# 物質中の電磁場：分極・磁化と D・H、境界条件、エネルギー > 分極と磁化を束縛電荷・束縛電流として導き、補助場 D と H を定義して巨視的なマクスウェル方程式を得る。界面の境界条件を証明し、誘電体球の例で適用し、媒質中のポインティングの定理から静電・静磁エネルギーの式を導く。 > https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/fields-in-matter ## 0. この記事の要点 物質に電場や磁場をかけると、中の原子や分子がわずかに変形したり向きをそろえたりして、物質そのものが新たに電場や磁場をつくります。この記事は、その「物質の側の反応」を少数の量にまとめて、真空の式をほぼそのまま使えるようにする話です。読み終えると、たとえばコンデンサの極板の間に絶縁体を入れると電場が弱まる理由を、式で説明できるようになります。 - 物質は原子・分子の集まりで、外から電場や磁場をかけると、各分子が小さな電気双極子・磁気双極子（正負の電荷のずれ、小さな電流の輪がつくる、棒磁石のような性質）になります。単位体積あたりの双極子モーメントが**分極** $\boldsymbol{P}$ と**磁化** $\boldsymbol{M}$ です。 - 分極は $\rho_b=-\nabla\cdot\boldsymbol{P}$、表面 $\sigma_b=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}$ の**束縛電荷**、磁化は $\boldsymbol{J}_b=\nabla\times\boldsymbol{M}$、表面 $\boldsymbol{K}_b=\boldsymbol{M}\times\boldsymbol{n}$ の**束縛電流**とまったく同じ場をつくります。これは近似ではなく、ポテンシャルの積分を部分積分した結果です。 - 束縛電荷と束縛電流を方程式から消すために $\boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$、$\boldsymbol{H}=\boldsymbol{B}/\mu_0-\boldsymbol{M}$ を導入すると、真空のマクスウェル方程式は $\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho_f$、$\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_f+\partial_t\boldsymbol{D}$ という形になります。分極の時間変化 $\partial_t\boldsymbol{P}$ も電流として数える点が鍵です。 - 異なる媒質の界面では、$\boldsymbol{D}$ の法線成分、$\boldsymbol{B}$ の法線成分、$\boldsymbol{E}$ の接線成分、$\boldsymbol{H}$ の接線成分が（自由な面電荷・面電流がなければ）連続です。これと一意性定理（条件を満たす解はただ一つ、という定理）を組み合わせて境界値問題が解けます。 - 媒質中のエネルギーの出入りは $\boldsymbol{E}\cdot\delta\boldsymbol{D}+\boldsymbol{H}\cdot\delta\boldsymbol{B}$ で、線形な媒質では $\frac12(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}+\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B})$ がエネルギー密度です。 --- ## 1. 動機：真空の式のままでは物質が扱えない [マクスウェル方程式と電磁波](/physics/electromagnetism/maxwell-equations) の 4 本の式は、電荷密度 $\rho$ と[電流密度](/physics/electromagnetism/magnetostatics#def-current-density) $\boldsymbol{J}$ に「すべての」電荷と電流を入れれば、物質の中でも成り立ちます。しかし、$1\,\mathrm{cm}^3$ の物質には $10^{22}$ 個ほどの原子があり、すべての電荷と電流を書き下すことはできません。実際に知りたいのは、原子スケールで激しく変動する微視的な場ではなく、それを平均した滑らかな巨視的な場です。 実験室で自由に制御できるのは、導線に流す電流や電極に与える電荷のような、外から持ち込める電荷と電流（**自由電荷** $\rho_f$、**自由電流** $\boldsymbol{J}_f$）です。物質の側の応答、つまり外場に応じて原子の中で電荷がわずかにずれる効果や、原子の磁気モーメントがそろう効果は、自由に制御できません。この記事の目標は、物質の応答を $\boldsymbol{P}$ と $\boldsymbol{M}$ の 2 つの場にまとめ、それらを方程式の中に整理することです。 [静電場の境界値問題](/physics/electromagnetism/boundary-value-problems) で導体を扱ったときは、導体の表面電荷が未知でも、表面の電位が一定という条件だけで問題が閉じていました。誘電体や磁性体でも同様に、「物質の中の電荷分布は未知だが、境界での接続条件は分かっている」という形で問題を立てます。それが §7 の境界条件の役割です。 --- ## 2. 準備 以下では、物質は十分に滑らかな巨視的領域 $\Omega$（有界）を占め、その外は真空とします。場 $\boldsymbol{E},\boldsymbol{B}$ は微視的な場を原子スケールより十分大きく、実験の分解能より十分小さい領域で平均した巨視的な場を表し、電荷密度・電流密度も平均した量とします。このように平均された場も、真空のマクスウェル方程式（）を満たします。平均は線形な操作で、偏微分と交換できるためです。 電荷を 2 種類に分けます。 - **自由電荷** $\rho_f$、**自由電流** $\boldsymbol{J}_f$: 導線や電極上の電荷のように、物質の外から制御できるもの。 - **束縛電荷** $\rho_b$、**束縛電流** $\boldsymbol{J}_b$: 物質を構成する原子・分子の中にあって、外場に応じて変形・配向するもの。 $\rho=\rho_f+\rho_b$、$\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}_f+\boldsymbol{J}_b$ です。束縛電荷と束縛電流が $\boldsymbol{P}$、$\boldsymbol{M}$ でどう書けるかを次に示します。 --- ## 3. 分極と束縛電荷 物質の各点のまわりの微小体積 $dV$ 内の電気双極子モーメントの総和が $\boldsymbol{P}\,dV$ であるとき、$\boldsymbol{P}$（単位 $\mathrm{C/m^2}$）を**分極**という。$\boldsymbol{P}$ は $\Omega$ の閉包上で $C^1$ 級、$\Omega$ の外で $0$ とする。 位置 $\boldsymbol{y}$ にある双極子 $\boldsymbol{P}\,dV_y$ がつくるポテンシャルは、 の $l=1$ の項（原点を $\boldsymbol{y}$ に移したもの）で、$\dfrac{\boldsymbol{P}(\boldsymbol{y})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{4\pi\varepsilon_0|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^3}dV_y$ です。