# 静電場の境界値問題：一意性定理から鏡像法・変数分離・静電容量まで > 境界条件を与えたときの静電ポテンシャルがただ一つに決まることをグリーンの恒等式で示し、鏡像法・ルジャンドル多項式による変数分離・多重極展開を一意性で正当化する。導体系の静電容量係数の対称性とエネルギーも導く。 > https://rikai.mugen-giken.com/physics/electromagnetism/boundary-value-problems ## 0. この記事の要点 金属の板のそばに電気を帯びた粒を置くと、板の表面にも電気が現れますが、その分布は最初は分かりません。分かっているのは、板の表面や空間の端で電位がどうなっているか、という条件だけです。この記事では、そのような条件から電位がただ一つに決まること、そして決まった電位を実際に求める代表的な方法を順に見ます。読み終えると、板や球のそばの点電荷、金属球のまわりの電位、2 つの金属の電気の蓄えやすさ（静電容量）を、自分で計算できるようになります。 - 静電気の問題は、領域と境界条件を与えて $\Delta V = -\rho/\varepsilon_0$ を解く**境界値問題**です（領域の境界での値を決めたうえで方程式を解く問題のこと）。境界上で $V$ を指定する（ディリクレ条件）か、法線微分を指定する（ノイマン条件）かのどちらかなら、解は（ノイマン条件では定数を除いて）**ただ一つ**です。証明はグリーンの第一恒等式だけで済みます。 - 一意性が保証されているので、**どんな方法で見つけた解でも、境界条件を満たしていれば正解**です。鏡像法は「それらしい配置を推測して境界条件を確かめる」だけの方法ですが、一意性定理があるので正当な解法になります。 - 軸対称な問題では、ラプラス方程式の変数分離解は $r^l P_l(\cos\theta)$ と $r^{-l-1}P_l(\cos\theta)$ です。ルジャンドル多項式 $P_l$ は母関数（係数に目的の列 $P_l$ を並べた冪級数の和として書ける関数）から直接定義でき、微分方程式・直交性・規格化がすべて短い計算で出ます。 - 電荷分布から遠い場所のポテンシャルは、同じ母関数から**多重極展開**になります。単極子・双極子・四重極子（電荷の総和・正負の偏り・もう一段細かい偏りを表す項）が $1/r,\,1/r^2,\,1/r^3$ で減衰する項に対応します。 - 導体系では、電荷とポテンシャルが**静電容量係数** $C_{ij}$ で線形に結ばれ、$C_{ij}=C_{ji}$、静電エネルギーは $\tfrac12\sum C_{ij}V_iV_j\ge 0$ です。 --- ## 1. 動機：ポアソン方程式を「どう解くか」 [静電場とガウスの法則](/physics/electromagnetism/electrostatics) で、静電ポテンシャルがポアソン方程式 $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$ を満たすことを示しました。そこで得た積分公式 $V(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \rho(\boldsymbol{y})/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|\,dV_y$ は、電荷分布がすべて与えられていて、周囲に何も置かれていない場合の解です。 現実の問題は違います。接地された金属板の前に点電荷を置いたとき、板の表面には電荷が誘起されますが、その分布は**最初は分かりません**。分かっているのは「導体表面の電位は一定」という境界条件だけです。このとき、電荷分布を先に決めてポテンシャルを積分する道は使えず、方程式と境界条件の組を解く問題になります。 ここで 2 つの疑問が出ます。 1. そもそも解はあるのか。あるとして、ただ一つか。複数あるなら、物理的にどれが正しいのか。 2. 解が一意なら、具体的にどうやって見つけるのか。 この記事は、まず 1 に完全な答えを与え（§3）、その答えを使って 2 の代表的な方法（鏡像法 §4、変数分離 §5、多重極展開 §6）を正当化し、最後に導体系の静電容量を扱います（§7）。存在については、標準的な偏微分方程式論の結果（領域が十分なめらかなら解が存在する）を認めて進み、本記事では具体的な解を構成することで個々の例の存在を示します。球のディリクレ問題の存在は [ラプラス方程式](/mathematics/pde/laplace-equation) の で、一般の領域では [楕円型方程式の弱解](/mathematics/pde/elliptic-weak-solutions) の理論で弱い意味の解が得られます（古典解になるには境界の正則性が必要です）。 --- ## 2. 準備：境界値問題とグリーンの恒等式 ### 2.1. 問題の設定 $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ を、境界 $\partial\Omega$ が区分的に滑らかな有界領域（連結な開集合）とし、$\boldsymbol{n}$ を $\partial\Omega$ の外向き単位法線とします。$\partial_n V=\boldsymbol{n}\cdot\nabla V$ と書きます。 電荷密度 $\rho$ が $\Omega$ 上で連続に与えられているとき、次を満たす $V\in C^2(\overline{\Omega})$ を求める問題を考える。 $$ \Delta V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}\quad(\Omega\ \text{内}). $$ 境界条件として次のいずれかを課す。 - **ディリクレ条件**: $V|_{\partial\Omega}=g$（$g$ は境界上の連続関数）。 - **ノイマン条件**: $\partial_n V|_{\partial\Omega}=h$（$h$ は境界上の連続関数）。 外部領域（有界閉集合の[補集合](/mathematics/foundations/sets-and-logic#def-operations)）では、$\partial\Omega$ 上の条件に加えて、無限遠での減衰条件 $$ |V(\boldsymbol{x})|\le \frac{C}{|\boldsymbol{x}|},\qquad |\nabla V(\boldsymbol{x})|\le \frac{C}{|\boldsymbol{x}|^2}\qquad(|\boldsymbol{x}|\to\infty) $$ を課す。 ここで $V\in C^2(\overline\Omega)$ は「$V$ が境界まで込めて 2 階連続微分可能」という意味です。実際の物理では境界で場が不連続になることもありますが、その場合は領域を分けて考えます。減衰条件は、有限の電荷分布が作るポテンシャルがもつ性質（遠方で $1/r$ と $1/r^2$）そのものです。 ### 2.2. グリーンの恒等式 一意性の証明も、後の静電容量の議論も、次の恒等式だけを使います。 $\Omega$ を上の有界領域、$\varphi,\psi\in C^2(\overline\Omega)$ とする。このとき $$ \int_\Omega\bigl(\varphi\,\Delta\psi+\nabla\varphi\cdot\nabla\psi\bigr)dV=\oint_{\partial\Omega}\varphi\,\partial_n\psi\,dS \qquad\text{(第一恒等式)}, $$ $$ \int_\Omega\bigl(\varphi\,\Delta\psi-\psi\,\Delta\varphi\bigr)dV=\oint_{\partial\Omega}\bigl(\varphi\,\partial_n\psi-\psi\,\partial_n\varphi\bigr)dS \qquad\text{(第二恒等式)}. $$ ベクトル場 $\boldsymbol{A}=\varphi\nabla\psi$ は $C^1(\overline\Omega)$ 級です。