdot\boldsymbol{J}=0$ も仮定します（<Ref to="physics/electromagnetism/maxwell-equations#prop-continuity" />）。

以下、$\rho,\boldsymbol{J}$ は $\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$ 上の $C^2$ 級関数で、空間的には有界な領域 $|\boldsymbol{y}|\le L$ の外で $0$ とします。単位球面 $S^2$ 上の面積要素を $d\sigma$ とします。

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## 3. 遅延ポテンシャル

### 3.1. 球面平均

波動方程式を解くための鍵は、関数の**球面平均**（点 $\boldsymbol{x}$ を中心とする半径 $r$ の球面上で、関数の値を平均したもの）を考えることです。次の補題は、$r$ を変えたとき球面平均がどう変化するかを調べるもので、§3.2 で波動方程式を 1 次元の積分に直すために使います。

<Lemma id="lem-spherical-mean" title="球面平均の補題">
$f\in C^2(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R})$ で、空間的に有界な台をもつとし、
$$
M(\boldsymbol{x},r,s)=\frac{1}{4\pi}\int_{S^2}f(\boldsymbol{x}+r\boldsymbol{\omega},s)\,d\sigma(\boldsymbol{\omega})\qquad(r\ge0)
$$
と定める。このとき (i) $M(\boldsymbol{x},0,s)=f(\boldsymbol{x},s)$、(ii) $r>0$ で $\partial_rM=\dfrac{1}{4\pi r^2}\displaystyle\int_{|\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x}|<r}\nabla^2f(\boldsymbol{y},s)\,dV_y$ で、とくに $r\to0$ で $\partial_rM=O(r)$、(iii) $\nabla_{\boldsymbol{x}}^2M=\dfrac{1}{r^2}\partial_r\bigl(r^2\partial_rM\bigr)$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-spherical-mean">
(i) は $f$ の連続性から明らかです。(ii) $\partial_rM=\frac{1}{4\pi}\int\boldsymbol{\omega}\cdot\nabla f(\boldsymbol{x}+r\boldsymbol{\omega},s)\,d\sigma$ で、これは半径 $r$ の球面 $\Sigma_r$ 上の $\frac{1}{4\pi r^2}\oint_{\Sigma_r}\partial_nf\,dS$ に等しく（$dS=r^2d\sigma$、$\boldsymbol{\omega}$ は外向き法線）、<Ref to="physics/electromagnetism/electrostatics#thm-divergence-theorem" text="発散定理" /> で $\nabla f$ の発散の体積積分になります。球の体積は $r^3$ のオーダーなので $\partial_rM=O(r)$ です。(iii) (ii) の両辺に $r^2$ を掛けて $r$ で微分すると、$\partial_r(r^2\partial_rM)=\frac{1}{4\pi}\oint_{\Sigma_r}\nabla^2f\,dS=r^2\cdot\frac{1}{4\pi}\int_{S^2}\nabla^2f(\boldsymbol{x}+r\boldsymbol{\omega},s)\,d\sigma$ です。最後の積分は $\nabla^2f$ の球面平均で、積分記号の下で $\boldsymbol{x}$ について微分してよいので $\nabla^2_{\boldsymbol{x}}M$ に等しくなります。
</Proof>

### 3.2. 遅延ポテンシャルの定理

次の定理は、電荷や電流が与えられたとき、離れた点のポテンシャルを具体的な積分で書けると述べています。証明の方針は、積分を球面平均の $r$ についての積分に書き直し、補題で $\nabla^2$ を $r$ の微分に置き換えて、部分積分で端の値 $-\rho(\boldsymbol{x},t)$ だけを残すことです。偏微分が多いので、(i) では「$M$ を $r$ で微分したもの」を $\Phi$、「$M$ を時間で微分したもの」を $\Psi$ と名前を付けて追ってください。

<Theorem id="thm-retarded" title="遅延ポテンシャル">
$\rho,\boldsymbol{J}$ を §2 の仮定を満たす電荷密度と電流密度とし、
$$
\varphi(\boldsymbol{x},t)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho\bigl(\boldsymbol{y},\,t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|/c\bigr)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,dV_y,\qquad\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int\frac{\boldsymbol{J}\bigl(\boldsymbol{y},\,t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|/c\bigr)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\,dV_y
$$
とおく。このとき

(i) $\varphi,\boldsymbol{A}$ は $C^2$ 級で、$\Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0$、$\Box\boldsymbol{A}=-\mu_0\boldsymbol{J}$ を満たす。

(ii) 電荷保存則のもとで、ローレンツゲージ条件 $\nabla\cdot\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t\varphi=0$ を満たす。

(iii) $\boldsymbol{E}=-\nabla\varphi-\partial_t\boldsymbol{A}$、$\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A}$ は、源 $(\rho,\boldsymbol{J})$ に対する真空のマクスウェル方程式（<Ref to="physics/electromagnetism/maxwell-equations#def-maxwell" />）を満たす。
</Theorem>

<Proof of="thm-retarded">
$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{z}$ と変数を置き換えます。$u(\boldsymbol{x},t):=\frac{1}{4\pi}\int\rho(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{z},t-|\boldsymbol{z}|/c)\,|\boldsymbol{z}|^{-1}dV_z$ は $\varphi=u/\varepsilon_0$ に当たります。被積分関数の $\boldsymbol{x},t$ 依存性は $\rho$ だけを通じてで、$|\boldsymbol{z}|^{-1}$ は局所可積分なので、$u$ は $C^2$ 級で微分は積分記号の中に入ります。極座標 $\boldsymbol{z}=r\boldsymbol{\omega}$（$dV_z=r^2dr\,d\sigma$）を使い、<Ref to="lem-spherical-mean" /> の $M$（$f=\rho$）で書くと
$$
u(\boldsymbol{x},t)=\int_0^\infty r\,M\bigl(\boldsymbol{x},r,t-r/c\bigr)\,dr .
$$

