## 2. 準備
### 2.1. 場と源、単位
真空中の電磁場を、時刻 $t$ と位置 $\boldsymbol{r} = (x,y,z)$ の関数として
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \quad [\mathrm{V/m}], \qquad
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \quad [\mathrm{T}]
$$
と書きます。源は電荷密度 $\rho(\boldsymbol{r},t)\ [\mathrm{C/m^3}]$ と電流密度 $\boldsymbol{J}(\boldsymbol{r},t)\ [\mathrm{A/m^2}]$ です。定数は次のとおりです。
| 記号 | 名称 | 値（CODATA 2018） |
|---|---|---|
| $\varepsilon_0$ | 真空の誘電率 | $8.8541878128\times 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$ |
| $\mu_0$ | 真空の透磁率 | $1.25663706212\times 10^{-6}\ \mathrm{N/A^2}$ |
| $c$ | 真空中の光速（定義値） | $299\,792\,458\ \mathrm{m/s}$ |
### 2.2. ベクトル解析の道具
$\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)$ とし、スカラー場 $\varphi$ とベクトル場 $\boldsymbol{A} = (A_x, A_y, A_z)$ に対して
$$
\nabla\varphi = (\partial_x\varphi,\ \partial_y\varphi,\ \partial_z\varphi), \qquad
\nabla\cdot\boldsymbol{A} = \partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z,
$$
$$
\nabla\times\boldsymbol{A} = (\partial_y A_z - \partial_z A_y,\ \partial_z A_x - \partial_x A_z,\ \partial_x A_y - \partial_y A_x)
$$
と定義します。ベクトル場のラプラシアンは成分ごとに $\nabla^2\boldsymbol{A} = (\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z)$、ここで $\nabla^2 = \partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2$ です。偏微分の基本性質は[多変数関数の微分と偏微分](/mathematics/calculus/multivariable-differentiation)で扱っています。特に、2 階偏導関数が連続なら偏微分の順序が交換できるという事実（
）を以下で繰り返し使います。
積分形と微分形をつなぐのは次の 2 定理です。証明は[重積分と累次積分](/mathematics/calculus/multiple-integrals)の内容に基づくため、ここでは主張のみ述べます（それぞれ
、
として既に述べたものです）。
（i）$V \subset \mathbb{R}^3$ を有界閉領域で、その境界 $\partial V$ が区分的に滑らかな閉曲面であるとし、外向き単位法線を $\boldsymbol{n}$ とする。$\boldsymbol{A}$ が $V$ を含む開集合上で $C^1$ 級ならば
$$
\int_V \nabla\cdot\boldsymbol{A}\, dV = \oint_{\partial V} \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\, dS .
$$
（ii）$S$ を区分的に滑らかな向き付けられた有界曲面、$\partial S$ をその境界曲線（$S$ の向きと右手系で整合する向きを入れる）とする。$\boldsymbol{A}$ が $S$ を含む開集合上で $C^1$ 級ならば
$$
\int_S (\nabla\times\boldsymbol{A})\cdot\boldsymbol{n}\, dS = \oint_{\partial S} \boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{l} .