全体では $$ V_P(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_\Omega\frac{\boldsymbol{P}(\boldsymbol{y})\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^3}\,dV_y . $$ 上の $V_P$ は $$ V_P(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\int_\Omega\frac{\rho_b(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}dV_y+\oint_{\partial\Omega}\frac{\sigma_b(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}dS_y\right],\qquad\rho_b=-\nabla\cdot\boldsymbol{P},\quad\sigma_b=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n} $$ と書ける。ここで $\boldsymbol{n}$ は $\partial\Omega$ の外向き単位法線である。とくに全束縛電荷 $\int_\Omega\rho_b\,dV+\oint\sigma_b\,dS=0$ である。 証明の方針は、双極子の式を「$1/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$ の微分」の形に直し、部分積分（発散定理）で微分を $\boldsymbol{P}$ の側に移すことです。体積積分には $-\nabla\cdot\boldsymbol{P}$ が、境界の面積分には $\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}$ が現れます。観測点 $\boldsymbol{x}$ が物質の内部にあると被積分関数が $\boldsymbol{x}$ で発散するので、その点のまわりの小さな球を取り除いて極限を取ります。 $\nabla_y\dfrac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}=\dfrac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^3}$ であり、積の微分から $$ \frac{\boldsymbol{P}\cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^3}=\boldsymbol{P}\cdot\nabla_y\frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}=\nabla_y\cdot\Bigl(\frac{\boldsymbol{P}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}\Bigr)-\frac{\nabla_y\cdot\boldsymbol{P}}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|} . $$ $\boldsymbol{x}\notin\overline\Omega$ なら右辺は $\Omega$ 上で $C^1$ なので、 により第 1 項の積分は $\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|\,dS_y$ になり、主張を得ます。$\boldsymbol{x}\in\Omega$ のときは、小さな球 $B_\epsilon(\boldsymbol{x})$ を除いた領域に発散定理を使います。$B_\epsilon$ の境界の寄与は絶対値が $\le\sup|\boldsymbol{P}|\cdot4\pi\epsilon^2/\epsilon\to0$ で、残る体積積分の被積分関数は $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{-1}$ または $|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^{-2}$ の程度の特異性しかもたず絶対可積分なので、$\epsilon\to0$ の極限で同じ式が成り立ちます。 全束縛電荷は、$\int_\Omega(-\nabla\cdot\boldsymbol{P})dV=-\oint\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}\,dS$（発散定理）と表面電荷の和で $0$ です。 結局、分極した物質は「体積電荷密度 $-\nabla\cdot\boldsymbol{P}$ と面電荷密度 $\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}$ の電荷分布」と区別がつきません。一様に分極した物体では内部の $\rho_b=0$ で、分極の向きに垂直な端面にだけ $\pm|\boldsymbol{P}|$ の面電荷が現れます。分子が整列した結果、内部の電荷は打ち消し合い、端の分子の「頭」と「尾」が表面に残るのです。
−−− +++ P → σ_b = −|P| σ_b = +|P|
--- ## 4. 電束密度 D と誘電体 静電場のガウスの法則（）$\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon_0$ の $\rho$ を $\rho_f+\rho_b=\rho_f-\nabla\cdot\boldsymbol{P}$ と書くと、$\nabla\cdot(\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P})=\rho_f$ となります。 $\boldsymbol{D}:=\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$ を**電束密度**という。 物質内の各点で $\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho_f$ が成り立つ。積分形では、物質の内外を含む任意の閉曲面 $S$ について $\oint_S\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=Q_f$（$S$ 内部の自由電荷の総量）である。 $\nabla\cdot\boldsymbol{E}=(\rho_f+\rho_b)/\varepsilon_0$ に の $\rho_b=-\nabla\cdot\boldsymbol{P}$ を代入し、$\varepsilon_0\nabla\cdot\boldsymbol{E}+\nabla\cdot\boldsymbol{P}=\rho_f$ とします。積分形は発散定理から従います（界面を貫く曲面では §7 の境界条件を併用します）。 この方程式は $\boldsymbol{D}$ の湧き出し（[発散](/physics/electromagnetism/electrostatics#def-divergence)）だけを決めます。$\boldsymbol{E}$ は静電場なら $\nabla\times\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}$ ですが、$\nabla\times\boldsymbol{D}=\nabla\times\boldsymbol{P}$ は一般に $0$ でないので、$\boldsymbol{D}$ は $\rho_f$ だけからは決まりません。$\boldsymbol{P}$ と $\boldsymbol{E}$ を結ぶ**構成方程式**が必要です。