**(i)** 固定した $\boldsymbol{x},t$ に対し $\Phi(r)=M_r(\boldsymbol{x},r,t-r/c)$、$\Psi(r)=M_s(\boldsymbol{x},r,t-r/c)$ とおきます（$M_r,M_s$ は第 2、第 3 引数についての偏導関数）。<Ref to="lem-spherical-mean" /> (iii) により
$$
\nabla^2u=\int_0^\infty\frac1r\,\bigl[\partial_r(r^2M_r)\bigr](r,t-r/c)\,dr .
$$
$\dfrac{d}{dr}\bigl[r^2M_r(r,t-r/c)\bigr]=\bigl[\partial_r(r^2M_r)\bigr]-\dfrac{1}{c}r^2M_{rs}$ なので、被積分関数は $\frac1r(r^2\Phi)'+\frac rcM_{rs}$ です。第 1 項は $\int_0^\infty\frac1r(r^2\Phi)'dr=\int_0^\infty(2\Phi+r\Phi')\,dr=\int_0^\infty\Phi\,dr+[r\Phi]_0^\infty=\int_0^\infty\Phi\,dr$ です（$r=0$ では <Ref to="lem-spherical-mean" /> (ii) により $r\Phi\to0$、$r$ が大きいと $M=0$）。第 2 項は、$\Psi'(r)=M_{sr}-c^{-1}M_{ss}$ から $M_{rs}=\Psi'+c^{-1}M_{ss}$ を使って
$$
\frac1c\int_0^\infty rM_{rs}\,dr=\frac1c\int_0^\infty r\Psi'\,dr+\frac{1}{c^2}\int_0^\infty rM_{ss}\,dr=-\frac1c\int_0^\infty\Psi\,dr+\frac{1}{c^2}\partial_t^2u
$$
です（部分積分の境界項は $0$。また $\partial_t^2u=\int rM_{ss}\,dr$）。まとめると
$$
\nabla^2u-\frac{1}{c^2}\partial_t^2u=\int_0^\infty\Bigl(\Phi-\frac1c\Psi\Bigr)dr=\int_0^\infty\frac{d}{dr}\Bigl[M(\boldsymbol{x},r,t-r/c)\Bigr]dr=-M(\boldsymbol{x},0,t)=-\rho(\boldsymbol{x},t)
$$
で、$\Box u=-\rho$、すなわち $\Box\varphi=-\rho/\varepsilon_0$ です。$\boldsymbol{A}$ の各成分も同様です（$\rho\to J_i$、係数 $\mu_0$）。

**(ii)** 置き換えた形で $\nabla\cdot\boldsymbol{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int(\nabla\cdot\boldsymbol{J})(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{z},t-|\boldsymbol{z}|/c)|\boldsymbol{z}|^{-1}dV_z$ で、$\nabla\cdot\boldsymbol{J}=-\partial_t\rho$ を代入すると $=-\mu_0\partial_t\frac{1}{4\pi}\int\rho(\ldots)|\boldsymbol{z}|^{-1}dV_z=-\mu_0\varepsilon_0\partial_t\varphi=-c^{-2}\partial_t\varphi$ です。

**(iii)** $\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0$ と $\nabla\times\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B}$ は定義から従います（$\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})=0$ は <Ref to="physics/electromagnetism/magnetostatics#lem-div-curl" />、$\nabla\times\nabla\varphi=\boldsymbol{0}$ とあわせて）。ガウスの法則は、(ii) を使い $\nabla\cdot\boldsymbol{E}=-\nabla^2\varphi-\partial_t\nabla\cdot\boldsymbol{A}=-\nabla^2\varphi+c^{-2}\partial_t^2\varphi=-\Box\varphi=\rho/\varepsilon_0$。アンペール・マクスウェルの法則は、<Ref to="physics/electromagnetism/maxwell-equations#lem-curl-curl" /> と (ii) により $\nabla\times\boldsymbol{B}=\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})-\nabla^2\boldsymbol{A}=-c^{-2}\nabla\partial_t\varphi-\nabla^2\boldsymbol{A}$ で、$\mu_0\boldsymbol{J}+c^{-2}\partial_t\boldsymbol{E}=\mu_0\boldsymbol{J}-c^{-2}\nabla\partial_t\varphi-c^{-2}\partial_t^2\boldsymbol{A}$ との差が $-\nabla^2\boldsymbol{A}+c^{-2}\partial_t^2\boldsymbol{A}-\mu_0\boldsymbol{J}=-\Box\boldsymbol{A}-\mu_0\boldsymbol{J}=0$ です。
</Proof>

「$t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|/c$」を**遅延時刻**といいます。場 $\boldsymbol{x}$ の時刻 $t$ の値が、電荷が $\boldsymbol{y}$ にいた時刻 $t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|/c$ の状態で決まる、つまり影響が速さ $c$ で伝わることを表します。

<Remark id="rem-advanced">
同じ波動方程式には $t+|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|/c$ を使った**先進ポテンシャル**も解として存在し、証明は <Ref to="thm-retarded" /> (i) の $c\to-c$ にあたります。方程式は時間反転で不変なので、どちらも解で、「原因が結果に先行する」解を選ぶのが遅延ポテンシャルです。源が無い過去に場がなかった（$t$ が十分負で $\varphi=\boldsymbol{A}=0$）という条件を課すと、解は遅延ポテンシャルただ一つに決まります（波動方程式の初期値問題の一意性による。本記事では認めます）。
</Remark>

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## 4. 運動する点電荷：リエナール・ヴィーヘルトポテンシャル

軌道 $\boldsymbol{r}_q(t)$ を動く点電荷 $q$ の電荷密度は $\rho(\boldsymbol{y},t)=q\,\delta^3(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{r}_q(t))$、[電流密度](/physics/electromagnetism/magnetostatics#def-current-density)は $\boldsymbol{J}=q\boldsymbol{v}(t)\delta^3(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{r}_q(t))$（$\boldsymbol{v}=\dot{\boldsymbol{r}}_q$）です。これは <Ref to="thm-retarded" /> の仮定（$C^2$）を満たしませんが、$C^2$ な電荷分布の列の極限として扱い、積分を超関数として計算します。

観測点 $\boldsymbol{x}$、観測時刻 $t$ に対し、**遅延時刻** $t_r$ を方程式 $t-t_r=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t_r)|/c$ の解とします。電荷が動いていると、観測点に今届く場は、電荷の現在位置ではなく、光が進んでくる時間だけ前の位置（遅延位置）の状態で決まります。

<Figure caption="観測点 x に時刻 t で届く場は、遅延時刻 t_r の電荷の位置（遅延位置）で決まる。現在位置とは一般に異なる。">
<svg viewBox="0 0 520 280" width="100%" role="img" aria-label="曲線の軌道上に、遅延位置と現在位置の2点があり、遅延位置から観測点へ光が進む様子を示した図。">
  <defs>
    <marker id="lw-arrow" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto">
      <path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="currentColor" />
    </marker>
  </defs>
  <path d="M 60 230 Q 180 120 320 130" fill="none" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2.5" />
  <line x1="185" y1="150" x2="432" y2="66" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" stroke-dasharray="6 4" marker-end="url(#lw-arrow)" />
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  <circle cx="185" cy="150" r="6" fill="var(--sl-color-accent)" />
  <circle cx="320" cy="130" r="6" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="2" />
  <circle cx="440" cy="60" r="6" fill="currentColor" />
  <g fill="currentColor" font-size="15">
    <text x="90" y="262">電荷の軌道</text>
    <text x="110" y="176">遅延位置（時刻 t_r）</text>
    <text x="300" y="165">現在位置（時刻 t）</text>
    <text x="400" y="45">観測点 x</text>
    <text x="270" y="86">光（速さ c）</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