$$
これらの証明は多変数微積分の標準的な内容で、微分形式の言葉では 1 つの定理（一般化されたストークスの定理）にまとまります。本記事では既知として用います。
微分形から積分形を出すのは上の 2 定理でよいのですが、逆向きには「積分がいつも $0$ なら被積分関数が $0$」という局所化が要ります。これは連続性だけから従います。
$\Omega \subset \mathbb{R}^3$ を開集合、$f:\Omega\to\mathbb{R}$ を連続関数とする。$\Omega$ に含まれるすべての閉球 $V$ について $\int_V f\, dV = 0$ が成り立つならば、$f \equiv 0$ である。
$f(\boldsymbol{p}) \ne 0$ となる点 $\boldsymbol{p}\in\Omega$ があったとします。必要なら $f$ を $-f$ に取り替えて $f(\boldsymbol{p}) = a > 0$ としてよい（仮定は $-f$ についても成り立ちます）。$f$ は $\boldsymbol{p}$ で連続なので、$\varepsilon = a/2 > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在し、$|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}| \le \delta$ かつ $\boldsymbol{r}\in\Omega$ ならば $|f(\boldsymbol{r}) - a| < a/2$、したがって $f(\boldsymbol{r}) > a/2$ となります（連続性の $\varepsilon$-$\delta$ 定義については[極限と連続性](/mathematics/calculus/limits-and-continuity)を参照してください）。$\Omega$ は開集合なので $\delta$ を小さく取れば閉球 $V = \{\boldsymbol{r} : |\boldsymbol{r}-\boldsymbol{p}|\le \delta\} \subset \Omega$ とできます。このとき
$$
\int_V f\, dV \ge \frac{a}{2}\,\mathrm{vol}(V) = \frac{a}{2}\cdot\frac{4\pi \delta^3}{3} > 0
$$
となり、仮定 $\int_V f\, dV = 0$ に反します。よって $f \equiv 0$ です。
$\Omega \subset \mathbb{R}^3$ を開集合、$\boldsymbol{G}:\Omega\to\mathbb{R}^3$ を連続なベクトル場とする。$\Omega$ に含まれるすべての向き付けられた平面円板 $S$ について $\int_S \boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{n}\, dS = 0$ が成り立つならば、$\boldsymbol{G}\equiv 0$ である。
$\boldsymbol{G}(\boldsymbol{p}) \ne \boldsymbol{0}$ となる点があったとし、$\boldsymbol{n}_0 = \boldsymbol{G}(\boldsymbol{p})/|\boldsymbol{G}(\boldsymbol{p})|$ とおきます。$g(\boldsymbol{r}) = \boldsymbol{G}(\boldsymbol{r})\cdot\boldsymbol{n}_0$ は連続で $g(\boldsymbol{p}) = |\boldsymbol{G}(\boldsymbol{p})| > 0$ なので、
最後に、波動方程式を導くときの主役になる恒等式を用意します。
$\boldsymbol{A}$ を開集合上の $C^2$ 級ベクトル場とすると
$$
\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A}) = \nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A}) - \nabla^2\boldsymbol{A}
$$
が成り立つ。
$x$ 成分を直接計算します。回転の定義から $(\nabla\times\boldsymbol{A})_z = \partial_x A_y - \partial_y A_x$、$(\nabla\times\boldsymbol{A})_y = \partial_z A_x - \partial_x A_z$ なので
$$
\begin{aligned}
\bigl(\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{A})\bigr)_x
&= \partial_y(\nabla\times\boldsymbol{A})_z - \partial_z(\nabla\times\boldsymbol{A})_y \\
&= \partial_y(\partial_x A_y - \partial_y A_x) - \partial_z(\partial_z A_x - \partial_x A_z) \\
&= \partial_y\partial_x A_y + \partial_z\partial_x A_z - \partial_y^2 A_x - \partial_z^2 A_x .
\end{aligned}
$$
ここで $\boldsymbol{A}$ が $C^2$ 級であることからシュワルツの定理により $\partial_y\partial_x = \partial_x\partial_y$、$\partial_z\partial_x = \partial_x\partial_z$ と順序を交換できます。さらに $\partial_x^2 A_x$ を足して引くと
$$
\begin{aligned}
&= \partial_x\partial_y A_y + \partial_x\partial_z A_z + \partial_x^2 A_x - \partial_x^2 A_x - \partial_y^2 A_x - \partial_z^2 A_x \\
&= \partial_x(\partial_x A_x + \partial_y A_y + \partial_z A_z) - (\partial_x^2 + \partial_y^2 + \partial_z^2)A_x \\
&= \bigl(\nabla(\nabla\cdot\boldsymbol{A})\bigr)_x - (\nabla^2\boldsymbol{A})_x .