積の微分から $\nabla\cdot\boldsymbol{A}=\nabla\varphi\cdot\nabla\psi+\varphi\Delta\psi$ です。これに を適用すると、$\int_\Omega\nabla\cdot\boldsymbol{A}\,dV=\oint_{\partial\Omega}\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}\,dS=\oint\varphi\,\partial_n\psi\,dS$ となり、第一恒等式を得ます。第二恒等式は、第一恒等式で $\varphi$ と $\psi$ を入れ替えたものを引けば、$\nabla\varphi\cdot\nabla\psi$ が相殺して得られます。 --- ## 3. 一意性定理 $\Omega$ を有界連結領域とし、$\rho$ を連続とする。 **(a) ディリクレ問題。** $V_1,V_2\in C^2(\overline\Omega)$ がともに $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$ を満たし、$\partial\Omega$ 上で $V_1=V_2$ ならば、$\Omega$ 上で $V_1=V_2$ である。 **(b) ノイマン問題。** $V_1,V_2\in C^2(\overline\Omega)$ がともに $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$ を満たし、$\partial\Omega$ 上で $\partial_nV_1=\partial_nV_2$ ならば、$V_1-V_2$ は $\Omega$ 上で定数である。 **(c) 外部ディリクレ問題。** $\Omega$ が有界閉集合の補集合（連結）のとき、$V_1,V_2$ が $\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$、境界 $\partial\Omega$ 上で $V_1=V_2$、かつ の減衰条件を満たすならば、$V_1=V_2$ である。 $w=V_1-V_2$ とおきます。$\Delta w=-\rho/\varepsilon_0+\rho/\varepsilon_0=0$ です。 **(a)** の第一恒等式で $\varphi=\psi=w$ とすると、$\Delta w=0$ なので $$ \int_\Omega|\nabla w|^2\,dV=\oint_{\partial\Omega}w\,\partial_nw\,dS=0 $$ です（境界上で $w=0$）。被積分関数 $|\nabla w|^2$ は連続で非負ですから、積分が $0$ なら $\Omega$ 上で恒等的に $\nabla w=\boldsymbol{0}$ です（どこかで正なら連続性により小さな球の上で正になり、積分が正になってしまいます）。$\Omega$ は連結なので $w$ は定数で、境界で $0$ なので $w\equiv 0$ です。 **(b)** 同様に $\oint w\,\partial_nw\,dS=0$（境界上で $\partial_nw=0$）から $\nabla w\equiv\boldsymbol{0}$、よって $w$ は定数です。 **(c)** 十分大きな $R$ に対し、$\Omega_R=\Omega\cap\{|\boldsymbol{x}| この定理が物理に与える意味は大きく、次の 2 点にまとめられます。 第一に、**境界条件の過不足がない**ことの保証です。ディリクレ条件を与えれば、さらにノイマン条件まで与える余地はありません（与えれば一般に矛盾します）。両方を同時に指定してはいけないのです。 第二に、**解の探し方に制限がない**ことです。直観・対称性・推測・級数展開など、手段は何でもよく、結果が方程式と境界条件を満たしていれば、それが唯一の答えです。 ノイマン問題には解の存在に関する制約があります。$\Delta V=-\rho/\varepsilon_0$ を $\Omega$ 上で積分して発散定理を使うと $\oint_{\partial\Omega}h\,dS=\oint\partial_nV\,dS=\int_\Omega\Delta V\,dV=-\frac{1}{\varepsilon_0}\int_\Omega\rho\,dV$ となり、境界データ $h$ が総電荷と整合しなければ解は存在しません。これは「内部の電荷が境界を貫く電場の総量を決める」という の言い換えです。 --- ## 4. 導体と鏡像法 ### 4.1. 導体の境界条件 連結な閉領域 $K$ が**導体**であって**静電平衡**にあるとは、$K$ の内部で $\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}$ が成り立ち、電荷は表面だけに面密度 $\sigma$ で分布していることをいう。 導体内部で自由に動ける電荷は、電場があればそれが消えるまで動き続けます。それが止まった状態が静電平衡で、内部の電場は $0$ です。 静電平衡にある導体の外側で $V\in C^1$ が表面まで連続に延びているとし、$\boldsymbol{n}$ を導体から外へ向かう単位法線とする。このとき (i) 導体全体（内部と表面）で $V$ は定数である。 (ii) 表面のすぐ外側で $\boldsymbol{E}=(\sigma/\varepsilon_0)\boldsymbol{n}$ であり、すなわち $\sigma=-\varepsilon_0\,\partial_nV$ である。 (i) 内部で $\nabla V=-\boldsymbol{E}=\boldsymbol{0}$ で、内部は連結なので $V$ は定数です。表面の値は連続性により同じ定数です。 (ii) 表面の一点を含む、底面積 $A$ で高さが表面を挟んで上下に $\delta$ ずつの小さな円柱に を使います。下の底面は導体内部にあるので寄与は $0$、側面の寄与は $\delta\to0$ で $0$ に近づきます（$\boldsymbol{E}$ は有界）。上の底面の寄与は $\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}\,A$ で、これが内部の電荷 $\sigma A$ を $\varepsilon_0$ で割ったものに等しくなります。ゆえに $\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}=\sigma/\varepsilon_0$ です。さらに表面上で $V$ は定数なので接線方向の微分は $0$、$\boldsymbol{E}$ は法線方向を向きます。$\boldsymbol{E}=-\nabla V$ から $\sigma=\varepsilon_0\boldsymbol{E}\cdot\boldsymbol{n}=-\varepsilon_0\partial_nV$ です。 したがって導体を含む問題は、導体の表面を境界とするディリクレ問題（各導体の電位が既知）、あるいは各導体の総電荷が既知の問題として扱えます。後者は §7 で見ます。 ### 4.2. 鏡像法の原理 点電荷 $q$ が導体の近くにあるとき、全体のポテンシャルは $V=V_q+\phi$ と分けられます。