<Lemma id="lem-retarded-time" title="遅延時刻の存在と一意性">
$\boldsymbol{r}_q$ が $C^1$ 級で $|\boldsymbol{v}(t)|\le v_{\max}<c$ ならば、任意の $(\boldsymbol{x},t)$ に対して遅延時刻 $t_r$ がただ一つ存在する。
</Lemma>

<Proof of="lem-retarded-time">
$g(t')=t'+|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t')|/c$ とおくと、$t_1<t_2$ に対し三角不等式から $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t_2)|-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t_1)|\ge-|\boldsymbol{r}_q(t_2)-\boldsymbol{r}_q(t_1)|\ge-v_{\max}(t_2-t_1)$ なので
$$
g(t_2)-g(t_1)\ge\Bigl(1-\frac{v_{\max}}{c}\Bigr)(t_2-t_1)>0
$$
です。よって $g$ は連続で狭義単調増加、かつ $t'\to\pm\infty$ で $\pm\infty$ に発散します。中間値の定理により $g(t_r)=t$ の解がただ一つ存在します。
</Proof>

<Theorem id="thm-lw" title="リエナール・ヴィーヘルトポテンシャル">
上の設定で、$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t_r)$、$R=|\boldsymbol{R}|$、$\hat{\boldsymbol{n}}=\boldsymbol{R}/R$、$\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{v}(t_r)/c$ として
$$
\varphi(\boldsymbol{x},t)=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R\,(1-\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\beta})},\qquad\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)=\frac{\mu_0q}{4\pi}\frac{\boldsymbol{v}(t_r)}{R\,(1-\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\beta})}=\frac{\boldsymbol{v}(t_r)}{c^2}\varphi(\boldsymbol{x},t)
$$
である。
</Theorem>

<Proof of="thm-lw">
<Ref to="thm-retarded" /> の式の $\rho(\boldsymbol{y},t-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|/c)$ を $\int\rho(\boldsymbol{y},t')\,\delta\bigl(t-t'-|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|/c\bigr)dt'$ と書くと、$\boldsymbol{y}$ の積分は $\delta^3$ で実行でき
$$
\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\delta\bigl(t-g(t')\bigr)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t')|}\,dt',\qquad g(t')=t'+\frac{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t')|}{c}
$$
です。<Ref to="lem-retarded-time" /> により $g(t')=t$ の解は $t_r$ ただ一つで、$\delta(t-g(t'))=\delta(t'-t_r)/|g'(t_r)|$ です。$g'(t')=1+\frac1c\frac{d}{dt'}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t')|=1-\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{v}/c$（$\frac{d}{dt'}|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q|=-\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{v}$）で正なので、$\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R(1-\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\beta})}$ です。$\boldsymbol{A}$ は $\rho\to\boldsymbol{J}=\rho\boldsymbol{v}$、$1/\varepsilon_0\to\mu_0$ の置き換えで同じ計算になります。
</Proof>

分母の $1-\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\beta}$ は、遅延時刻の取り方が観測点の位置により変わることから来るヤコビアンです。電荷が観測者に向かって動いているとき（$\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\beta}>0$）は 1 より小さくなり、ポテンシャルは強まります。

<Example id="ex-uniform-motion" title="等速運動する電荷のポテンシャル">
$\boldsymbol{v}$ が一定のとき、現在時刻 $t$ での電荷の位置 $\boldsymbol{r}_q(t)$ から $\boldsymbol{x}$ へのベクトルを $\boldsymbol{d}=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{r}_q(t)$ とします。遅延時刻の位置は $\boldsymbol{r}_q(t_r)=\boldsymbol{r}_q(t)-\boldsymbol{v}(t-t_r)=\boldsymbol{r}_q(t)-\boldsymbol{\beta}R$（$R=c(t-t_r)$）なので、$\boldsymbol{R}=\boldsymbol{d}+\boldsymbol{\beta}R$ です。両辺の大きさの 2 乗から $(1-\beta^2)R^2-2R\,\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{d}-d^2=0$ で、
$$
R(1-\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{\beta})=R-\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{R}=(1-\beta^2)R-\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{d}=\sqrt{(\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{d})^2+(1-\beta^2)d^2}=\sqrt{d^2-|\boldsymbol{\beta}\times\boldsymbol{d}|^2}
$$
です（$R$ の 2 次方程式の正の解 $R=[\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{d}+\sqrt{(\boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{d})^2+(1-\beta^2)d^2}]/(1-\beta^2)$ を使った）。したがって
$$
\varphi=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\sqrt{d_\parallel^2+(1-\beta^2)d_\perp^2}}=\gamma\,\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{\gamma^2d_\parallel^2+d_\perp^2}},\qquad\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}
$$
です。ここで $d_\parallel,d_\perp$ は $\boldsymbol{d}$ の $\boldsymbol{v}$ に平行・垂直な成分です。電荷の静止系での距離は $r'=\sqrt{\gamma^2d_\parallel^2+d_\perp^2}$ なので、$\varphi=\gamma\varphi'$（$\varphi'=q/(4\pi\varepsilon_0r')$）、$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{v}\varphi/c^2$ です。これは <Ref to="physics/electromagnetism/gauge-potentials#def-four-potential" /> の 4 元ポテンシャル $(\varphi/c,\boldsymbol{A})$ が静止系の $(\varphi'/c,\boldsymbol{0})$ をローレンツ変換したものになっていることにほかならず、遅延ポテンシャルの結果が特殊相対論と整合しています。たとえば、運動方向では $\varphi=q/(4\pi\varepsilon_0d)$（通常のクーロンポテンシャルと同じ）、横方向では $\gamma q/(4\pi\varepsilon_0d)$ と、運動方向に垂直な方向に強まります。
</Example>