多くの等方的な誘電体では、弱い電場で $\boldsymbol{P}=\varepsilon_0\chi_e\boldsymbol{E}$（$\chi_e$ は電気感受率）が成り立つ物質を**線形誘電体**という。このとき $\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$、$\varepsilon=\varepsilon_0(1+\chi_e)=\varepsilon_0\varepsilon_r$ で、$\varepsilon$ を誘電率、$\varepsilon_r$ を比誘電率という。 水は常温で $\varepsilon_r\approx80$、空気は $1.0006$ ほどです。 面積 $S$、間隔 $d$ の平行板に自由電荷 $\pm Q$ を与え、間を比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体で満たします。極板に垂直で内部に入る小さな円柱に を使うと、極板の間で $D=Q/S$ です（外側では $\boldsymbol{D}=\boldsymbol{0}$）。したがって $E=D/\varepsilon=Q/(\varepsilon_rS\varepsilon_0)$ は真空のときの $1/\varepsilon_r$ になり、電位差も $1/\varepsilon_r$、静電容量は $C=\varepsilon_rC_0=\varepsilon_r\varepsilon_0S/d$ です。誘電体表面の束縛電荷は $\sigma_b=\pm P=\pm\varepsilon_0\chi_eE=\pm\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r}\frac QS$ で、自由電荷 $Q/S$ との合計が $Q/(\varepsilon_rS)$ に目減りします。これが電場が弱まる理由です。 --- ## 5. 磁化と束縛電流 物質の各点のまわりの微小体積 $dV$ 内の磁気双極子モーメントの総和が $\boldsymbol{M}\,dV$ であるとき、$\boldsymbol{M}$（単位 $\mathrm{A/m}$）を**磁化**という。$\boldsymbol{M}$ は $\Omega$ の閉包上で $C^1$ 級、外で $0$ とする。 微小な電流ループの磁気モーメントが、電流分布から $\boldsymbol{m}=\frac12\int\boldsymbol{y}\times\boldsymbol{J}\,dV$ と定義され、遠方のベクトルポテンシャルが $\boldsymbol{A}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\boldsymbol{m}\times\boldsymbol{x}}{r^3}$ になることを先に確認します。 $\boldsymbol{J}$ を $C^1$ 級でコンパクトな台をもち $\nabla\cdot\boldsymbol{J}=0$ を満たす電流密度とする。このとき $\int J_i\,dV=0$、$\int(J_iy_j+J_jy_i)\,dV=0$ である。 $\nabla\cdot\boldsymbol{J}=0$ より $\nabla\cdot(y_i\boldsymbol{J})=J_i$、$\nabla\cdot(y_iy_j\boldsymbol{J})=J_iy_j+J_jy_i$ です。これらはコンパクトな台をもつ $C^1$ 級ベクトル場の発散なので、発散定理（十分大きな球上で境界項が $0$）により積分は $0$ です。 上と同じ $\boldsymbol{J}$ について、 は $r=|\boldsymbol{x}|\to\infty$ で $$ \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\boldsymbol{m}\times\boldsymbol{x}}{r^3}+O(r^{-3}),\qquad\boldsymbol{m}=\frac12\int\boldsymbol{y}\times\boldsymbol{J}(\boldsymbol{y})\,dV $$ と振る舞う。 ここで示したいのは、小さな電流の輪を遠くから見ると、電気双極子と同じ形で $\boldsymbol{m}\times\boldsymbol{x}/r^3$ に比例するベクトルポテンシャルをつくる、ということです。証明では、$1/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$ を展開して最初に残る項を取り出し、補題で $\int J_iy_j\,dV$ が添字 $i,j$ について反対称な部分だけをもつことを使います。その反対称な部分が外積、つまり $\boldsymbol{m}$ の成分に対応します。 $|\boldsymbol{y}|\le a$ の範囲で $\dfrac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}=\dfrac1r+\dfrac{\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}}{r^3}+O(r^{-3})$ です（ の証明の展開、$l=0,1$ の項）。$A_i=\frac{\mu_0}{4\pi}\int J_i/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|\,dV$ に代入すると、第 1 項は で $0$、第 2 項は $\frac{\mu_0}{4\pi r^3}x_j\int J_iy_j\,dV$ です。補題の第 2 式から $\int J_iy_j\,dV=\frac12\int(J_iy_j-J_jy_i)dV$ なので、 $$ \sum_jx_j\int J_iy_j\,dV=\frac12\int\bigl[(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y})J_i-(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{J})y_i\bigr]dV=\frac12\Bigl[\boldsymbol{x}\times\int\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{y}\,dV\Bigr]_i=\bigl(\boldsymbol{m}\times\boldsymbol{x}\bigr)_i $$ です。2 つ目の等号は二重外積の公式 $\boldsymbol{x}\times(\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{y})=\boldsymbol{J}(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y})-\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{J})$ から、3 つ目の等号は $\int\boldsymbol{J}\times\boldsymbol{y}\,dV=-2\boldsymbol{m}$ から従います。 