$V_q=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_q|}$ は点電荷自身のクーロンポテンシャルで、$\phi$ は導体表面に誘起された電荷が作る部分、領域内部で調和（$\Delta\phi=0$）で、境界条件は $\phi=-V_q+(\text{導体の電位})$ です。 **鏡像法**は、$\phi$ を「領域の外側に置いた仮想の点電荷のポテンシャル」として当てる方法です。領域の外側の電荷は領域内で調和な関数を与えるので、あとは境界条件を満たすように配置と大きさを決めるだけです。この解が正しいことは で保証されます。 接地された（電位 $0$ の）無限に広い導体平面 $z=0$ の上方 $\boldsymbol{x}_q=(0,0,d)$（$d>0$）に点電荷 $q$ を置く。領域 $z>0$ での静電ポテンシャルは $$ V(\boldsymbol{x})=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{|\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{e}_z|}-\frac{1}{|\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{e}_z|}\right) $$ である。導体表面の誘導電荷密度は $\sigma(\rho)=-\dfrac{qd}{2\pi(\rho^2+d^2)^{3/2}}$（$\rho$ は原点からの距離）、総誘導電荷は $-q$ であり、電荷 $q$ に働く力は大きさ $\dfrac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(2d)^2}$ で導体平面に向かう引力である。 $V=V_q+\phi$、$\phi=-\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0|\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{e}_z|}$ とおきます。$\phi$ は $z>0$ で調和であり（$-d\boldsymbol{e}_z$ 以外では $1/|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}|$ は調和）、平面 $z=0$ 上では $|\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{e}_z|=|\boldsymbol{x}+d\boldsymbol{e}_z|$ なので $V=0$ です。無限遠では $V=O(|\boldsymbol{x}|^{-2})$、$\nabla V=O(|\boldsymbol{x}|^{-3})$ で減衰条件を満たします。 唯一性は (c) と同じ議論で示せます。別の解を $V'=V_q+\phi'$ とすると、$w=\phi-\phi'$ は $z>0$ で調和（点電荷の特異部分 $V_q$ が差で消える）、$z=0$ で $w=0$、無限遠で減衰します。半球 $\{z>0,|\boldsymbol{x}| (ii) で、導体から領域に向かう法線は $\boldsymbol{n}=\boldsymbol{e}_z$ だから $\sigma=-\varepsilon_0\partial_zV=-\dfrac{qd}{2\pi(\rho^2+d^2)^{3/2}}$ です。総量は $$ \int_0^\infty\sigma\,2\pi\rho\,d\rho=-qd\int_0^\infty\frac{\rho\,d\rho}{(\rho^2+d^2)^{3/2}}=-qd\left[-\frac{1}{\sqrt{\rho^2+d^2}}\right]_0^\infty=-q . $$ **力。** $q$ の近傍では全電場は $q$ 自身のクーロン場と $-\nabla\phi$ の和です。自分自身のクーロン場は対称なので $q$ に正味の力を与えません。力を与えるのは滑らかな部分 $-\nabla\phi$ だけで、これは位置 $-d\boldsymbol{e}_z$ にある電荷 $-q$ がつくる電場と同じです。距離は $2d$ なので、力の大きさは $q^2/(4\pi\varepsilon_0(2d)^2)$、向きは引力です。
q（高さ d） −q（鏡像、高さ −d） V = 0（接地導体） 領域 z > 0
原点を中心とする半径 $R$ の接地導体球の外側、$\boldsymbol{x}_q=d\boldsymbol{e}_z$（$d>R$）に点電荷 $q$ を置く。球の外側のポテンシャルは $$ V(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{q}{|\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{e}_z|}+\frac{q'}{|\boldsymbol{x}-d'\boldsymbol{e}_z|}\right),\qquad q'=-\frac{R}{d}q,\quad d'=\frac{R^2}{d} $$ である。球に誘起される総電荷は $q'=-qR/d$、電荷 $q$ に働く力は球に向かう引力で大きさ $\dfrac{q^2Rd}{4\pi\varepsilon_0(d^2-R^2)^2}$ である。 $|\boldsymbol{x}|=R$、$\boldsymbol{x}=R(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$ のとき、 $$ |\boldsymbol{x}-d'\boldsymbol{e}_z|^2=R^2-2d'R\cos\theta+d'^2=R^2-\frac{2R^3}{d}\cos\theta+\frac{R^4}{d^2}=\frac{R^2}{d^2}\bigl(d^2-2dR\cos\theta+R^2\bigr)=\frac{R^2}{d^2}|\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{e}_z|^2 $$ です。つまり球面上で $|\boldsymbol{x}-d'\boldsymbol{e}_z|=\dfrac{R}{d}|\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{e}_z|$ が成り立ちます。これを $V$ に代入すると、球面上で $$ V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0|\boldsymbol{x}-d\boldsymbol{e}_z|}\left(q+q'\frac{d}{R}\right)=0 $$ となります（$q'=-qR/d$）。像電荷は球の内側（$d' (c) と の証明と同じ論法により（特異部分 $V_q$ は差で消える）、これが唯一の解です。 総誘導電荷は、球を囲む大きな球面に を使うと、遠方で電場が $(q+q')$ の点電荷の場に漸近することから、$q+(\text{誘導電荷})=q+q'$ より誘導電荷は $q'$ です。力は と同様に像電荷からの力に等しく、距離 $d-d'=(d^2-R^2)/d$ を用いて $$ |F|=\frac{|q q'|}{4\pi\varepsilon_0(d-d')^2}=\frac{q^2R}{d}\cdot\frac{d^2}{4\pi\varepsilon_0(d^2-R^2)^2}=\frac{q^2Rd}{4\pi\varepsilon_0(d^2-R^2)^2} $$ です。 球面からの距離 $s=d-R$ を固定して $R\to\infty$ とすると、像電荷は $q'=-qR/(R+s)\to-q$、電荷と像の距離は $d-d'=(d^2-R^2)/d=s(2R+s)/(R+s)\to2s$ となり、力は $q^2/(4\pi\varepsilon_0(2s)^2)$ に近づきます。