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## 5. 放射場と双極子放射

### 5.1. 遠方の場

源が $|\boldsymbol{y}|\le L$ に収まっているとし、観測点を $\boldsymbol{x}=r\hat{\boldsymbol{n}}$（$r\gg L$）に取ります。遅延ポテンシャルの分母 $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=r-\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{y}+O(L^2/r)$ で、$1/r$ の係数を取り出すと
$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\approx\frac{\mu_0}{4\pi r}\int\boldsymbol{J}\Bigl(\boldsymbol{y},\,t-\frac rc+\frac{\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{y}}{c}\Bigr)dV_y
$$
です。この $\boldsymbol{A}$ は $\boldsymbol{F}(t-r/c,\hat{\boldsymbol{n}})/r$ の形の項（外向きに進む波）が主要部です。このように、源から十分離れて $1/r$ の項が支配的になる領域を**波動帯**（放射領域）といいます。次の命題は、そこでの電場・磁場・エネルギーの流れの向きと大きさの関係を求めます。$r^{-2}$ 以下の項は $r$ が大きいと $r^{-1}$ の項に比べて無視できるので、証明では $r^{-1}$ の項だけを残します。

<Proposition id="prop-wave-zone" title="波動帯での場の関係">
遠方で $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{F}(t-r/c,\hat{\boldsymbol{n}})/r$ と書けるとき、$r^{-1}$ のオーダーの場について
$$
\boldsymbol{B}=-\frac1c\,\hat{\boldsymbol{n}}\times\partial_t\boldsymbol{A},\qquad\boldsymbol{E}=c\,\boldsymbol{B}\times\hat{\boldsymbol{n}},\qquad\boldsymbol{S}=\frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}=\frac{c}{\mu_0}|\boldsymbol{B}|^2\hat{\boldsymbol{n}}
$$
が成り立つ。$\boldsymbol{E},\boldsymbol{B},\hat{\boldsymbol{n}}$ は互いに直交する。
</Proposition>

<Proof of="prop-wave-zone">
$\nabla(t-r/c)=-\hat{\boldsymbol{n}}/c$ なので、$\nabla\times\bigl[\boldsymbol{F}(t-r/c,\hat{\boldsymbol{n}})/r\bigr]=-\frac{1}{cr}\hat{\boldsymbol{n}}\times\partial_t\boldsymbol{F}+O(r^{-2})$ です（$\hat{\boldsymbol{n}}$ と $1/r$ の微分は $O(r^{-2})$ を与える）。これが $\boldsymbol{B}$ の式です。次に、電荷のない遠方で $\partial_t\boldsymbol{E}=c^2\nabla\times\boldsymbol{B}$ （<Ref to="physics/electromagnetism/maxwell-equations#def-maxwell" /> の (M4)）が成り立ち、$\boldsymbol{B}$ も $t-r/c$ の関数なので同じ計算で $\nabla\times\boldsymbol{B}=-\frac1c\hat{\boldsymbol{n}}\times\partial_t\boldsymbol{B}+O(r^{-2})$ です。時間で積分して（時間によらない項は $r^{-2}$ 以下）$\boldsymbol{E}=-c\,\hat{\boldsymbol{n}}\times\boldsymbol{B}=c\boldsymbol{B}\times\hat{\boldsymbol{n}}$ を得ます。$\boldsymbol{B}$ の式から $\boldsymbol{B}\perp\hat{\boldsymbol{n}}$、$\boldsymbol{E}$ の式から $\boldsymbol{E}\perp\hat{\boldsymbol{n}},\boldsymbol{B}$ です。$\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}=c(\boldsymbol{B}\times\hat{\boldsymbol{n}})\times\boldsymbol{B}=c\bigl[\hat{\boldsymbol{n}}|\boldsymbol{B}|^2-\boldsymbol{B}(\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{B})\bigr]=c|\boldsymbol{B}|^2\hat{\boldsymbol{n}}$ です。
</Proof>

$|\boldsymbol{B}|\propto1/r$ なので $|\boldsymbol{S}|\propto r^{-2}$ で、半径 $r$ の球面を通るパワーは $r$ によらない有限値になります。これが放射です。

### 5.2. 電気双極子放射

源の大きさ $L$ が、考える波長 $\lambda\sim c/\omega$ より十分小さい（$\omega L/c\ll1$）場合を考えます。このとき $\boldsymbol{J}$ の遅延時刻の $\hat{\boldsymbol{n}}\cdot\boldsymbol{y}/c$ のずれを無視してよく、
$$
\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x},t)\approx\frac{\mu_0}{4\pi r}\int\boldsymbol{J}\bigl(\boldsymbol{y},t-r/c\bigr)dV_y
$$
です。この積分は電気双極子モーメントで書けます。

<Lemma id="lem-current-integral" title="電流の体積積分">
$\boldsymbol{p}(t)=\int\boldsymbol{y}\,\rho(\boldsymbol{y},t)\,dV_y$ とすると、電荷保存則のもとで $\int\boldsymbol{J}\,dV=\dot{\boldsymbol{p}}$ である。
</Lemma>

<Proof of="lem-current-integral">
$\nabla\cdot(y_i\boldsymbol{J})=J_i+y_i\nabla\cdot\boldsymbol{J}=J_i-y_i\partial_t\rho$ です。$\boldsymbol{J}$ は有界な台をもつので、左辺の全空間積分は発散定理により $0$ で、$\int J_i\,dV=\int y_i\partial_t\rho\,dV=\dot p_i$ です。
</Proof>

<Theorem id="thm-dipole-radiation" title="電気双極子放射">
源が $|\boldsymbol{y}|\le L$ にあり、$\omega L/c\ll1$ （$\omega$ は時間変化の特徴的な角周波数）とする。波動帯では
$$
\boldsymbol{B}=-\frac{\mu_0}{4\pi c\,r}\,\hat{\boldsymbol{n}}\times\ddot{\boldsymbol{p}}\bigl(t-r/c\bigr),\qquad\boldsymbol{E}=c\boldsymbol{B}\times\hat{\boldsymbol{n}}
$$
で、ポインティング・ベクトルは $\boldsymbol{S}=\dfrac{\mu_0}{16\pi^2c\,r^2}|\ddot{\boldsymbol{p}}|^2\sin^2\Theta\,\hat{\boldsymbol{n}}$（$\Theta$ は $\ddot{\boldsymbol{p}}$ と $\hat{\boldsymbol{n}}$ のなす角）、放射される全パワーは
$$
P(t)=\oint\boldsymbol{S}\cdot\hat{\boldsymbol{n}}\,r^2d\Omega=\frac{\mu_0}{6\pi c}\,\bigl|\ddot{\boldsymbol{p}}(t-r/c)\bigr|^2
$$
である。
</Theorem>