位置 $\boldsymbol{y}$ の磁化 $\boldsymbol{M}\,dV_y$ がつくる[ベクトルポテンシャル](/physics/electromagnetism/magnetostatics#def-vector-potential)は、これを原点移動したもので、全体では $$ \boldsymbol{A}_M(\boldsymbol{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_\Omega\frac{\boldsymbol{M}(\boldsymbol{y})\times(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^3}\,dV_y . $$ $\boldsymbol{A}_M$ は $$ \boldsymbol{A}_M(\boldsymbol{x})=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\int_\Omega\frac{\boldsymbol{J}_b(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}dV_y+\oint_{\partial\Omega}\frac{\boldsymbol{K}_b(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}dS_y\right],\qquad\boldsymbol{J}_b=\nabla\times\boldsymbol{M},\quad\boldsymbol{K}_b=\boldsymbol{M}\times\boldsymbol{n} $$ と書ける。 $f(\boldsymbol{y})=1/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|$ とおくと $\nabla_yf=(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y})/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|^3$ なので、被積分関数は $\boldsymbol{M}\times\nabla f$ です。積の微分 $\nabla\times(f\boldsymbol{M})=f\nabla\times\boldsymbol{M}+\nabla f\times\boldsymbol{M}$ より $\boldsymbol{M}\times\nabla f=f\,\nabla\times\boldsymbol{M}-\nabla\times(f\boldsymbol{M})$ です。 次に、回転定理 $\int_\Omega\nabla\times\boldsymbol{F}\,dV=\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{F}\,dS$ を示します。定ベクトル $\boldsymbol{c}$ に対し $\nabla\cdot(\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{c})=\boldsymbol{c}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{F})$ が成り立つので（成分計算で確かめられる恒等式で、 の証明で使ったものと同じです）、発散定理から $\boldsymbol{c}\cdot\int\nabla\times\boldsymbol{F}\,dV=\oint(\boldsymbol{F}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{n}\,dS=\boldsymbol{c}\cdot\oint\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{F}\,dS$ であり、$\boldsymbol{c}$ は任意だから主張を得ます。 したがって $\boldsymbol{x}\notin\overline\Omega$ なら $\int\boldsymbol{M}\times\nabla f\,dV=\int f\nabla\times\boldsymbol{M}\,dV-\oint f\,\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{M}\,dS$ で、$-\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{M}=\boldsymbol{M}\times\boldsymbol{n}$ です。$\boldsymbol{x}\in\Omega$ のときの特異点の処理は の証明と同じです。 分極が $\rho_b=-\nabla\cdot\boldsymbol{P}$、$\sigma_b=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}$ に対応したのと同じように、磁化は $\boldsymbol{J}_b=\nabla\times\boldsymbol{M}$、$\boldsymbol{K}_b=\boldsymbol{M}\times\boldsymbol{n}$ に対応します。物質内部では分子電流が隣と打ち消し合い、表面にだけ連続した環状電流が残る、という描像です。
各輪の電流は反時計回り （M は紙面の手前向き） 点線：外周に残る電流 K_b
--- ## 6. H と巨視的なマクスウェル方程式 分極が**時間変化**すると、束縛電荷が動くので電流が生じます。この電流の密度 $\boldsymbol{J}_p$ は、束縛電荷の保存則 $\partial_t\rho_b+\nabla\cdot\boldsymbol{J}_p=0$ から決まります。$\rho_b=-\nabla\cdot\boldsymbol{P}$ なので、 $$ \nabla\cdot\boldsymbol{J}_p=-\partial_t\rho_b=\nabla\cdot\partial_t\boldsymbol{P} $$ で、$\boldsymbol{J}_p=\partial_t\boldsymbol{P}$ とすれば満たされます。保存則からわかるのは発散だけなので、ここでは保存則を満たす最も素直な選び方として $\partial_t\boldsymbol{P}$ を採ります。これを**分極電流**といいます。全電流は $\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}_f+\nabla\times\boldsymbol{M}+\partial_t\boldsymbol{P}$ です。 $\boldsymbol{H}:=\dfrac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}-\boldsymbol{M}$ を（補助場としての）**磁場の強さ**という。 $(\boldsymbol{E},\boldsymbol{B})$ が源 $\rho=\rho_f-\nabla\cdot\boldsymbol{P}$、$\boldsymbol{J}=\boldsymbol{J}_f+\nabla\times\boldsymbol{M}+\partial_t\boldsymbol{P}$ に対する真空のマクスウェル方程式（）を満たすとき、$\boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$、$\boldsymbol{H}=\boldsymbol{B}/\mu_0-\boldsymbol{M}$ について $$ \begin{aligned} \nabla\cdot\boldsymbol{D}&=\rho_f, & \nabla\cdot\boldsymbol{B}&=0,\\ \nabla\times\boldsymbol{E}&=-\partial_t\boldsymbol{B}, & \nabla\times\boldsymbol{H}&=\boldsymbol{J}_f+\partial_t\boldsymbol{D} \end{aligned} $$ が成り立つ。 (M1) は で、(M2) と (M3) は $\boldsymbol{D},\boldsymbol{H}$ を含まないので変わりません。