球面が平面に近づくので、 の結果と整合します。 --- ## 5. 変数分離とルジャンドル多項式 鏡像法が使えるのは、境界が平面や球のように特別な形のときだけです。もう少し一般の境界には、座標系を境界に合わせて取り、ラプラス方程式を 1 変数の常微分方程式の積に分解する**変数分離**を使います。球座標で必要になるルジャンドル多項式を、母関数から定義して必要な性質をすべて証明します。 ### 5.1. ルジャンドル多項式 $-1\le x\le1$、$|t|<1$ に対して $$ G(x,t)=\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\sum_{l=0}^\infty P_l(x)\,t^l $$ と $t$ について冪級数展開したときの係数 $P_l(x)$ を、$l$ 次の**ルジャンドル多項式**という。 $P_l$ が実際に多項式であること、$|P_l|\le1$ であることは、次のように分かります。以下の 3 つの命題（基本性質、微分方程式、直交性）のねらいは、後の §5.2 と §6 で $P_l$ を自由に使えるようにすることです。基本性質の証明は、$1/\sqrt{1-z}$ の級数を 2 つ掛け合わせて係数を読み取るだけの方針で、$\cos m\theta$ が $\cos\theta$ の多項式で書けるという事実（チェビシェフ多項式と呼ばれます）は、$\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$ のような例の一般化として使います。 (i) $P_l$ は $l$ 次の実係数多項式で、$P_l(-x)=(-1)^lP_l(x)$ を満たす。 (ii) $P_l(1)=1$ であり、$-1\le x\le1$ で $|P_l(x)|\le1$ である。 (iii) $P_0=1$、$P_1=x$、$P_2=\dfrac{3x^2-1}{2}$、$P_3=\dfrac{5x^3-3x}{2}$ である。 $x=\cos\theta$ とおくと $1-2xt+t^2=(1-e^{i\theta}t)(1-e^{-i\theta}t)$ です。$|z|<1$ に対して二項級数 $(1-z)^{-1/2}=\sum_{j\ge0}a_jz^j$、$a_j=\dfrac{(1/2)(3/2)\cdots((2j-1)/2)}{j!}=\dfrac{(2j)!}{4^j(j!)^2}>0$ が成り立つので（ の応用です）、$|t|<1$ で絶対収束する 2 つの級数の積をとって $$ G=\Bigl(\sum_ja_je^{ij\theta}t^j\Bigr)\Bigl(\sum_ka_ke^{-ik\theta}t^k\Bigr)=\sum_{l\ge0}t^l\sum_{j+k=l}a_ja_k\,e^{i(j-k)\theta}, $$ すなわち $P_l(\cos\theta)=\sum_{j+k=l}a_ja_k\cos\bigl((j-k)\theta\bigr)$ を得ます。$\cos m\theta$ は $\cos\theta$ の $|m|$ 次の多項式（チェビシェフ多項式）で、偶奇は $m$ の偶奇に等しく、$j-k\equiv l\pmod 2$ なので、$P_l$ は高々 $l$ 次で偶奇が $(-1)^l$ の多項式です。$l\ge1$ では、$j-k=\pm l$ の 2 項（ともに最高次の係数 $a_l\,2^{l-1}$）だけが $x^l$ の項を与えるので、$x^l$ の係数は $a_l2^l\ne0$ です。これで (i) が示されました。 (ii) $\theta=0$ では $G(1,t)=(1-t)^{-1}=\sum t^l$ なので $P_l(1)=1$ です。一般の $\theta$ では $|P_l(\cos\theta)|\le\sum_{j+k=l}a_ja_k=P_l(1)=1$ です。 (iii) $G$ を $t$ の 2 次まで展開します。$u=2xt-t^2$ として $(1-u)^{-1/2}=1+\frac12u+\frac38u^2+\cdots$ より $1+\frac12(2xt-t^2)+\frac38(2xt)^2+O(t^3)=1+xt+\frac{3x^2-1}{2}t^2+O(t^3)$ です。$P_3$ も同様に計算できます。 次に、$P_l$ が従う微分方程式を求めます。方針は、母関数 $G$ が満たす偏微分方程式を 1 本見つけ、両辺の $t^l$ の係数を比べて $P_l$ の方程式に読み替えることです。次の証明の等式は、結論から逆算して選んだ組み合わせで、$G_x,G_{xx},G_t,G_{tt}$ を $w$ の冪で並べて整理すると各項が打ち消し合うことを確かめる計算が中心です。 $$ (1-x^2)P_l''(x)-2xP_l'(x)+l(l+1)P_l(x)=0,\qquad\text{すなわち}\quad\frac{d}{dx}\Bigl[(1-x^2)P_l'\Bigr]+l(l+1)P_l=0 . $$ $w=1-2xt+t^2$ とおくと $G=w^{-1/2}$ で、 $$ G_x=t\,w^{-3/2},\quad G_{xx}=3t^2w^{-5/2},\quad G_t=(x-t)w^{-3/2},\quad G_{tt}=-w^{-3/2}+3(x-t)^2w^{-5/2} $$ です。次の等式が成り立ちます。 $$ (1-x^2)G_{xx}-2xG_x+2tG_t+t^2G_{tt}=0 . $$ 実際、左辺に $w^{5/2}$ を掛けて整理すると $$ 3t^2(1-x^2)-2xtw+2t(x-t)w+t^2\bigl[-w+3(x-t)^2\bigr]=3t^2\bigl[(1-x^2)-w+(x-t)^2\bigr]=0 $$ となります（最後の括弧は $1-x^2-1+2xt-t^2+x^2-2xt+t^2=0$）。一方、$G=\sum P_lt^l$ の係数を比べると、$2tG_t+t^2G_{tt}=\sum l(l+1)P_lt^l$ です（$2l+l(l-1)=l(l+1)$）。$G$ は $(x,t)$ の解析関数であり、$t^l$ の係数を取り出す操作は $x$ での微分と交換できるので、上の等式の $t^l$ の係数は $(1-x^2)P_l''-2xP_l'+l(l+1)P_l=0$ を与えます。 $$ \int_{-1}^1P_l(x)P_m(x)\,dx=\frac{2}{2l+1}\,\delta_{lm} . $$ $l\ne m$ とします。 の $l$ 版に $P_m$、$m$ 版に $P_l$ を掛けて引くと $$ \frac{d}{dx}\Bigl[(1-x^2)\bigl(P_l'P_m-P_m'P_l\bigr)\Bigr]+\bigl(l(l+1)-m(m+1)\bigr)P_lP_m=0 $$ です。$-1$ から $1$ まで積分すると、第 1 項は $(1-x^2)$ が両端で $0$ なので消え、$l(l+1)\ne m(m+1)$ より $\int P_lP_m\,dx=0$ です。 規格化には $G$ そのものを使います。$|t|<1$ で $$ \int_{-1}^1G^2dx=\int_{-1}^1\frac{dx}{1-2xt+t^2}=\Bigl[-\frac{1}{2t}\ln(1-2xt+t^2)\Bigr]_{-1}^{1}=\frac1t\ln\frac{1+t}{1-t}=\sum_{l\ge0}\frac{2}{2l+1}t^{2l} $$ です。他方 $|P_l|\le1$ より $\sum_{l,m}t^{l+m}P_lP_m$ は $x$ について一様に絶対収束するので項別積分でき、直交性から $\int G^2dx=\sum_lt^{2l}\int P_l^2dx$ です。