<Proof of="thm-dipole-radiation">
上の近似と <Ref to="lem-current-integral" /> により $\boldsymbol{A}\approx\frac{\mu_0}{4\pi r}\dot{\boldsymbol{p}}(t-r/c)$ です。<Ref to="prop-wave-zone" /> に代入すると $\boldsymbol{B}=-\frac1c\hat{\boldsymbol{n}}\times\partial_t\boldsymbol{A}=-\frac{\mu_0}{4\pi cr}\hat{\boldsymbol{n}}\times\ddot{\boldsymbol{p}}$ で、$|\boldsymbol{B}|=\frac{\mu_0}{4\pi cr}|\ddot{\boldsymbol{p}}|\sin\Theta$ です。したがって $\boldsymbol{S}=\frac{c}{\mu_0}|\boldsymbol{B}|^2\hat{\boldsymbol{n}}$ は主張の形です。全パワーは、$\ddot{\boldsymbol{p}}$ の方向を極軸にとると
$$
\oint\sin^2\Theta\,d\Omega=2\pi\int_0^\pi\sin^3\Theta\,d\Theta=2\pi\cdot\frac43=\frac{8\pi}{3}
$$
より $\frac{\mu_0|\ddot{\boldsymbol{p}}|^2}{16\pi^2c}\cdot\frac{8\pi}{3}=\frac{\mu_0|\ddot{\boldsymbol{p}}|^2}{6\pi c}$ です。球面を通る全パワーは、<Ref to="physics/electromagnetism/maxwell-equations#thm-poynting" text="ポインティングの定理" /> により場から失われる（外へ運ばれる）エネルギーの割合です。
</Proof>

<Figure caption="電気双極子放射の角度分布 sin²Θ。双極子の軸方向には放射せず、軸に垂直な方向に最も強く放射する。">
<svg viewBox="0 0 520 300" width="100%" role="img" aria-label="双極子の軸を縦に取った放射パターン。軸の上下ではゼロ、赤道面で最大の、ドーナツを断面で見た2つの葉の図。">
  <defs>
    <marker id="rad-arrow" viewBox="0 0 10 10" refX="9" refY="5" markerWidth="7" markerHeight="7" orient="auto">
      <path d="M 0 0 L 10 5 L 0 10 z" fill="currentColor" />
    </marker>
  </defs>
  <line x1="260" y1="260" x2="260" y2="30" stroke="currentColor" stroke-width="1.5" marker-end="url(#rad-arrow)" />
  <line x1="60" y1="150" x2="460" y2="150" stroke="currentColor" stroke-width="1" stroke-dasharray="4 4" />
  <g fill="var(--sl-color-accent)" fill-opacity="0.25" stroke="var(--sl-color-accent)" stroke-width="2">
    <polygon points="260,150 262.4,140.9 277.5,119.6 309.6,100.4 351,97.5 386.1,116.1 400,150 386.1,183.9 351,202.5 309.6,199.6 277.5,180.4 262.4,159.1" />
    <polygon points="260,150 257.6,140.9 242.5,119.6 210.4,100.4 169,97.5 133.9,116.1 120,150 133.9,183.9 169,202.5 210.4,199.6 242.5,180.4 257.6,159.1" />
  </g>
  <g fill="currentColor" font-size="15">
    <text x="272" y="40">p̈（軸）</text>
    <text x="410" y="145">最大</text>
    <text x="272" y="75">dP/dΩ ∝ sin²Θ</text>
  </g>
</svg>
</Figure>

<Corollary id="cor-larmor" title="ラーモアの公式">
加速度 $\boldsymbol{a}$ で運動する非相対論的な（$v\ll c$）点電荷 $q$ は、パワー
$$
P=\frac{\mu_0q^2a^2}{6\pi c}=\frac{q^2a^2}{6\pi\varepsilon_0c^3}
$$
を放射する。放射場の強度は $\sin^2\Theta$（$\Theta$ は $\boldsymbol{a}$ と観測方向のなす角）に比例する。
</Corollary>

<Proof of="cor-larmor">
軌道が代表的な振幅 $x_0$ と角周波数 $\omega$ をもつとき $v\sim\omega x_0$ なので、$v\ll c$ は $\omega x_0/c\ll1$、すなわち <Ref to="thm-dipole-radiation" /> の仮定です。点電荷の $\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{r}_q(t)$ から $\ddot{\boldsymbol{p}}=q\boldsymbol{a}$ なので、<Ref to="thm-dipole-radiation" /> に代入して主張を得ます。
</Proof>

<Example id="ex-classical-atom" title="古典的な原子の寿命">
水素原子のボーア半径 $a_B=5.29\times10^{-11}\,\mathrm{m}$ の円軌道を速さ $v=\alpha c=2.19\times10^6\,\mathrm{m/s}$ で回る電子を考えると、加速度は $a=v^2/a_B=9.1\times10^{22}\,\mathrm{m/s^2}$ です。<Ref to="cor-larmor" /> から
$$
P=\frac{(1.60\times10^{-19})^2(9.1\times10^{22})^2}{6\pi(8.85\times10^{-12})(3.00\times10^8)^3}\approx4.7\times10^{-8}\,\mathrm{W}.
$$
軌道エネルギー $13.6\,\mathrm{eV}=2.2\times10^{-18}\,\mathrm{J}$ をこのパワーで割ると、約 $5\times10^{-11}\,\mathrm{s}$ です。古典電磁気学は、原子が $10^{-10}\,\mathrm{s}$ 程度で潰れると予言してしまいます。これが量子力学が必要になった理由の一つです。
</Example>

<Example id="ex-antenna" title="短い線アンテナの放射抵抗">
長さ $\ell\ll\lambda$ の短い線に、振幅 $I_0$、角周波数 $\omega$ の電流が一様に流れているとします（線の両端に電荷をためる導体球を付けて、電流が線全体で一様になるようにした理想化です。普通の線アンテナでは電流が両端で $0$ になるため、放射抵抗は $1/4$ になります）。両端の電荷が逆符号で振動し、双極子モーメントの振幅は $p_0=I_0\ell/\omega$ です（$\dot p=I\ell$ より）。<Ref to="thm-dipole-radiation" /> から時間平均のパワーは $\langle P\rangle=\dfrac{\mu_0}{6\pi c}\cdot\dfrac{\omega^4p_0^2}{2}=\dfrac{\mu_0\omega^2\ell^2}{12\pi c}I_0^2$ で、$\langle P\rangle=\frac12R_{\mathrm{rad}}I_0^2$ と書けば
$$
R_{\mathrm{rad}}=\frac{\mu_0\omega^2\ell^2}{6\pi c}=\frac{2\pi}{3}Z_0\Bigl(\frac\ell\lambda\Bigr)^2\approx790\Bigl(\frac\ell\lambda\Bigr)^2\ \Omega,\qquad Z_0=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx377\,\Omega
$$
です。$\ell=\lambda/10$ では約 $7.9\,\Omega$ で、放射は $(\ell/\lambda)^2$ に比例して急激に小さくなります。短いアンテナで効率よく電波を出せない理由です。同じ原理で、青い光は赤い光より $\omega^4$ に比例して強く散乱されます（空が青い理由の一つ）。
</Example>