\end{aligned}
$$
$y$ 成分、$z$ 成分も添字を巡回させれば同じ計算になります。
## 3. 真空中のマクスウェル方程式
### 3.1. 微分形
$\Omega\subset\mathbb{R}^3$ を開集合、$I\subset\mathbb{R}$ を開区間とする。$\Omega\times I$ 上の $C^1$ 級ベクトル場 $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$ と連続関数 $\rho$、連続ベクトル場 $\boldsymbol{J}$ が、$\Omega\times I$ の各点で次の 4 式を満たすとき、$(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B})$ を源 $(\rho,\boldsymbol{J})$ に対する真空中の電磁場という。
$$
\begin{aligned}
\text{(M1) ガウスの法則:}&\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \\[2pt]
\text{(M2) 磁場に関するガウスの法則:}&\qquad \nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0 \\[2pt]
\text{(M3) ファラデーの法則:}&\qquad \nabla\times\boldsymbol{E} = -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} \\[2pt]
\text{(M4) アンペール・マクスウェルの法則:}&\qquad \nabla\times\boldsymbol{B} = \mu_0\boldsymbol{J} + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}
\end{aligned}
$$
4 式の役割を一言ずつ確認しておきます。(M1) は電場の湧き出しが電荷であること、(M2) は磁場に湧き出しがない（磁荷が存在しない）こと、(M3) は磁場の時間変化が電場の渦を作ること、(M4) は電流と電場の時間変化が磁場の渦を作ることを述べています。(M1) と (M2) は各時刻ごとの場の「形」に対する制約、(M3) と (M4) は場の時間発展を決める方程式です。
(M2) は「磁気単極子が存在しない」という実験事実の表現です。もし磁荷密度 $\rho_m$ が存在すれば (M2) は $\nabla\cdot\boldsymbol{B} = \mu_0\rho_m$ に、(M3) は磁流の項を持つ形に修正されます。ディラックは 1931 年に、磁気単極子が 1 個でも存在すれば電荷が量子化されることを示しましたが、単極子は現在まで観測されていません。
### 3.2. 積分形との同値性
実験室で直接測るのは、面を貫く電束や輪に沿った起電力といった積分量です。微分形と積分形が同じ内容であることを、仮定を明示して確かめます。
### 3.3. 電荷保存則は方程式の帰結
$(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B})$ が源 $(\rho,\boldsymbol{J})$ に対する真空中の電磁場であり、$\boldsymbol{B}$ が $C^2$ 級、$\boldsymbol{E}$ の空間 1 階微分が $t$ で微分可能であるとする。このとき
$$
\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0
$$
が成り立つ。積分形では、時間に依存しない任意の閉領域 $V$ について $\dfrac{d}{dt}\displaystyle\int_V\rho\,dV = -\oint_{\partial V}\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{n}\,dS$ である。
まず、$C^2$ 級ベクトル場 $\boldsymbol{A}$ について $\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) = 0$ が成り立ちます。実際
$$
\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) = \partial_x(\partial_y A_z - \partial_z A_y) + \partial_y(\partial_z A_x - \partial_x A_z) + \partial_z(\partial_x A_y - \partial_y A_x)
$$
で、シュワルツの定理により $\partial_x\partial_y A_z$ と $\partial_y\partial_x A_z$ などが打ち消し合い、6 項すべてが対で消えます。
これを (M4) の両辺に適用すると、左辺は $0$ になり
$$
0 = \mu_0\nabla\cdot\boldsymbol{J} + \varepsilon_0\mu_0\,\nabla\cdot\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}
= \mu_0\nabla\cdot\boldsymbol{J} + \varepsilon_0\mu_0\,\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\boldsymbol{E})
$$
を得ます。2 番目の等号では、仮定した微分可能性のもとで空間微分と時間微分を交換しました。ここに (M1) の $\nabla\cdot\boldsymbol{E} = \rho/\varepsilon_0$ を代入すると
$$
0 = \mu_0\nabla\cdot\boldsymbol{J} + \varepsilon_0\mu_0\cdot\frac{1}{\varepsilon_0}\frac{\partial\rho}{\partial t}
= \mu_0\Bigl(\nabla\cdot\boldsymbol{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t}\Bigr).