(M4) $\nabla\times\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{J}+\varepsilon_0\mu_0\partial_t\boldsymbol{E}$ に $\boldsymbol{J}$ を代入して $\mu_0$ で割ると $$ \nabla\times\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}=\boldsymbol{J}_f+\nabla\times\boldsymbol{M}+\partial_t\boldsymbol{P}+\varepsilon_0\partial_t\boldsymbol{E} , $$ つまり $\nabla\times(\boldsymbol{B}/\mu_0-\boldsymbol{M})=\boldsymbol{J}_f+\partial_t(\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P})$ です。 分極電流 $\partial_t\boldsymbol{P}$ を落とすと、右辺の $\partial_t\boldsymbol{D}$ が $\varepsilon_0\partial_t\boldsymbol{E}$ になってしまい、変位電流が物質の応答分だけ欠けます。 これでも方程式は閉じません（未知数が $\boldsymbol{E},\boldsymbol{B},\boldsymbol{D},\boldsymbol{H}$ の 12 成分に対し、式は 8 本）。残りは物質ごとの構成方程式です。磁性体では、弱い磁場で $\boldsymbol{M}=\chi_m\boldsymbol{H}$ すなわち $\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$、$\mu=\mu_0(1+\chi_m)$ とします。$\chi_m$ は常磁性体で小さな正（$10^{-5}$ 程度）、反磁性体で小さな負、強磁性体では $10^3$ 以上で非線形、ヒステリシス（磁化が過去の履歴に依存し、$\boldsymbol{H}$ を戻しても元の値に戻らない性質）をもちます。 --- ## 7. 界面の境界条件 媒質 1 と媒質 2 の界面 $\Sigma$（滑らかな曲面）の点で、$\boldsymbol{n}$ を媒質 1 から 2 に向かう単位法線とし、各場は両側から $\Sigma$ まで連続に延びるとする。$\Sigma$ に自由な面電荷密度 $\sigma_f$、面電流密度 $\boldsymbol{K}_f$（$\Sigma$ に接する）があってよい。このとき、添字で各側の極限値を表して $$ \boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{D}_2-\boldsymbol{D}_1)=\sigma_f,\qquad\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{B}_2-\boldsymbol{B}_1)=0, $$ $$ \boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{E}_2-\boldsymbol{E}_1)=\boldsymbol{0},\qquad\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{H}_2-\boldsymbol{H}_1)=\boldsymbol{K}_f $$ が成り立つ。 証明の考え方は、界面を挟む「薄い円柱」と「細長い長方形の閉曲線」に積分形の法則を使い、厚み $2h$ を $0$ に縮めることです。円柱の底面は界面に平行で、両側の法線成分の差だけが残ります。長方形の長辺は界面に平行で、両側の接線成分の差だけが残ります。 積分形の法則 $\oint\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}=Q_f$、$\oint\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}=0$、$\oint\boldsymbol{E}\cdot d\boldsymbol{l}=-\frac{d}{dt}\int\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}$、$\oint\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{l}=I_f+\frac{d}{dt}\int\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}$ を、界面を挟む小さな領域に適用します（これらは に発散定理・ストークスの定理を使って得られ、面分布の自由電荷・自由電流を含めて成り立つ形で用います。 を参照）。 **法線成分。** 界面上の点を含む、底面積 $A$ で界面に平行な 2 枚の底面を両側にもつ高さ $2h$ の円柱を取ります。$h\to0$ で側面の寄与は $0$ に近づき（場は有界）、底面の寄与から $\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{D}_2-\boldsymbol{D}_1)A=\sigma_fA$ です。同様に $\boldsymbol{B}$ は湧き出しがない（右辺が常に $0$）ので $\boldsymbol{n}\cdot(\boldsymbol{B}_2-\boldsymbol{B}_1)=0$ です。 **接線成分。** 界面に接する単位ベクトル $\boldsymbol{t}$ をとり、界面を挟んで長さ $\ell$（$\boldsymbol{t}$ 方向）、高さ $2h$ の長方形の閉曲線を、媒質 1 側を $+\boldsymbol{t}$ に、媒質 2 側を $-\boldsymbol{t}$ に進む向きに取ります。$h\to0$ で長方形の面積は $0$ に近づくので、右辺の $\frac{d}{dt}\int\boldsymbol{B}\cdot d\boldsymbol{S}$ と $\frac{d}{dt}\int\boldsymbol{D}\cdot d\boldsymbol{S}$ は（場の時間微分が有界なら）$0$ に近づき、短辺の寄与も $0$ に近づきます。$\boldsymbol{E}$ では $\ell\,\boldsymbol{t}\cdot(\boldsymbol{E}_1-\boldsymbol{E}_2)=0$、$\boldsymbol{H}$ では $\ell\,\boldsymbol{t}\cdot(\boldsymbol{H}_1-\boldsymbol{H}_2)=$ 長方形を貫く自由電流 $=\ell\,\boldsymbol{K}_f\cdot(\boldsymbol{t}\times\boldsymbol{n})=\ell\,\boldsymbol{t}\cdot(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{K}_f)$ です。$\boldsymbol{t}$ は接ベクトルなら何でもよいので、接線成分についての等式 $\boldsymbol{E}_{2\parallel}=\boldsymbol{E}_{1\parallel}$、$\boldsymbol{H}_{1\parallel}-\boldsymbol{H}_{2\parallel}=\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{K}_f$ を得ます。