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## 6. 放射反作用

### 6.1. エネルギー収支からアブラハム・ローレンツ方程式へ

電荷が <Ref to="cor-larmor" /> のパワーを放射するなら、エネルギー保存則により、電荷自身が同じだけエネルギーを失っているはずです。これを、電荷に働く追加の力 $\boldsymbol{F}_{\mathrm{rad}}$ として表したのが放射反作用です。非相対論的な場合（$v\ll c$）を考え、
$$
\tau:=\frac{\mu_0q^2}{6\pi mc}=\frac{2}{3}\frac{r_e}{c},\qquad r_e=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0mc^2}
$$
とおきます。電子では $r_e=2.82\times10^{-15}\,\mathrm{m}$（古典電子半径。電荷の静電エネルギーが $mc^2$ 程度になる長さの目安）、$\tau=6.26\times10^{-24}\,\mathrm{s}$ です。$\tau$ は光が $r_e$ の 2/3 を横切る時間です。

<Proposition id="prop-al" title="エネルギー収支とアブラハム・ローレンツの力">
外力 $\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}$ のもとで $m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}+\boldsymbol{F}_{\mathrm{rad}}$ と運動し、放射パワー $P=m\tau a^2$（<Ref to="cor-larmor" />）の分のエネルギーを失うとする。時刻 $t_1,t_2$ で加速度が $\boldsymbol{a}(t_1)\cdot\boldsymbol{v}(t_1)=\boldsymbol{a}(t_2)\cdot\boldsymbol{v}(t_2)$ を満たす（たとえば周期運動の 1 周期、あるいは両端で $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$）ならば、
$$
\boldsymbol{F}_{\mathrm{rad}}=m\tau\,\dot{\boldsymbol{a}}
$$
は、反作用力がする仕事 $\int_{t_1}^{t_2}\boldsymbol{F}_{\mathrm{rad}}\cdot\boldsymbol{v}\,dt$ を放射エネルギーの損失 $-\int_{t_1}^{t_2}P\,dt$ に等しくする。
</Proposition>

<Proof of="prop-al">
部分積分により $\int_{t_1}^{t_2}a^2dt=\bigl[\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{v}\bigr]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\dot{\boldsymbol{a}}\cdot\boldsymbol{v}\,dt$ です。仮定により境界項は $0$ で、$\int\boldsymbol{F}_{\mathrm{rad}}\cdot\boldsymbol{v}\,dt=m\tau\int\dot{\boldsymbol{a}}\cdot\boldsymbol{v}\,dt=-m\tau\int a^2dt=-\int P\,dt$ です。
</Proof>

こうして得られる

$$
m\boldsymbol{a}=\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}+m\tau\,\dot{\boldsymbol{a}}\qquad\text{（アブラハム・ローレンツ方程式）}
$$

は、**加速度の時間微分**を含みます。通常の運動方程式は $\boldsymbol{x}$ の 2 階微分で、初期位置と初速度を与えれば解が決まりますが、この方程式は 3 階で、初期加速度も必要です。この追加の自由度が、次のような奇妙な解を生みます。

<Remark id="rem-al-derivation">
<Ref to="prop-al" /> は、「仮定した区間でエネルギー収支が合う、最も簡単な力」を求めたもので、放射反作用の導出としては発見的なものです。電荷を半径 $a$ の剛体球とみなし、その自己場が電荷自身に及ぼす力を計算する（ローレンツ、アブラハム）と、$a\to0$ の極限で $-\frac43\frac{U_{\mathrm{em}}}{c^2}\boldsymbol{a}+m\tau\dot{\boldsymbol{a}}$ が現れることが知られています（第 1 項は電磁場のエネルギー $U_{\mathrm{em}}$ に由来する慣性質量で、観測される質量 $m$ に繰り込まれ、$a\to0$ で発散します）。この計算は本記事では認め、参考文献に回します。方程式の適用範囲は、考える時間スケールが $\tau$ より十分長く、かつ量子効果が無視できる場合に限られます。
</Remark>

### 6.2. 暴走解と前加速

次の定理は、アブラハム・ローレンツ方程式が通常の力学と違う奇妙な振る舞いをすることを示します。(i) は外力がないのに加速度が勝手に増え続ける解があるという主張、(ii) は、そのような解を除くと加速度が外力の「未来」の値から決まり、力が入る前から動き始めるという主張です。(ii) の「もしあれば」は、公式の右辺の積分が収束するなど、解が存在する場合に限ってこの形に決まるという意味です。

<Theorem id="thm-runaway" title="暴走解と前加速">
(i) $\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}=\boldsymbol{0}$ のとき、解は $\boldsymbol{a}(t)=\boldsymbol{a}_0e^{t/\tau}$ で、$\boldsymbol{a}_0\ne\boldsymbol{0}$ なら加速度が指数関数的に増大し続ける（暴走解）。

(ii) $\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}(t)$ が連続で有界ならば、$t\to\infty$ で加速度が有界にとどまる解（暴走しない解）は、もしあれば
$$
\boldsymbol{a}(t)=\frac{1}{m\tau}\int_t^\infty e^{-(s-t)/\tau}\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}(s)\,ds
$$
ただ一つである。この解では、外力が $t=0$ で急に入ると、加速度は外力が入る前の時刻から立ち上がる（前加速）。
</Theorem>

<Proof of="thm-runaway">
(i) $\boldsymbol{a}=\tau\dot{\boldsymbol{a}}$ は $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{a}_0e^{t/\tau}$ を一般解にもちます。

(ii) 方程式を $\dot{\boldsymbol{a}}-\boldsymbol{a}/\tau=-\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}/(m\tau)$ と書き直し、$e^{-t/\tau}$ を掛けると $\dfrac{d}{dt}\bigl(e^{-t/\tau}\boldsymbol{a}\bigr)=-\dfrac{1}{m\tau}e^{-t/\tau}\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}(t)$ です。$t$ から $T$ まで積分して
$$
e^{-T/\tau}\boldsymbol{a}(T)=e^{-t/\tau}\boldsymbol{a}(t)-\frac{1}{m\tau}\int_t^Te^{-s/\tau}\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}(s)\,ds .
$$
$\boldsymbol{a}$ が有界ならば $T\to\infty$ で左辺は $0$ に近づき、右辺の積分は（$\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}$ が有界なので）収束します。よって $e^{-t/\tau}\boldsymbol{a}(t)=\frac{1}{m\tau}\int_t^\infty e^{-s/\tau}\boldsymbol{F}_{\mathrm{ext}}(s)\,ds$、両辺に $e^{t/\tau}$ を掛けて主張の式を得ます。前加速の具体例は下の例で確かめます。
</Proof>