$$
$\mu_0 \ne 0$ で割れば結論を得ます。積分形は両辺を $V$ 上で積分し、$\nabla\cdot\boldsymbol{J}$ の項に
ここで注目すべきは、電荷保存則を仮定として置いていないことです。変位電流の項がなければ (M4) から $\nabla\cdot\boldsymbol{J} = 0$（定常電流のみ）という強すぎる制約が出てしまいますが、その項があるおかげで、方程式系は電荷保存則をちょうど過不足なく含みます。マクスウェルの修正が単なるつじつま合わせでないことの、最初の証拠です。
## 4. 電磁波の波動方程式
以下、源のない領域、すなわち $\rho \equiv 0$ かつ $\boldsymbol{J}\equiv\boldsymbol{0}$ である開集合 $\Omega$ を考えます。このとき (M1)–(M4) は
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{E} = 0,\qquad
\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0,\qquad
\nabla\times\boldsymbol{E} = -\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t},\qquad
\nabla\times\boldsymbol{B} = \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}
$$
という、$\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ について対称性の高い形になります。
C["rot rot E を 2 通りに計算"]
B["アンペール・マクスウェルの法則 (M4)"] --> C
D["真空でのガウスの法則 (M1): div E = 0"] --> C
E["回転の回転の恒等式"] --> C
C --> F["波動方程式: ラプラシアン E = (1/c^2) d2E/dt2"]
F --> G["伝播速度 c = 1/√(ε0 μ0) = 2.998×10^8 m/s"]`} />
$\Omega\times I$ 上で $\rho\equiv 0$、$\boldsymbol{J}\equiv\boldsymbol{0}$ とし、$\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$ は $C^2$ 級で (M1)–(M4) を満たすとする。$c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ とおくと、$\Omega\times I$ 上で
$$
\nabla^2\boldsymbol{E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{E}}{\partial t^2} = \boldsymbol{0},
\qquad
\nabla^2\boldsymbol{B} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\boldsymbol{B}}{\partial t^2} = \boldsymbol{0}
$$
が成り立つ。すなわち $\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$ の各デカルト成分は速さ $c$ の波動方程式を満たす。
$\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol{E})$ を 2 通りに計算します。
まず
## 5. 平面波：横波性と電場・磁場の直交性
$\boldsymbol{k}\in\mathbb{R}^3\setminus\{\boldsymbol{0}\}$（波数ベクトル）、$\omega > 0$（角振動数）、定ベクトル $\boldsymbol{E}_0,\boldsymbol{B}_0\in\mathbb{R}^3$、および 1 変数の $C^2$ 級関数 $f$ に対して
$$
\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{E}_0\, f(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} - \omega t),
\qquad
\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{B}_0\, f(\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} - \omega t)
$$
の形の場を平面波という。$\boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{r} - \omega t$ が一定の面（$\boldsymbol{k}$ に垂直な平面）の上で場が一定であり、その平面は速さ $\omega/|\boldsymbol{k}|$ で $\hat{\boldsymbol{k}} = \boldsymbol{k}/|\boldsymbol{k}|$ 方向に動く。
なお、$f''$ が恒等的に $0$ でないという仮定を外すと $f$ は 1 次関数でもよくなり、そのとき $|\boldsymbol{r}|\to\infty$ で場が無限大に発散します。物理的な解として除外してよい状況です。一方、$f'$ が恒等的に $0$ でないという仮定は落とせません。$f$ が定数なら $\boldsymbol{E}$ と $\boldsymbol{B}$ は一様な定ベクトル場になってしまい、$\boldsymbol{k}$ や $\omega$ に何の制約もつかないので、（iii）の分散関係 $|\boldsymbol{k}| = \omega/c$ は導けないからです。
$E_0 > 0$、$k > 0$、$\omega = ck$ として
$$
\boldsymbol{E} = E_0\sin(kz-\omega t)\,\boldsymbol{e}_x,
\qquad
\boldsymbol{B} = \frac{E_0}{c}\sin(kz-\omega t)\,\boldsymbol{e}_y
$$
が真空中のマクスウェル方程式を満たすことを直接確かめます。以下 $s = \sin(kz-\omega t)$、$C = \cos(kz-\omega t)$ と略記します。
**(M1)。** $\boldsymbol{E}$ の $x$ 成分は $z$ にしか依存しないので $\nabla\cdot\boldsymbol{E} = \partial_x\bigl(E_0 s\bigr) = 0$。同様に **(M2)** も $\nabla\cdot\boldsymbol{B} = \partial_y\bigl((E_0/c)s\bigr) = 0$ です。
**(M3)。** 回転の定義から、$\boldsymbol{E} = (E_x,0,0)$、$E_x = E_0 s$ に対して
$$
\nabla\times\boldsymbol{E} = (\partial_y\cdot 0 - \partial_z\cdot 0,\ \partial_z E_x - \partial_x\cdot 0,\ \partial_x\cdot 0 - \partial_y E_x) = (0,\ E_0 k C,\ 0).