$t^{2l}$ の係数を比べて $\int P_l^2dx=2/(2l+1)$ を得ます。 ### 5.2. 球座標での軸対称解 この節のねらいは、球の問題でラプラス方程式を「$r$ だけの方程式」と「角度だけの方程式（ルジャンドルの方程式）」に分けて、解を $r^l$ や $r^{-l-1}$ と $P_l$ の積として書き下すことです。 球座標 $(r,\theta,\varphi)$ で、$\varphi$ に依存しない関数 $V(r,\theta)$ のラプラシアンは（連鎖律による計算で） $$ \Delta V=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^2\frac{\partial V}{\partial r}\Bigr)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\Bigr) $$ です。$x=\cos\theta$ とすると $\partial_\theta=-\sin\theta\,\partial_x$ なので、第 2 項は $\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial x}\Bigl[(1-x^2)\dfrac{\partial V}{\partial x}\Bigr]$ に書き換わります。これで が使えます。 各 $l\ge0$ について $V=r^lP_l(\cos\theta)$ と $V=r^{-l-1}P_l(\cos\theta)$ はラプラス方程式を満たす。前者は $\mathbb{R}^3$ 全体で滑らかな（$x,y,z$ の $l$ 次斉次多項式の）調和関数で、後者は原点を除いて滑らかである。 $V=R(r)P_l(x)$ とすると、上の書き換えと から $$ \Delta V=\frac{P_l}{r^2}\bigl(r^2R'\bigr)'+\frac{R}{r^2}\frac{d}{dx}\Bigl[(1-x^2)P_l'\Bigr]=\frac{P_l}{r^2}\Bigl[\bigl(r^2R'\bigr)'-l(l+1)R\Bigr] $$ です。$R=r^l$ のとき $(r^2\cdot lr^{l-1})'=l(l+1)r^l$、$R=r^{-l-1}$ のとき $(r^2\cdot(-(l+1))r^{-l-2})'=-(l+1)(-l)r^{-l-1}=l(l+1)r^{-l-1}$ で、括弧内は $0$ です。滑らかさについては、$P_l$ の偶奇が $(-1)^l$ なので $r^lP_l(z/r)$ は $r^2=x^2+y^2+z^2$ の冪と $z$ の冪の積の和、つまり $l$ 次斉次多項式です。 境界が球面のとき、この分離解で境界条件に合わせることができます。 半径 $R$ の球面上の境界値が $f(\theta)=\sum_{l=0}^Nf_lP_l(\cos\theta)$（$f_l$ は実定数）であるとする。 (i) 球の内部 $r の意味の）解は一意で $$ V_{\text{in}}(r,\theta)=\sum_{l=0}^Nf_l\Bigl(\frac rR\Bigr)^lP_l(\cos\theta) . $$ (ii) 球の外部 $r>R$ で、無限遠で減衰するラプラス方程式の解は一意で $$ V_{\text{out}}(r,\theta)=\sum_{l=0}^Nf_l\Bigl(\frac Rr\Bigr)^{l+1}P_l(\cos\theta) . $$ (iii) 係数は $f_l=\dfrac{2l+1}{2}\displaystyle\int_{-1}^1f\bigl(\arccos x\bigr)P_l(x)\,dx$ で与えられる。 (i), (ii) により各項は調和で、$r=R$ での値はちょうど $f_lP_l(\cos\theta)$ です。内部の解は閉球で $C^2$ 級です。外部の解は $|V|\le C/r$、$|\nabla V|\le C/r^2$ を満たします（最も遅く減衰する項が $l=0$ の $f_0R/r$ で、勾配は $r^{-2}$ のオーダー）。一意性は (a)(c) です。 (iii) $f(\arccos x)=\sum_mf_mP_m(x)$ の両辺に $P_l$ を掛けて $[-1,1]$ で積分し、 を使うと $\int fP_l\,dx=f_l\cdot2/(2l+1)$ です。 境界値 $f$ が有限和でなくても、同じ形の無限級数 $\sum f_l(r/R)^lP_l$ が解を与えます。その根拠は、(1) (i) により $P_0,\dots,P_N$ は $N$ 次以下の多項式全体を張り、(2) 多項式が連続関数を一様に近似できる（ワイエルシュトラスの近似定理）ので、$\{P_l\}$ が $L^2(-1,1)$ で完全である、という 2 点です。多項式近似の部分は として、$\{P_l\}$ が直交系をなすことは [直交多項式](/mathematics/special-functions/orthogonal-polynomials)（Legendre 多項式の基本事項は で、本記事の $P_l$ はそこでの $\mathcal P_l$ と同じ）として Rikai にあります。級数が境界値に収束する細部（内部での収束と境界への連続な接続）は、本記事では認めて進みます（ の有限展開の範囲では不要です）。球の場合の解の存在と一意性は でも示されます。詳しくは参考文献のジャクソンの第 3 章を参照してください。 一様電場 $\boldsymbol{E}_0=E_0\boldsymbol{e}_z$ の中に、半径 $R$ の電気的に中性の導体球を置きます。遠方では $V\to-E_0z=-E_0r\cos\theta$ です。$V=-E_0r\cos\theta+\phi$ と分けると、$\phi$ は外部で調和で、無限遠で減衰し、球面上で（球の電位を $0$ に選んで）$\phi=E_0R\cos\theta=E_0RP_1(\cos\theta)$ でなければなりません。これは (ii) で $f_1=E_0R$ の場合なので、 $$ \phi=E_0R\Bigl(\frac Rr\Bigr)^2\cos\theta,\qquad V=-E_0\Bigl(r-\frac{R^3}{r^2}\Bigr)\cos\theta\quad(r\ge R) $$ です。$\phi$ には $1/r$ の項がない（単極子成分が $0$）ので総電荷は $0$ で、「中性の導体球」という条件に合っています。 (ii) から表面電荷は $$ \sigma=-\varepsilon_0\partial_rV\Big|_{r=R}=\varepsilon_0E_0\Bigl(1+\frac{2R^3}{r^3}\Bigr)\cos\theta\Big|_{r=R}=3\varepsilon_0E_0\cos\theta $$ です。球の北極側（$\boldsymbol{E}_0$ 向きの側）に正、南極側に負の電荷が現れ、球の外の電場は赤道付近で弱く、極付近で $3E_0$ に強まります。
+ + + − − − E₀（一様電場） 導体球