<Example id="ex-preacceleration" title="階段状の力に対する応答">
$F_{\mathrm{ext}}(s)=F_0$（$s>0$）、$F_{\mathrm{ext}}(s)=0$（$s<0$）に対し、<Ref to="thm-runaway" /> (ii) の積分を計算すると、$t>0$ では $a(t)=\frac{1}{m\tau}\int_t^\infty e^{-(s-t)/\tau}F_0\,ds=F_0/m$（通常のニュートン力学の結果）、$t<0$ では
$$
a(t)=\frac{1}{m\tau}\int_0^\infty e^{-(s-t)/\tau}F_0\,ds=\frac{F_0}{m}e^{t/\tau}
$$
です。加速は力が入る時間 $\tau\sim10^{-23}\,\mathrm{s}$ 程度前から始まります。結果が原因より先に現れるので因果律に反しているように見えますが、$\tau$ は光が古典電子半径を横切る時間で、このスケールでは古典電磁気学自体が成り立たなくなります（量子効果が効き、電子の大きさの描像も破れます）。実際、方程式の適用範囲より短い現象です。
</Example>

<Example id="ex-damped-oscillator" title="振動電荷の減衰と自然幅">
復元力 $-m\omega_0^2\boldsymbol{x}$ で束縛された電荷は、$m\ddot{\boldsymbol{x}}=-m\omega_0^2\boldsymbol{x}+m\tau\dddot{\boldsymbol{x}}$ に従います。$\tau\omega_0\ll1$ のとき、右辺の第 3 項を $\dddot{\boldsymbol{x}}\approx-\omega_0^2\dot{\boldsymbol{x}}$（調和振動の近似）で置き換えると
$$
\ddot{\boldsymbol{x}}+\Gamma\dot{\boldsymbol{x}}+\omega_0^2\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0},\qquad\Gamma=\tau\omega_0^2
$$
となり、振幅が $e^{-\Gamma t/2}$、エネルギーが $e^{-\Gamma t}$ で減衰します。波長 $540\,\mathrm{nm}$ の光（$\omega_0=3.5\times10^{15}\,\mathrm{s^{-1}}$）では $\Gamma=6.26\times10^{-24}\times(3.5\times10^{15})^2\approx7.7\times10^7\,\mathrm{s^{-1}}$ で、原子の可視遷移の自然幅（寿命 $10^{-8}\,\mathrm{s}$ 程度）とほぼ同じ桁です。
</Example>

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## 7. 低周波のスペクトルと赤外発散

電荷が時間 $T$ の間に速度を $\Delta\boldsymbol{v}$ だけ変える（散乱、衝突、$\beta$ 崩壊など）場合に放射されるエネルギーを、周波数ごとに分解します。

<Proposition id="prop-infrared" title="放射エネルギーの低周波スペクトル">
非相対論的な点電荷の加速度 $\boldsymbol{a}(t)$ が $L^1\cap L^2$ に属し、全体の速度変化 $\Delta\boldsymbol{v}=\int\boldsymbol{a}\,dt$ とする。放射される全エネルギーを $W=\int_0^\infty\frac{dW}{d\omega}d\omega$ と角周波数で分解したとき、
$$
\frac{dW}{d\omega}=\frac{\mu_0q^2}{6\pi^2c}\,|\tilde{\boldsymbol{a}}(\omega)|^2,\qquad\tilde{\boldsymbol{a}}(\omega)=\int\boldsymbol{a}(t)e^{i\omega t}dt,
$$
であり、$\omega\to0$ の極限は $\dfrac{\mu_0q^2}{6\pi^2c}|\Delta\boldsymbol{v}|^2$ に等しい。さらに、角周波数 $\omega_{\min}$ から $\omega_{\max}$ の間に放射される光子の平均個数は、$\hbar\omega$ を 1 光子のエネルギーとして
$$
N=\int_{\omega_{\min}}^{\omega_{\max}}\frac{1}{\hbar\omega}\frac{dW}{d\omega}d\omega\approx\frac{2\alpha}{3\pi}\Bigl(\frac{|\Delta\boldsymbol{v}|}{c}\Bigr)^2\ln\frac{\omega_{\max}}{\omega_{\min}}\qquad(\omega_{\min}<\omega_{\max}\ll1/T)
$$
と対数的に大きくなり、$\omega_{\min}\to0$ で発散する。ここで $T$ は加速が起こる時間幅、 $\alpha=q^2/(4\pi\varepsilon_0\hbar c)$ は[微細構造定数](/physics/physics-columns/famous-physicists#def-fine-structure)である。
</Proposition>

<Proof of="prop-infrared">
全放射エネルギーは <Ref to="cor-larmor" /> から $W=\frac{\mu_0q^2}{6\pi c}\int_{-\infty}^\infty|\boldsymbol{a}|^2dt$ です。$\boldsymbol{a}\in L^1\cap L^2$ なので、プランシェレルの等式 $\int|\boldsymbol{a}|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|\tilde{\boldsymbol{a}}|^2d\omega$ が使えます（<Ref to="mathematics/fourier-analysis/fourier-transform#thm-plancherel" text="Plancherel の定理" /> は符号が $e^{-ix\cdot\xi}$ の流儀ですが、$|\tilde{\boldsymbol{a}}|$ は符号によらず、係数 $(2\pi)^n$ も同じ形です）。$\boldsymbol{a}$ は実数なので $|\tilde{\boldsymbol{a}}(-\omega)|=|\tilde{\boldsymbol{a}}(\omega)|$ で、$\omega>0$ に畳むと $\int|\boldsymbol{a}|^2dt=\frac1\pi\int_0^\infty|\tilde{\boldsymbol{a}}|^2d\omega$ です。よって $dW/d\omega=\frac{\mu_0q^2}{6\pi^2c}|\tilde{\boldsymbol{a}}(\omega)|^2$ です。$\boldsymbol{a}\in L^1$ から $\tilde{\boldsymbol{a}}$ は連続で $\tilde{\boldsymbol{a}}(0)=\int\boldsymbol{a}\,dt=\Delta\boldsymbol{v}$ なので、$\omega\to0$ の極限が求まります。光子数は、エネルギー $dW$ を光子 1 個のエネルギー $\hbar\omega$ で割って足したものです。$\tilde{\boldsymbol{a}}\approx\Delta\boldsymbol{v}$ が成り立つ範囲（$\omega\ll1/T$）では $N\approx\frac{\mu_0q^2|\Delta\boldsymbol{v}|^2}{6\pi^2c\hbar}\ln\frac{\omega_{\max}}{\omega_{\min}}$ で、$\mu_0q^2=4\pi\alpha\hbar/c$ から係数は $\frac{2\alpha}{3\pi}\frac{|\Delta\boldsymbol{v}|^2}{c^2}$ です。
</Proof>