後者に左から $\boldsymbol{n}\times$ を作用させ、$\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{n}\times\boldsymbol{K}_f)=-\boldsymbol{K}_f$ を使えば $\boldsymbol{n}\times(\boldsymbol{H}_2-\boldsymbol{H}_1)=\boldsymbol{K}_f$ です。 自由電荷・自由電流が界面にない場合は、$D_n$、$B_n$、$E_t$、$H_t$ がすべて連続です。この 4 条件が、境界値問題で領域をつなぐ「接続条件」になります。 自由電荷のない誘電体界面（誘電率 $\varepsilon_1,\varepsilon_2$）で、電場が法線となす角を $\theta_1,\theta_2$ とします。$E_t$ の連続から $E_1\sin\theta_1=E_2\sin\theta_2$、$D_n$ の連続から $\varepsilon_1E_1\cos\theta_1=\varepsilon_2E_2\cos\theta_2$ です。辺々割ると $$ \frac{\tan\theta_1}{\varepsilon_1}=\frac{\tan\theta_2}{\varepsilon_2} $$ です。誘電率の大きい側ほど電気力線は界面に寝ます。磁場でも、$B_n$ と $H_t$ の連続から $\tan\theta_1/\mu_1=\tan\theta_2/\mu_2$ が同様に得られ、高透磁率の物質は磁力線を内部に引き込みます（磁気遮蔽の原理です）。 ### 7.1. 誘電体を含む問題の一意性 導体のとき同様、誘電体を含む問題も解が一意に決まります。 有界領域 $\Omega$ が互いに交わらない部分領域 $\Omega_1,\dots,\Omega_N$（各々に一様な誘電率 $\varepsilon_k>0$、境界は区分的に滑らか）に分割され、$V$ は各 $\overline{\Omega_k}$ で $C^2$ 級、$\Omega_k$ 内で $\Delta V=0$、界面で $V$ と $\varepsilon\partial_nV$ が連続（自由電荷なし）、$\partial\Omega$ 上で $V$ が既知とする。このような $V$ は一つしかない。 2 つの解の差 $w$ は同じ条件を満たし、$\partial\Omega$ 上で $w=0$ です。各 $\Omega_k$ で第一恒等式（）を $\varphi=\psi=w$ に使い、$\varepsilon_k$ を掛けて足すと $$ \sum_k\varepsilon_k\int_{\Omega_k}|\nabla w|^2dV=\sum_k\varepsilon_k\oint_{\partial\Omega_k}w\,\partial_\nu w\,dS $$ です（$\nu$ は $\Omega_k$ の外向き法線）。2 つの領域の共通の界面では、$\nu$ が逆向きで、$w$ と $\varepsilon\partial_nw$ が連続なので寄与が打ち消し合います。残る $\partial\Omega$ では $w=0$ です。よって左辺は $0$、$\nabla w\equiv\boldsymbol{0}$（各 $\Omega_k$ 内）で、$w$ は各領域で定数、$w$ は連続なので界面を経て全体で同じ定数、境界で $0$ だから $w\equiv0$ です。 外部が無限に広がる場合も、 (c) と同様に、減衰条件の下で同じ結論が成り立ちます。 誘電率 $\varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0$、半径 $R$ の誘電体球を、真空中の一様な電場 $\boldsymbol{E}_0=E_0\boldsymbol{e}_z$ の中に置きます。自由電荷はありません。軸対称なので、球内外のポテンシャルを の解（$l=1$ だけ）で置きます。 $$ V_{\text{in}}=-Ar\cos\theta,\qquad V_{\text{out}}=-E_0r\cos\theta+\frac{B\cos\theta}{r^2}. $$ $r=R$ で、(a) $V$ の連続: $-AR=-E_0R+B/R^2$、(b) $D_r$ の連続（）: $-\varepsilon\partial_rV_{\text{in}}=-\varepsilon_0\partial_rV_{\text{out}}$ すなわち $\varepsilon A=\varepsilon_0(E_0+2B/R^3)$。(a) から $B=R^3(E_0-A)$ で、(b) に代入して $\varepsilon_rA=3E_0-2A$ より $$ A=\frac{3}{\varepsilon_r+2}E_0,\qquad B=\frac{\varepsilon_r-1}{\varepsilon_r+2}R^3E_0 . $$ 球内の電場 $\boldsymbol{E}_{\text{in}}=A\boldsymbol{e}_z$ は**一様**で、$E_0$ より弱くなります（$\varepsilon_r\to\infty$ で $0$、導体球の極限と一致）。 と、無限遠での減衰（$V_{\text{out}}+E_0z=O(r^{-2})$）から、これが唯一の解です。球内の分極は $\boldsymbol{P}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)\boldsymbol{E}_{\text{in}}$ で一様、球外の場は $\dfrac{B\cos\theta}{r^2}=\dfrac{p\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0r^2}$、$p=\dfrac{4\pi}{3}R^3P$ の双極子の場です。実際 $\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0}=\dfrac{R^3P}{3\varepsilon_0}=\dfrac{R^3}{3}(\varepsilon_r-1)A$ に $A=3E_0/(\varepsilon_r+2)$ を入れると、上の $B$ に一致します。球の分極電荷が外にまき散らす場は、球全体が一つの双極子として振る舞うことで説明されます。 次の例は、電気の場合を先に解き、磁気の場合は同じ計算の置き換え（$\boldsymbol{P}/\varepsilon_0$ の役を $\boldsymbol{M}$ に、$\boldsymbol{E}$ の役を $\boldsymbol{H}$ に担わせる）で済ませます。置き換えが成り立つのは、どちらも球の表面で法線成分と接線成分の条件が同じ形になるためです。 自由電荷や自由電流がなく、一様な $\boldsymbol{P}=P\boldsymbol{e}_z$ で分極した半径 $R$ の球を考えます。内部の $\rho_b=0$、表面の $\sigma_b=P\cos\theta$ です。球内外のポテンシャルは $V_{\text{in}}=-Ar\cos\theta$、$V_{\text{out}}=B\cos\theta/r^2$ で、$r=R$ での連続性から $B=-AR^3$、$E_r$ の跳びから $2B/R^3-A=P/\varepsilon_0$（ で $\boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$ の法線成分の連続を使う）です。したがって $$ A=-\frac{P}{3\varepsilon_0},\qquad\boldsymbol{E}_{\text{in}}=-\frac{\boldsymbol{P}}{3\varepsilon_0} $$ です。内部の電場は分極と逆向きです（**反電場**）。 一様に磁化した球 $\boldsymbol{M}=M\boldsymbol{e}_z$ も同じ計算で解けます。