### 5.3. 直交座標での分離 境界が平面で囲まれているときは直交座標を使います。必要なのは三角関数の直交性だけです。 正の整数 $m,n$ について $\displaystyle\int_0^a\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi x}{a}\,dx=\frac a2\delta_{mn}$ である。 積和公式 $\sin A\sin B=\frac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$ より、積分は $\frac12\int_0^a\bigl[\cos\frac{(m-n)\pi x}{a}-\cos\frac{(m+n)\pi x}{a}\bigr]dx$ です。整数 $k\ne0$ に対して $\int_0^a\cos(k\pi x/a)dx=\frac{a}{k\pi}\sin k\pi=0$ なので、$m\ne n$ なら $0$、$m=n$ なら第 1 項が $a$ を与え $\frac a2$ です。 幅 $a$ の半無限の溝 $00$ を考え、2 つの側壁 $x=0$、$x=a$ は電位 $0$、底面 $y=0$ は電位 $V_0$（一定）、$y\to\infty$ で $V\to0$ とします（$z$ 方向に一様な 2 次元問題）。 $V=X(x)Y(y)$ と分離して $\Delta V=0$ に代入すると $X''/X=-Y''/Y$ で、左辺は $x$ のみ、右辺は $y$ のみの関数なので共通の定数 $-k^2$ に等しくなります。側壁の条件を満たす $X$ は $X=\sin(k x)$、$k=n\pi/a$（$n=1,2,\dots$）で、このとき $Y''=k^2Y$ の $y\to\infty$ で有界な解は $Y=e^{-ky}$ です。各 $\sin(n\pi x/a)e^{-n\pi y/a}$ は調和で、側壁と無限遠の条件を満たします。そこで $$ V(x,y)=\sum_{n=1}^\infty c_n\sin\frac{n\pi x}{a}\,e^{-n\pi y/a} $$ と置き、底面 $y=0$ で $V=V_0$ となるように $c_n$ を選びます。 により $$ c_n=\frac2a\int_0^aV_0\sin\frac{n\pi x}{a}dx=\frac{2V_0}{n\pi}\bigl(1-(-1)^n\bigr)=\begin{cases}4V_0/(n\pi)&(n\ \text{奇数})\\0&(n\ \text{偶数})\end{cases} $$ です。したがって $$ V(x,y)=\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\dots}\frac1n\sin\frac{n\pi x}{a}\,e^{-n\pi y/a}. $$ $y>0$ では $e^{-n\pi y/a}$ のおかげで級数は速く収束します。たとえば $x=a/2$、$y=a/2$ では $n=1,3,5$ の項が $e^{-\pi/2}-\frac13e^{-3\pi/2}+\frac15e^{-5\pi/2}\approx0.2079-0.0030+0.00008=0.2050$ となり、$V\approx\frac4\pi\times0.2050\,V_0\approx0.261V_0$ です。底面の中央 $y=0$ では $V_0$、$y$ とともに急速に減ります。 の級数は $y=0$ の角（$x=0,a$）で境界値が不連続（$V_0$ と $0$）なため、底面でちょうど $V_0$ に収束するのは内点 $0 を参照）、解は角で連続ではありません。底面での級数 $\frac{4V_0}{\pi}\sum_{n\text{ 奇数}}\frac1n\sin\frac{n\pi x}{a}$ が $0 から従います。このような角のある問題は の $C^2(\overline\Omega)$ の枠からはずれますが、角を除いた領域では上の $V$ は調和で、境界条件を満たします。 --- ## 6. 多重極展開 電荷が有限の領域に集まっているとき、遠方のポテンシャルを $1/r$ の冪に展開できます。母関数 $G$ がそのまま使えます。遠くから見ると電荷の集まりはほぼ 1 つの点電荷に見え、その細かい偏りが $1/r$ の冪が大きい項として順に現れる、というのが全体の見取り図です。 $\rho$ を $|\boldsymbol{y}|\le a$ の外で $0$ となる連続な電荷密度とする。$r=|\boldsymbol{x}|>a$ の点で、静電ポテンシャル $V(\boldsymbol{x})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int\frac{\rho(\boldsymbol{y})}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}dV_y$ は $$ V(\boldsymbol{x})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{l=0}^\infty\frac{1}{r^{l+1}}\int\rho(\boldsymbol{y})\,|\boldsymbol{y}|^l\,P_l(\cos\gamma)\,dV_y,\qquad\cos\gamma=\frac{\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{y}}{|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|} $$ と展開され、級数は $r\ge a'>a$ で一様に収束する。 $r'=|\boldsymbol{y}|\le a から $$ \frac{1}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|}=\frac1rG(\cos\gamma,t)=\sum_{l=0}^\infty\frac{r'^l}{r^{l+1}}P_l(\cos\gamma) . $$ (ii) より第 $l$ 項の絶対値は $\le a^l/r^{l+1}\le a^l/a'^{l+1}$ で、$a/a'<1$ の等比級数で押さえられます。したがって $\boldsymbol{y}$ について一様に収束し、$\rho$ は有界で台がコンパクトですから、積分と和を入れ替えられます。 最初の 3 項に名前が付いています。$l=0$ は**単極子**で $$ V_0(\boldsymbol{x})=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r},\qquad Q=\int\rho\,dV_y $$ （総電荷）、$l=1$ は**双極子**で、$|\boldsymbol{y}|\cos\gamma=\boldsymbol{y}\cdot\hat{\boldsymbol{x}}$ に注意して $$ V_1(\boldsymbol{x})=\frac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}}{4\pi\varepsilon_0r^3},\qquad\boldsymbol{p}=\int\rho(\boldsymbol{y})\,\boldsymbol{y}\,dV_y $$ （双極子モーメント）です。$l=2$ は**四重極子**で、$P_2(\cos\gamma)=\frac12(3\cos^2\gamma-1)$ より $$ V_2(\boldsymbol{x})=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0r^5}\sum_{i,j}Q_{ij}x_ix_j,\qquad Q_{ij}=\int\rho(\boldsymbol{y})\bigl(3y_iy_j-|\boldsymbol{y}|^2\delta_{ij}\bigr)dV_y $$ です。 (i) 原点以外で、双極子ポテンシャル $V_1$ の電場は $\boldsymbol{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{3(\boldsymbol{p}\cdot\hat{\boldsymbol{r}})\hat{\boldsymbol{r}}-\boldsymbol{p}}{r^3}$ である。 (ii) 総電荷が $Q=0$ のとき、$\boldsymbol{p}$ は原点の取り方によらない。 (i) $\nabla(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x})=\boldsymbol{p}$、$\nabla r^{-3}=-3\boldsymbol{x}r^{-5}$ なので $-\nabla\dfrac{\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x}}{r^3}=-\dfrac{\boldsymbol{p}}{r^3}+\dfrac{3(\boldsymbol{p}\cdot\boldsymbol{x})\boldsymbol{x}}{r^5}$ で、$\boldsymbol{x}=r\hat{\boldsymbol{r}}$ を代入すれば主張の形です。 (ii) 原点を $\boldsymbol{b}$ だけずらすと $\boldsymbol{y}\to\boldsymbol{y}-\boldsymbol{b}$ で、$\boldsymbol{p}'=\int\rho(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{b})\,dV=\boldsymbol{p}-Q\boldsymbol{b}$ です。$Q=0$ なら $\boldsymbol{p}'=\boldsymbol{p}$ です。 $z$ 軸上の $(0,0,\pm a)$ に電荷 $q$、原点に $-2q$ を置きます。$Q=0$、$\boldsymbol{p}=q a\boldsymbol{e}_z-qa\boldsymbol{e}_z=\boldsymbol{0}$ なので、遠方の主要項は四重極子です。$Q_{zz}=2q(3a^2-a^2)=4qa^2$、$Q_{xx}=Q_{yy}=2q(0-a^2)=-2qa^2$、非対角成分は $0$ なので $$ V_2=\frac{1}{8\pi\varepsilon_0r^5}\bigl[4qa^2z^2-2qa^2(x^2+y^2)\bigr]=\frac{qa^2}{4\pi\varepsilon_0r^3}(3\cos^2\theta-1)=\frac{2qa^2}{4\pi\varepsilon_0r^3}P_2(\cos\theta) $$ です。直接確かめます。$\dfrac{q}{|\boldsymbol{x}\mp a\boldsymbol{e}_z|}=\dfrac qr\sum_l\bigl(\dfrac ar\bigr)^lP_l(\pm\cos\theta)$ の和をとると偶数次の項が 2 倍に、奇数次が相殺し、$-2q/r$ と合わせて $l=0$ の項も消えるので $V=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{2qa^2}{r^3}P_2(\cos\theta)+O(r^{-5})$ となり、上と一致します。四重極子ポテンシャルは $1/r^3$ で減衰し、点電荷（$1/r$）や双極子（$1/r^2$）より速く小さくなります。 --- ## 7. 導体系と静電容量 ### 7.1. 静電容量係数 この節のねらいは、複数の導体の電位と電荷の関係を 1 つの行列 $(C_{ij})$ にまとめ、その性質を言葉にすることです。$C_{ij}=C_{ji}$ は「$j$ 番目に電位を与えたとき $i$ 番目に現れる電荷」と「$i$ 番目に電位を与えたとき $j$ 番目に現れる電荷」が等しいという意味で、行列が[正定値](/mathematics/calculus/multivariable-differentiation#def-definite)であることは、どの導体にどんな電位を与えてもエネルギーが負にならず、0 になるのは全部の電位が 0 のときだけだ、という意味です。 真空中に $n$ 個の導体 $K_1,\dots,K_n$ があり、その外側の領域を $\Omega$、$K_i$ の表面を $S_i$、$S_i$ から $\Omega$ へ向かう法線を $\boldsymbol{n}$ とします。導体の外側に電荷はないとします。 から、各導体は一定電位 $V_i$ をもち、$\Omega$ では $\Delta V=0$ で、無限遠で減衰します。この外部ディリクレ問題の解は一意（ (c)）で、その存在は偏微分方程式論の標準的な結果として認めます。 $\varphi_j$ を「$S_j$ で $1$、他の $S_i$ で $0$、無限遠で減衰」を満たす調和関数とすると、解の一意性から $V=\sum_jV_j\varphi_j$ が成り立ちます。表面電荷の総量は (ii) より $Q_i=\oint_{S_i}\sigma\,dS=-\varepsilon_0\oint_{S_i}\partial_nV\,dS$ なので、次の線形関係を得ます。 $$ Q_i=\sum_{j=1}^nC_{ij}V_j,\qquad C_{ij}=-\varepsilon_0\oint_{S_i}\partial_n\varphi_j\,dS . $$ $C_{ij}$ を静電容量係数という。 (i) $C_{ij}=C_{ji}$ である。 (ii) 電場のエネルギー $W=\dfrac{\varepsilon_0}{2}\displaystyle\int_\Omega|\boldsymbol{E}|^2dV$ は $$ W=\frac12\sum_iQ_iV_i=\frac12\sum_{i,j}C_{ij}V_iV_j $$ に等しい。 (iii) $W\ge0$ で、$W=0$ となるのはすべての $V_i=0$ のときに限る。すなわち行列 $(C_{ij})$ は正定値である。 ここで電場のエネルギーは、 $\varepsilon_0|\boldsymbol{E}|^2/2$ の体積分として定義したものです。 $\Omega_R=\Omega\cap\{|\boldsymbol{x}| の第二恒等式を $\varphi_i,\varphi_j$ に使うと、両者とも調和なので左辺は $0$ で $$ 0=\oint_{S_R}\bigl(\varphi_i\partial_r\varphi_j-\varphi_j\partial_r\varphi_i\bigr)dS-\sum_k\oint_{S_k}\bigl(\varphi_i\partial_n\varphi_j-\varphi_j\partial_n\varphi_i\bigr)dS . $$ $S_k$ 上で $\varphi_i=\delta_{ik}$、$\varphi_j=\delta_{jk}$ なので、$k$ の和は $\oint_{S_i}\partial_n\varphi_j\,dS-\oint_{S_j}\partial_n\varphi_i\,dS$ です。$S_R$ の項は、減衰条件により $\le4\pi R^2\cdot2C^2R^{-3}\to0$ なので、$R\to\infty$ で $\oint_{S_i}\partial_n\varphi_j\,dS=\oint_{S_j}\partial_n\varphi_i\,dS$、すなわち $C_{ij}=C_{ji}$ です。 (ii) 第一恒等式を $\varphi=\psi=V$ に使うと $\int_{\Omega_R}|\nabla V|^2dV=\oint_{S_R}V\partial_rV\,dS-\sum_k\oint_{S_k}V\partial_nV\,dS$ です。$S_R$ の項は $R\to\infty$ で $0$、$S_k$ 上では $V=V_k$ なので、$\int_\Omega|\nabla V|^2dV=-\sum_kV_k\oint_{S_k}\partial_nV\,dS=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\sum_kV_kQ_k$ となります。