$$
一方
$$
-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} = -\frac{E_0}{c}\cdot(-\omega C)\,\boldsymbol{e}_y = \frac{E_0\omega}{c}C\,\boldsymbol{e}_y = E_0 k C\,\boldsymbol{e}_y
$$
で（最後に $\omega = ck$ を使いました）、両者は一致します。
**(M4)。** $\boldsymbol{B} = (0,B_y,0)$、$B_y = (E_0/c)s$ に対して
$$
\nabla\times\boldsymbol{B} = (\partial_y\cdot 0 - \partial_z B_y,\ 0,\ \partial_x B_y - 0) = \Bigl(-\frac{E_0 k}{c}C,\ 0,\ 0\Bigr).
$$
一方
$$
\varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} = \frac{1}{c^2}\cdot E_0(-\omega C)\,\boldsymbol{e}_x = -\frac{E_0\omega}{c^2}C\,\boldsymbol{e}_x = -\frac{E_0 k}{c}C\,\boldsymbol{e}_x
$$
となり、これも一致します。
## 6. エネルギーの流れとポインティング・ベクトル
電磁波が「伝わる」というとき、何が運ばれているのかを式で押さえます。
電磁場のエネルギー密度 $u$ とポインティング・ベクトル $\boldsymbol{S}$ を
$$
u = \frac{\varepsilon_0}{2}|\boldsymbol{E}|^2 + \frac{1}{2\mu_0}|\boldsymbol{B}|^2 \quad [\mathrm{J/m^3}],
\qquad
\boldsymbol{S} = \frac{1}{\mu_0}\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B} \quad [\mathrm{W/m^2}]
$$
で定める。
$u$ の 2 項は、それぞれコンデンサーに蓄えられるエネルギーとコイルに蓄えられるエネルギーの表式から自然に出てくるものです。$\boldsymbol{S}$ の意味づけを与えるのが次の定理です。
$(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B})$ が源 $(\rho,\boldsymbol{J})$ に対する真空中の電磁場（$C^1$ 級）であるとき、各点で
$$
\frac{\partial u}{\partial t} + \nabla\cdot\boldsymbol{S} = -\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}
$$
が成り立つ。積分形では、時間に依存しない任意の閉領域 $V$ について
$$
\frac{d}{dt}\int_V u\, dV = -\oint_{\partial V}\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{n}\, dS - \int_V \boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}\, dV .
$$
まずベクトル解析の恒等式 $\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{C}) = \boldsymbol{C}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A}) - \boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{C})$ を使います。これは成分計算で確かめられます。実際
$$
\nabla\cdot(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{C}) = \sum_i \partial_i\bigl(\boldsymbol{A}\times\boldsymbol{C}\bigr)_i
= \partial_x(A_yC_z - A_zC_y) + \partial_y(A_zC_x - A_xC_z) + \partial_z(A_xC_y - A_yC_x)
$$
を積の微分法で展開し、$\boldsymbol{A}$ が微分される 6 項と $\boldsymbol{C}$ が微分される 6 項に分けて整理すると、前者が $\boldsymbol{C}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{A})$、後者が $-\boldsymbol{A}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{C})$ になります。
これを $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{E}$、$\boldsymbol{C} = \boldsymbol{B}$ に適用し、(M3) と (M4) を代入します。
$$
\begin{aligned}
\mu_0\,\nabla\cdot\boldsymbol{S} = \nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B})
&= \boldsymbol{B}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{E}) - \boldsymbol{E}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{B}) \\
&= \boldsymbol{B}\cdot\Bigl(-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\Bigr)
- \boldsymbol{E}\cdot\Bigl(\mu_0\boldsymbol{J} + \varepsilon_0\mu_0\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}\Bigr) \\
&= -\boldsymbol{B}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}
- \varepsilon_0\mu_0\,\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t}
- \mu_0\,\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}.