低周波の放射エネルギーが周波数によらず有限の値に近づくので、エネルギーを光子の個数に換算すると $\int d\omega/\omega$ が現れ、対数発散します。これが**赤外発散**の古典的な起源です。荷電粒子が衝突などで速度を変える過程では、波長が長い（軟）光子が無限個放出されることになり、光子数が確定した状態への遷移確率が $0$ になります。場の量子論では、放出される軟光子の数を和（包括的な過程）で数えれば有限になることが知られています。この問題を、電子と量子化された電磁場を結合した模型で厳密に調べたものが [パウリ・フィールツ模型](/physics/fock-space/pauli-fierz-model) です。

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## 8. 演習

<Exercise id="exr-cyclotron" difficulty="標準">
磁束密度 $B=1\,\mathrm{T}$ の中で円運動する非相対論的な電子について、(a) 放射パワーを速さ $v$ で表し、(b) 運動エネルギーが $1/e$ に減る時間（サイクロトロン冷却時間）を求めよ。
<Solution>
円運動の角周波数は $\omega_c=eB/m=1.76\times10^{11}\,\mathrm{s^{-1}}$、加速度は $a=\omega_cv$ です。(a) <Ref to="cor-larmor" /> から $P=m\tau a^2=m\tau\omega_c^2v^2$。(b) 運動エネルギー $K=\frac12mv^2$ は $dK/dt=-P=-2\tau\omega_c^2K$ に従うので、$K\propto e^{-t/t_c}$、$t_c=1/(2\tau\omega_c^2)=1/(2\times6.26\times10^{-24}\times(1.76\times10^{11})^2)\approx2.6\,\mathrm{s}$ です。磁場が強いほど（$\propto B^{-2}$）電子は速く冷えます。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-lw-transverse" difficulty="易">
等速運動する電荷の <Ref to="ex-uniform-motion" /> のポテンシャルで、運動方向に垂直な向き（$\boldsymbol{d}\perp\boldsymbol{v}$）の $\varphi$ を現在位置からの距離 $d$ で表し、静止電荷のクーロンポテンシャルと比べよ。
<Solution>
$d_\parallel=0$、$d_\perp=d$ で $\varphi=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{(1-\beta^2)d^2}}=\dfrac{\gamma q}{4\pi\varepsilon_0d}$ です。静止電荷より $\gamma$ 倍強く、$\beta\to1$ でいくらでも強くなります。運動方向では $\varphi=q/(4\pi\varepsilon_0|d_\parallel|)$ で、静止電荷と同じです。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-oscillating-charge" difficulty="標準">
電荷 $q$ が $x=x_0\cos\omega t$（$x_0\omega\ll c$）で直線振動している。(a) <Ref to="cor-larmor" /> を使って時間平均の放射パワーを求め、(b) <Ref to="thm-dipole-radiation" /> に $p_0=qx_0$ を代入した結果と一致することを確かめよ。(c) 放射反作用によるエネルギー損失の割合 $\langle P\rangle/E$（$E=\frac12m\omega^2x_0^2$ は力学的エネルギー）が $\tau\omega^2$ に等しいことを示せ。
<Solution>
(a) 加速度は $a=-\omega^2x_0\cos\omega t$ で、$\langle a^2\rangle=\omega^4x_0^2/2$ なので $\langle P\rangle=\dfrac{\mu_0q^2}{6\pi c}\cdot\dfrac{\omega^4x_0^2}{2}=\dfrac{\mu_0q^2\omega^4x_0^2}{12\pi c}$。(b) $\ddot p=-\omega^2qx_0\cos\omega t$ から $\langle P\rangle=\dfrac{\mu_0}{6\pi c}\cdot\dfrac{\omega^4p_0^2}{2}$ で同じ式です。(c) $\langle P\rangle=m\tau\langle a^2\rangle=\frac12m\tau\omega^4x_0^2$ なので $\langle P\rangle/E=\dfrac{\frac12m\tau\omega^4x_0^2}{\frac12m\omega^2x_0^2}=\tau\omega^2$ です。エネルギー $E$ の時間変化率は $-\tau\omega^2E$ で、<Ref to="ex-damped-oscillator" /> の $\Gamma=\tau\omega^2$ と一致します。
</Solution>
</Exercise>

<Exercise id="exr-radiation-angular" difficulty="易">
<Ref to="thm-dipole-radiation" /> で、双極子モーメントの振動 $\boldsymbol{p}=p_0\cos\omega t\,\boldsymbol{e}_z$ のとき、全方向にわたる時間平均パワーを求め、$\omega$ にどう依存するか答えよ。
<Solution>
$\ddot{\boldsymbol{p}}=-\omega^2p_0\cos\omega t\,\boldsymbol{e}_z$、$\langle\cos^2\omega t\rangle=1/2$ なので、$\langle P\rangle=\dfrac{\mu_0}{6\pi c}\cdot\dfrac{\omega^4p_0^2}{2}=\dfrac{\mu_0\omega^4p_0^2}{12\pi c}$ です。$\omega^4$ に比例するので、周波数を 2 倍にすると放射は 16 倍になります。
</Solution>
</Exercise>

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## 参考文献

- J. D. Jackson『電磁気学（原書第 3 版）』（Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley, 1999）— 第 6 章（ゲージ変換、遅延グリーン関数）、第 9 章（放射系）、第 14 章（運動する荷電粒子の放射）、第 16 章（放射反作用）。
- D. J. Griffiths, *Introduction to Electrodynamics*, 4th ed., Cambridge University Press, 2017 — 第 10 章（Potentials and Fields）、第 11 章（Radiation）、第 12 章（Electrodynamics and Relativity）。
- L. D. Landau, E. M. Lifshitz, *The Classical Theory of Fields*, 4th ed., Pergamon Press, 1975 — 運動する電荷の場、放射、放射反作用に当たる各章。
- F. Rohrlich, *Classical Charged Particles*, 3rd ed., World Scientific, 2007 — アブラハム・ローレンツ方程式と前加速。
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, *The Feynman Lectures on Physics, Vol. II* — 第 21 章（Solutions of Maxwell's Equations with Currents and Charges）。