$\boldsymbol{E}=-\nabla V$ と $Q_k=\sum_jC_{kj}V_j$ を使えば (ii) です。 (iii) (ii) より $W\ge0$。$W=0$ なら $\nabla V\equiv\boldsymbol{0}$ で、$V$ は定数、無限遠で $0$ なので $V\equiv0$、したがって各 $V_i=0$ です。 (i) は**相反定理**の一例です。$K_j$ に単位電位を与えたとき $K_i$ に現れる電荷と、$K_i$ に単位電位を与えたとき $K_j$ に現れる電荷が等しい、という内容で、2 つの導体の形や位置がどれほど非対称でも成り立ちます。 ### 7.2. コンデンサ 2 つの導体に電荷 $+Q$ と $-Q$ を与えたとき、電位差 $\Delta V=V_1-V_2$ は $Q$ に比例します。比例定数の逆数 $C=Q/\Delta V$ を**静電容量**といい、 (ii) から $W=\frac12Q\,\Delta V=\dfrac{Q^2}{2C}$ です。 半径 $a$ の内球に $+Q$、半径 $b>a$ の外球殻（内半径 $b$）に $-Q$ を与えます。球対称性から $\boldsymbol{E}=E(r)\hat{\boldsymbol{r}}$ で、ガウスの法則（）により $a 面積 $S$ の 2 枚の板を間隔 $d$ で向かい合わせ、$d$ が板の大きさに比べて十分小さいとして縁の効果を無視します。電荷が一様に $\pm\sigma=\pm Q/S$ のとき、板の間の電場はガウスの法則から $E=\sigma/\varepsilon_0$ で一様です。$\Delta V=Ed=Qd/(\varepsilon_0S)$ なので $C=\varepsilon_0S/d$ です。たとえば $S=1\,\mathrm{cm}^2$、$d=0.1\,\mathrm{mm}$ では $C=8.85\times10^{-12}\times10^{-4}/10^{-4}\approx8.9\times10^{-12}\,\mathrm{F}$ で、ピコファラッド程度です。 --- ## 8. 演習 互いに直交する 2 枚の接地導体平面 $x=0$ と $y=0$ の間の第 1 象限（$x>0,y>0$）の点 $(a,b,0)$ に点電荷 $q$ を置く。鏡像法で電位を求め、必要な像電荷の個数・位置・符号を答えよ。 $x=0$ に関する鏡像 $(-a,b)$ に $-q$、$y=0$ に関する鏡像 $(a,-b)$ に $-q$、さらに原点に関する点対称な位置 $(-a,-b)$ に $+q$ の計 3 個の像電荷を置きます。電位は $$ V=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl[\frac{1}{r_1}-\frac1{r_2}-\frac1{r_3}+\frac1{r_4}\Bigr] $$ です。ここで $r_1,r_2,r_3,r_4$ は $(x,y,z)$ から $(a,b,0)$、$(-a,b,0)$、$(a,-b,0)$、$(-a,-b,0)$ までの距離で、たとえば $r_2=\sqrt{(x+a)^2+(y-b)^2+z^2}$ です。$x=0$ では $r_1=r_2$、$r_3=r_4$ により $V=0$、$y=0$ では $r_1=r_3$、$r_2=r_4$ により $V=0$ です。像電荷はすべて第 1 象限の外にあり、無限遠で $V\to0$ なので、 により唯一の解です。像が 2 個では足りません（$x=0$ だけが満たされるため）。 半径 $R$ の球面上の電位が $V_0\cos^2\theta$ であるとき、球の内部と外部の電位を求めよ。 $\cos^2\theta=\frac13+\frac23P_2(\cos\theta)$ です（$P_2=(3x^2-1)/2$ より $x^2=(2P_2+1)/3$）。よって $f_0=V_0/3$、$f_2=2V_0/3$ で、 から $$ V_{\text{in}}=V_0\Bigl[\frac13+\frac23\Bigl(\frac rR\Bigr)^2P_2(\cos\theta)\Bigr],\qquad V_{\text{out}}=V_0\Bigl[\frac13\frac Rr+\frac23\Bigl(\frac Rr\Bigr)^3P_2(\cos\theta)\Bigr] $$ です。外部の $1/r$ の項は総電荷 $Q=4\pi\varepsilon_0RV_0/3$ に対応します。 半径 $a$ の長い直線導体を半径 $b>a$ の同軸円筒導体が囲む。単位長さあたりの静電容量が $C/L=2\pi\varepsilon_0/\ln(b/a)$ であることを示せ。 単位長さあたり $\pm\lambda$ の電荷を与えます。軸対称性と、軸に垂直な方向に電場がないことから、半径 $r$ の長さ $L$ の円筒面にガウスの法則を使うと $E\cdot2\pi rL=\lambda L/\varepsilon_0$、すなわち $E=\lambda/(2\pi\varepsilon_0r)$ です。電位差は $\Delta V=\int_a^b E\,dr=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac ba$ なので、$C/L=\lambda/\Delta V=2\pi\varepsilon_0/\ln(b/a)$ です。 $\Omega$ を半径 $R$ の球とし、ノイマン問題 $\Delta V=0$、$\partial_rV|_{r=R}=h(\theta)=\cos\theta$ を考える。解の一意性（定数を除く）を示した (b) を踏まえ、解を求めよ。また $h\equiv1$（定数）のときの解の存在について論ぜよ。 解の候補は から $V=Ar\cos\theta$（$r^1P_1$）です。$\partial_rV|_{r=R}=A\cos\theta=\cos\theta$ より $A=1$ で、$V=r\cos\theta=z$（定数の不定性を除く）です。一意性は (b) によります。$h\equiv1$ では、 の整合条件 $\oint h\,dS=4\pi R^2\ne0=-\frac{1}{\varepsilon_0}\int\rho\,dV$ が破れるので（$\rho=0$ のとき）解は存在しません。電荷がない領域の境界で、外向きの電場成分が全域で同じ符号（$h\equiv1$ では $E_r=-\partial_rV=-1<0$）になることはあり得ないという、ガウスの法則の帰結です。 --- ## 参考文献 - J. D. Jackson『電磁気学（原書第 3 版）』（Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley, 1999）— 第 1 章（一意性・グリーンの定理・静電容量）、第 2 章（鏡像法）、第 3 章（球座標・ルジャンドル多項式・多重極展開）。 - D. J. Griffiths, *Introduction to Electrodynamics*, 4th ed., Cambridge University Press, 2017 — 第 3 章（Special Techniques）。 - 砂川重信『理論電磁気学（第 3 版）』紀伊國屋書店、1999 — 静電場の境界値問題の章。 - L. C. Evans, *Partial Differential Equations*, 2nd ed., American Mathematical Society, 2010 — 第 2 章（ラプラス方程式、調和関数、グリーン関数）。 - L. D. Landau, E. M. Lifshitz, *Electrodynamics of Continuous Media*, 2nd ed., Pergamon Press, 1984 — 第 1 章（導体の静電場、静電容量）。