\end{aligned}
$$
ここで $\boldsymbol{B}\cdot\partial_t\boldsymbol{B} = \frac{1}{2}\partial_t|\boldsymbol{B}|^2$ および $\boldsymbol{E}\cdot\partial_t\boldsymbol{E} = \frac{1}{2}\partial_t|\boldsymbol{E}|^2$ を使います（$|\boldsymbol{B}|^2 = \sum_i B_i^2$ を $t$ で微分すれば $2\sum_i B_i\partial_t B_i$ です）。両辺を $\mu_0$ で割ると
$$
\nabla\cdot\boldsymbol{S} = -\frac{\partial}{\partial t}\Bigl(\frac{1}{2\mu_0}|\boldsymbol{B}|^2 + \frac{\varepsilon_0}{2}|\boldsymbol{E}|^2\Bigr) - \boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}
= -\frac{\partial u}{\partial t} - \boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}
$$
となり、微分形が示せました。積分形は両辺を $V$ 上で積分し、$\nabla\cdot\boldsymbol{S}$ の項に
右辺の $-\boldsymbol{J}\cdot\boldsymbol{E}$ は、単位体積あたりに電場が電流に対してする仕事の符号を変えたものです。したがってこの定理は「領域内の場のエネルギーの減り方 = 境界から流れ出る量 + 電荷にした仕事」と読めます。$\boldsymbol{S}$ をエネルギーの流束密度と解釈する根拠がこれです。
$\boldsymbol{S} = c\,u\,\hat{\boldsymbol{k}}$ という形は、密度 $u$ のものが速さ $c$ で $\hat{\boldsymbol{k}}$ 方向に流れるときの流束そのものです。「電磁波はエネルギーを光速で運ぶ」という言い方が、ここで初めて式の裏付けを得ます。
地球の大気圏外で太陽光が運ぶエネルギー流束（太陽定数）は $I = 1361\ \mathrm{W/m^2}$ です。これを角振動数 1 つの平面波で近似したときの振幅を求めます。
$\boldsymbol{E} = E_0\cos(kz-\omega t)\boldsymbol{e}_x$ とすると
## 7. まとめと次章への橋渡し
4 本の方程式から出発して、変位電流が電荷保存を保証すること、源のない領域では場が速さ $c = 1/\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}$ の波動方程式に従うこと、平面波が横波で $\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}\perp\boldsymbol{k}$ であること、そしてエネルギーが $\boldsymbol{S} = \boldsymbol{E}\times\boldsymbol{B}/\mu_0$ の形で運ばれることを見ました。
ここで 1 つ、大きな問題が残ります。波動方程式に現れる速さ $c$ は、$\varepsilon_0$ と $\mu_0$ という物質定数のような量だけで決まっており、観測者の運動状態がどこにも入っていません。ニュートン力学の速度合成則に従うなら、光を追いかける観測者にとって光速は $c$ より小さく見えるはずで、そのときマクスウェル方程式は形を変えてしまいます。この矛盾を解いたのが特殊相対性理論であり、実はマクスウェル方程式のほうが正しく、変えるべきは時間と空間の座標変換則でした。
その接続を見通しよく扱うための道具が電磁ポテンシャル $(\varphi, \boldsymbol{A})$ とゲージ変換です。(M2) と (M3) を自動的に満たす形に場を書き換えると、残りの 2 式が波動方程式の形に整理され、時空の 4 次元的な構造が姿を現します。次章[電磁ポテンシャルとゲージ変換](/physics/electromagnetism/gauge-potentials)（
）で扱います。
## 8. 演習
$\boldsymbol{E}$ が $C^2$ 級で (M3) を満たすとする。ある時刻 $t_0$ で領域全体において $\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0$ が成り立っているならば、その後のすべての時刻でも $\nabla\cdot\boldsymbol{B} = 0$ であることを示せ。これは (M2) が「初期条件」としての性格を持つことを意味する。
$\nabla\cdot\boldsymbol{B}$ の時間微分を計算します。$\boldsymbol{B}$ の必要な微分可能性のもとで空間微分と時間微分を交換し、(M3) を代入すると
$$
\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\cdot\boldsymbol{B}) = \nabla\cdot\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t} = \nabla\cdot(-\nabla\times\boldsymbol{E}) = -\nabla\cdot(\nabla\times\boldsymbol{E}) = 0