自由電流はないので $\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{0}$、$\boldsymbol{H}=-\nabla\psi$ と書けます。$\boldsymbol{B}$ の法線成分の連続 $\mu_0H_{\text{out},r}=\mu_0(H_{\text{in},r}+M\cos\theta)$ から、$\psi$ について $2B/R^3-A=M$（$\psi_{\text{in}}=-Ar\cos\theta$、$\psi_{\text{out}}=B\cos\theta/r^2$）が得られ、上と同じ対応 $P/\varepsilon_0\leftrightarrow M$ により $$ \boldsymbol{H}_{\text{in}}=-\frac{\boldsymbol{M}}{3},\qquad\boldsymbol{B}_{\text{in}}=\mu_0(\boldsymbol{H}_{\text{in}}+\boldsymbol{M})=\frac{2}{3}\mu_0\boldsymbol{M} $$ です。磁化した球の内部では、$\boldsymbol{B}$ は $\boldsymbol{M}$ と同じ向き、$\boldsymbol{H}$ は逆向きです。 --- ## 8. 媒質中のエネルギー の方程式のもとで、各点で $$ -\boldsymbol{J}_f\cdot\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}+\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}) $$ が成り立つ。 恒等式 $\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})=\boldsymbol{H}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{E})-\boldsymbol{E}\cdot(\nabla\times\boldsymbol{H})$ に、 の $\nabla\times\boldsymbol{E}=-\partial_t\boldsymbol{B}$ と $\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_f+\partial_t\boldsymbol{D}$ を代入すると $\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})=-\boldsymbol{H}\cdot\partial_t\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{J}_f-\boldsymbol{E}\cdot\partial_t\boldsymbol{D}$ で、移項すれば主張です。 左辺 $-\boldsymbol{J}_f\cdot\boldsymbol{E}$ は、自由電荷を電場に逆らって動かす外部の装置が、単位体積・単位時間あたりに系にする仕事です（自由電荷に電場がする仕事の符号を変えたもの）。右辺の最後の項は、領域の外へのエネルギーの流れ（ポインティング・ベクトル $\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}$）です。 源が有界な領域にあり、場が遠方で $|\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}|=o(r^{-2})$ と減衰するとする。全空間で積分すると、外部の装置が系にする仕事の割合は $$ -\int\boldsymbol{J}_f\cdot\boldsymbol{E}\,dV=\int\Bigl(\boldsymbol{E}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}+\boldsymbol{H}\cdot\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\Bigr)dV . $$ 媒質が線形で、$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$、$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$（$\varepsilon,\mu$ は時間によらない正の関数）ならば、これは $\dfrac{d}{dt}W$ に等しく、 $$ W=\frac12\int\bigl(\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}+\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}\bigr)\,dV . $$ 前半は、 を半径 $R$ の球内で積分し、発散定理で $\int\nabla\cdot(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})dV=\oint_{S_R}(\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H})\cdot d\boldsymbol{S}$ と直すことで得られます。この面積分の絶対値は $4\pi R^2\cdot o(R^{-2})=o(1)$ なので、$R\to\infty$ で消えます。後半は、$\boldsymbol{E}\cdot\partial_t\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}\cdot\partial_t\boldsymbol{E}=\partial_t(\varepsilon|\boldsymbol{E}|^2/2)$、同様に $\boldsymbol{H}\cdot\partial_t\boldsymbol{B}=\partial_t(\mu|\boldsymbol{H}|^2/2)$ だからです。 真空では $\varepsilon=\varepsilon_0$、$\mu=\mu_0$ で、 に一致します。静電場だけなら、$\boldsymbol{E}=-\nabla V$ と $\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho_f$ から $\int\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{D}\,dV=-\int\nabla V\cdot\boldsymbol{D}\,dV=\int V\rho_f\,dV$（部分積分、遠方の境界項は $0$）なので、$W=\frac12\int\rho_fV\,dV$ です。誘電体があっても、静電エネルギーは自由電荷だけで書けます。 強磁性体のように $\boldsymbol{B}$ と $\boldsymbol{H}$ が線形でない媒質では、$\frac12\boldsymbol{H}\cdot\boldsymbol{B}$ はエネルギー密度になりません。$\boldsymbol{B}$ を $\boldsymbol{B}_1$ から $\boldsymbol{B}_2$ に変えるときの仕事 $\int\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{B}$ が経路に依存するためです。$H$-$B$ 曲線が囲む面積 $\oint\boldsymbol{H}\cdot d\boldsymbol{B}$ が、1 サイクルあたり単位体積に失われる熱（ヒステリシス損）になります。 次の例は、エネルギーの式から力を求める典型例です。電池をつないだままだと、電池も仕事をするので、エネルギーの増加だけでは力が決まりません。電池の仕事を勘定に入れる点に注意してください。 幅 $w$、長さ $L$、間隔 $d$ の平行板コンデンサに、誘電率 $\varepsilon$ の板を $x$ だけ差し込みます（縁の効果は無視）。静電容量は $$ C(x)=\frac{\varepsilon_0w}{d}(L-x)+\frac{\varepsilon w}{d}x=\frac{\varepsilon_0w}{d}\bigl(L+\chi_ex\bigr) $$ です。電圧 $V$ を一定に保つ電池を接続しているとき、エネルギー $W=\frac12CV^2$ の増加分のうち、電池がする仕事 $V\,dQ=V^2dC$ の半分がエネルギーになり、残り半分が板に力として働きます。力は $F=\dfrac12V^2\dfrac{dC}{dx}=\dfrac{\varepsilon_0\chi_ewV^2}{2d}>0$ で、板をコンデンサの内側に引き込む向きです。電荷 $Q$ を一定にした場合は $W=Q^2/(2C)$ で $F=-dW/dx=\frac{Q^2}{2C^2}\frac{dC}{dx}$ となり、$Q=CV$ を代入すると同じ値です。 --- ## 9. 演習 面積 $S$、間隔 $d$ の真空の平行板コンデンサに電荷 $\pm Q$ を与えて電源を切り、間隔いっぱいに比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体を挿入した。静電エネルギーは何倍になるか。 電荷 $Q$ は一定。挿入前は $C_0=\varepsilon_0S/d$、挿入後は $C=\varepsilon_rC_0$ です。エネルギーは $W=Q^2/(2C)$ なので、挿入後は $W/W_0=C_0/C=1/\varepsilon_r$ 倍に減ります。減った分は、誘電体を引き込む力による仕事に使われます（）。 比誘電率 $\varepsilon_r$ の誘電体が $z<0$ を、真空が $z>0$ を占め、界面に自由電荷はない。誘電体の内部の電場が界面の法線方向を向いていて大きさ $E_1$ のとき、界面に現れる束縛面電荷密度 $\sigma_b$ と真空側の電場を求めよ。 $D_n$ の連続から、真空側の電場は $E_2=\varepsilon_rE_1$ です。誘電体内の分極は $P=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E_1$、界面での外向き法線は $+\boldsymbol{e}_z$ なので $\sigma_b=\boldsymbol{P}\cdot\boldsymbol{n}=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E_1$ です。確認として、 の代わりに $E$ の跳びで考えると、$\varepsilon_0(E_2-E_1)=\varepsilon_0(\varepsilon_r-1)E_1=\sigma_b$ でガウスの法則と合います。 $z>0$ に誘電率 $\varepsilon_1$、$z<0$ に誘電率 $\varepsilon_2$ の媒質があり、$(0,0,d)$ に自由点電荷 $q$ を置く。$z>0$ では $V_1=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_1}\Bigl(\dfrac{q}{R_1}+\dfrac{q'}{R_2}\Bigr)$、$z<0$ では $V_2=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_2}\dfrac{q''}{R_1}$（$R_1,R_2$ は $(0,0,\pm d)$ までの距離）とおく。界面の条件を満たすように $q',q''$ を定めよ。 $z=0$ では $R_1=R_2=\sqrt{\rho^2+d^2}=:R$ です。$V$ の連続から $(q+q')/\varepsilon_1=q''/\varepsilon_2$。$D_z$ の連続 $\varepsilon_1\partial_zV_1=\varepsilon_2\partial_zV_2$ に、$z=0$ での $\partial_z(1/R_1)=d/R^3$、$\partial_z(1/R_2)=-d/R^3$ を使うと $q-q'=q''$。連立して $$ q'=-\frac{\varepsilon_2-\varepsilon_1}{\varepsilon_2+\varepsilon_1}q,\qquad q''=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q $$ です。実際 $q+q'=\frac{2\varepsilon_1}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q$ なので $(q+q')/\varepsilon_1=2q/(\varepsilon_1+\varepsilon_2)=q''/\varepsilon_2$ で、$q-q'=\frac{2\varepsilon_2}{\varepsilon_1+\varepsilon_2}q=q''$ も成り立ちます。各領域でラプラス方程式を満たし（点電荷の位置以外）、無限遠で減衰するので、 により唯一の解です。$\varepsilon_2\to\infty$（導体）では $q'\to-q$、$V_2\to0$ で、接地導体の鏡像に戻ります。 一様に磁化した半径 $R$ の球（磁化 $\boldsymbol{M}$）の外部の磁場は、どのような磁気モーメントの双極子場か。 で $A=-M/3$、$B=-AR^3=MR^3/3$ です。外部の $\psi_{\text{out}}=B\cos\theta/r^2$ は $\boldsymbol{H}$ のスカラーポテンシャルで、磁気双極子 $\boldsymbol{m}$ のスカラーポテンシャル $\dfrac{\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{x}}{4\pi r^3}=\dfrac{m\cos\theta}{4\pi r^2}$ と比べて $m=4\pi B=\dfrac{4\pi}{3}R^3M$、すなわち（磁化）×（体積）です。球全体が磁気モーメント $\boldsymbol{m}=\boldsymbol{M}V_{\text{球}}$ の一つの双極子として外に見えます。 --- ## 参考文献 - J. D. Jackson『電磁気学（原書第 3 版）』（Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley, 1999）— 第 4 章（Multipoles, Electrostatics of Macroscopic Media, Dielectrics）、第 5 章（Magnetostatics）、第 6 章。 - D. J. Griffiths, *Introduction to Electrodynamics*, 4th ed., Cambridge University Press, 2017 — 第 4 章（Electrostatic Fields in Matter）、第 6 章（Magnetostatic Fields in Matter）。 - L. D. Landau, E. M. Lifshitz, *Electrodynamics of Continuous Media*, 2nd ed., Pergamon Press, 1984 — 誘電体・磁性体の章。 - 砂川重信『理論電磁気学（第 3 版）』紀伊國屋書店、1999 — 誘電体・磁性体の章。 - R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, *The Feynman Lectures on Physics, Vol. II* — 第 10 章（Dielectrics）、第 11 章（Inside Dielectrics）、第 34–36 章（磁性）。