$$
となります。最後の等号は
## 参考文献
- J. C. Maxwell, "A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field", *Philosophical Transactions of the Royal Society of London* **155** (1865), 459–512. 電磁場の方程式系と、光が電磁波であるという主張が初めて提示された論文。
- D. J. Griffiths, *Introduction to Electrodynamics*, 4th ed., Pearson, 2013 — 第 7 章（Electrodynamics）、第 8 章（Conservation Laws）、第 9 章（Electromagnetic Waves）。本記事の内容をほぼそのまま、より詳しい物理的議論とともに扱っています。
- J. D. Jackson, *Classical Electrodynamics*, 3rd ed., Wiley, 1999 — 第 6 章（Maxwell Equations, Macroscopic Electromagnetism, Conservation Laws and Fields）、第 7 章（Plane Electromagnetic Waves and Wave Propagation）。マクスウェル応力テンソルや媒質中の伝播まで含む標準的な大学院教科書。
- R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, *The Feynman Lectures on Physics, Vol. II* — 第 18 章（The Maxwell Equations）、第 20 章（Solutions of Maxwell's Equations in Free Space）、第 27 章（Field Energy and Field Momentum）。全文が [feynmanlectures.caltech.edu](https://www.feynmanlectures.caltech.edu/II_toc.html) で公開されています。
- 砂川重信『理論電磁気学』第 3 版、紀伊國屋書店、1999 — マクスウェル方程式の体系的な扱いと電磁波の章。日本語の標準的な教科書。
- NIST, [CODATA Internationally Recommended Values of the Fundamental Physical Constants](https://physics.nist.gov/cuu/Constants/) — $\varepsilon_0$、$\mu_0$、$c$ の最新の推奨値と不確かさ。
## Appendix: 波動方程式の一般解（1 次元の場合）
**ダランベールの解。** 波動方程式が「速さ $c$ で伝わる波」を表すことを、1 次元の場合に確認しておきます。$\psi(z,t)$ が
$$
\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}
$$
を満たすとします。新しい変数 $\xi = z - ct$、$\eta = z + ct$ を導入すると、連鎖律から $\partial_z = \partial_\xi + \partial_\eta$、$\partial_t = c(-\partial_\xi + \partial_\eta)$ なので
$$
\frac{\partial^2}{\partial z^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}
= (\partial_\xi + \partial_\eta)^2 - (-\partial_\xi + \partial_\eta)^2 = 4\,\partial_\xi\partial_\eta
$$
となります。したがって方程式は $\partial_\xi\partial_\eta\psi = 0$ と同値です。$\partial_\eta\psi$ が $\xi$ に依らないので $\partial_\eta\psi = h(\eta)$ と書け、$\eta$ で積分して
$$
\psi = F(\xi) + G(\eta) = F(z - ct) + G(z + ct)
$$
を得ます（$F$、$G$ は $C^2$ 級の任意関数）。$F(z-ct)$ は形を変えずに $+z$ 方向へ速さ $c$ で進む波、$G(z+ct)$ は $-z$ 方向へ進む波です。
**平面波との関係。**
の平面波は、$\boldsymbol{k}$ 方向に座標軸を取れば $F(z - ct)$ の形（各成分ごと）にほかなりません。3 次元の一般解はこれほど単純ではありませんが、フーリエ変換によって様々な $\boldsymbol{k}$ の平面波の重ね合わせとして表せます。
が各 $\boldsymbol{k}$ ごとに横波性と $\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{B}$ を保証するので、真空中の電磁波は常に横波です。